Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 83
Текст из файла (страница 83)
. .Значение полюса λ r = p + jr.TДля вычисления интеграла удобно обозначить'Тогда искомый интеграл можно представить в виде(15.41)Для каждого из полюсов в соответствии с теоремой Коши можно записать(15.42)Окончательное выражение для искомого z-преобразования будет при(15.43)Эта формула справедлива при любом значении ε > 0. Однако при ε = 0 она становитсяневерной, так как начальный момент времени становится моментом квантования. Дляэтого случая можно показать [136], что z-преобразование должно вычисляться всоответствии с выражением(15.44)Операцию нахождения z-преобразования по преобразованию Лапласа символическиможно записать, аналогично формулам (15.30) и (15.31), в виде(15.45)Формулы (15.43) и (15.44) имеют больше теоретическое, чем практическое значение.
Вбольшинстве случаев нахождение z-преобразования для изображения Лапласа Рл(р) прощеосуществить переходом к оригиналу f(t) известными методами и использованием затемтабл. 15.1.Рассмотрим кратко основные правила и теоремы применительно к z-преобразованию. Этиже правила и теоремы будут справедливыми и для дискретного преобразования Лапласа.Рассмотрение проведем для несмещенных решетчатых функций, но полученныерезультаты можно распространить и на случай смещенных функций f[n, ε ], кромеслучаев, оговоренных особо.1. Свойство линейности. Это свойство заключается в том, что изображение линейнойкомбинации решетчатых функций равно той же линейной комбинации их изображений.Пусть решетчатая функция определяется выражением(15-46)Тогда для ее изображения можно записать(15.47)2. Теорема запаздывания и упреждения.
Рассмотрим решетчатую функцию f[n — m],сдвинутую вправо (запаздывающую) на целое число тактов m. Тогда из формулы (15.29)следует, если обозначить n — m = r,(15.48)Здесь F(z) — изображение функции f[n]. Если исходная решетчатая функция f[n] равнанулю при отрицательных значениях аргумента, то формула (15.48) упрощается:(15.49)Если сдвиг функции f[n] происходит влево (упреждение) и рассматривается функцияf[n+m] , где m— целое положительное число, то аналогично случаю запаздывания можнопоказать, что(15.50)Второе слагаемое в правой части (15.50) обращается в нуль, если f[n] = 0 при n = 0, 1, . .
.,m-1.При запаздывании на не целое число периодов m + ξ приходится вводить смещеннуюрешетчатую функцию. Пусть рассматривается функция f[n - ε − m − ξ ], где m—целая, а ξ — дробная часть запаздывания. Если смещение е удовлетворяет условию0 ≤ ε < ξ и f [n + ε − m − ξ ] = 0 при n + ξ < ξ + m при, то можно показать, чтоЕсли ξ ≤ ε < 1 , то(15.51)(15.52)При использовании табл. 15.1 для нахождения изображений следует вместо ε подставить− ξ + ε + 1 или − ξ + ε в соответствии с формулами (15.51) и (15.52).3. Теорема об умножении оригинала на экспоненту (теорема смещения в областиизображений).
Умножим решетчатую функцию на экспоненту е λ nТ. Тогда из формулы(15.29) следует:(15.53)Для смещенной решетчатой функции аналогичная формула имеет вид(15.54)4. Теорема об умножении оригинала на степенную функцию. Пусть решетчатой функцииf[n] соответствует изображение F(z). Тогда можно показать, что(15-55)Для смещенной решетчатой функции аналогичная зависимость имеет вид.5. Изображение(15.56)разностей. Для первой прямой разности на основании (15.50)(15.57)Если k — целое число, то аналогичным образом(15.58)причем ∆ f [0] = f [0] .Если решетчатая функция f[n] равна нулю в первых k точках оси времени, т.
е. f[0]= f[1] =...=f[k— 1] = 0, то формула (15.58) упрощается:0(15.59)Для первой обратной разности можно аналогичным образом найти(15.60)Если для отрицательных аргументов решетчатая функция тождественно равна нулю, тоформула (15.60) упрощается:(15.61)Для k-й обратной разности при f[n] = 0 для n<0(15.62)Полученные формулы изображений прямых и обратных разностей формальнонапоминают формулы для нахождения изображений производных непрерывных функций.Формула (15.62) аналогична случаю изображения производной k-го порядка непрерывнойфункции по начальным условиям слева при нулевых их значениях. Заметим, что при Т → 0(непрерывный случай) множитель в правой части стремится к пределу:(15.63)К такому же пределу стремится множитель (z — 1)k в (15.59).
Это также иллюстрируетсходство формул изображений производных и разностей.6. Изображение сумм. Рассмотрим вначале неполную сумму (15.12):Составим первую прямую разность этой суммывозьмем z-преобразование от правой и левой частейНа основании (15.59) имеем, далее,Отсюда можно найти изображение неполной суммы(15.64)Распространяя эту зависимость на случай k-кратного суммирования можно записать(16.65)Для полной суммы (15.13) аналогичным образом можно найти первую обратную разностьее изображение из (15.61)Отсюда изображение полной суммы(15.66)Для случая k-кратного суммирования(15.67)Из приведенного рассмотрения вытекаетсправедливость равенства(15.68)Таким образом, взятие прямой разности и взятие неполной суммы (или обратной разностии полной суммы) решетчатой функции являются обратными операциями.
Роль оператора,аналогичного оператору р = с+jw в непрерывных системах, в первом случае играетz −1оператор (z — 1), а во втором случае — оператор. В случае перехода к пределу приzТ → 0 обе пары операций над решетчатыми функциями сливаются и превращаются воперации дифференцирования и интегрирования непрерывных функций.7.
Изображения решетчатых функций с измененным периодом следования. Пустьрассматривается решетчатая функция с периодом следования дискрет λ Т, где λ ≠ 1.Тогда на основании (15.29) можно записать(15.69)Из (15.69) следует, что при изменении периода в λ раз необходимо в изображениирешетчатой функции f[n] заменить z на z λ и Т на λ Т. Так, например, еслирассматривается решетчатая функция e − anT , то при введении периода λ Т в соответствии стабл. 15.1 изображение будетгде z1 = z λ и d 1 = d λ На рис. 15.8 построены для этого случая решетчатые функции сисходным периодом следования Т (рис.
15.8, а), растянутым периодом при λ > 1 (рис.15.8, б) и сжатым периодом при λ < 1 (рис. 15.8, в).8. Сумма ординат решетчатой функции. Если абсцисса абсолютной сходимостирешетчатой то, положив в (15.29) p = 0, имеем(15.70)9. Конечное значение решетчатой функции. Составим первую прямую разностьрешетчатой функции f[n] и на основании (15.47) найдем ее изображениеДалее на основании (15.70) найдем сумму ординат ∆ f[n]:Кроме того, можно записатьИз двух последних выражений следует:(15.71)Если провести аналогичное рассмотрение с первой обратной разностью, то можнополучить формулу для вычисления конечного значения решетчатой функции в другомвиде:(15.72)10.
Начальное значение решетчатой функции. Составим первую прямую разностьи на основании (15.48) найдем ее изображениеРассмотрим теперь предел выраженияТогда из последних двух формул можно найти(15.73)Зависимости (15.72) и (15.73) представляют собой аналоги соответствующих выраженийдля нахождения конечного и начального значений непрерывной функции f(t) по ееизображению Лапласа:11.
Свертка решетчатых функций. Еслито можно показать, что(15.74)Эта формула аналогична соответствующему выражению для свертки двух непрерывныхфункций.12. Формула обращения. Рассмотрим задачу нахождения решетчатой функции (оригинала)по ее изображению. Эту операцию запишем в символическом виде как обратное zпреобразование:(15.75)(15.76)Заметим, что аргумент изображения обладает свойством(15.77)где k — произвольное целое число. Вследствие этого изображения F(z) и F(z, ε )представляют собой периодическую функцию относительно мнимой части аргументар=у+ jw с периодом 2πT , что дает основание рассматривать изображения только внутриинтервала изменения 0 ≤ w < 2πT .Удобнее использовать интервал — πT −1 < w ≤ πT −1 так как он оказываетсяаналогичным интервалу частот − ∞ < w < ∞ , рассматриваемому обычно для непрерывныхфункций времени.
Принятый интервал дает на комплексной плоскости р = γ + jw область(рис. 15.9), в которой достаточно рассматривать изображение F(z) = F(ерT).Изображение F(z) может иметь в этой области особые точки тина полюсов — pi (где i = 1,2, . . ., k). Полюсы могут быть или вещественными или комплексно сопряженными. Вслучае p1, 2 = γ 1 ± jπT −1 достаточно рассматривать один из этих полюсов,соответствующий, например, положительной мнимой части (на верхней границеобласти).
Рассмотрим выражение (15.29):Умножим левую и правую его части на еmрТ, где m— целое число, и проинтегрируем еговдоль линии Ь (рис. 15.9) в пределах от p1 = c − jπT −1 до p 2 = c + jπT −1 , где с —произвольная величина, большая, чем абсцисса абсолютной сходимости:(15.78)При этом все полюса F(е ) будут лежать в рассматриваемой области на комплекснойплоскости левее линии интегрирования L. Это и дает право изменить в (15.78) порядокопераций интегрирования и суммирования.Если m ≠ n , тортЕсли m = n , тоВследствие этого (15.78) можно представить в видеЗаменяя m на n, получим окончательно формулу обращения(15.79)Так как z=е и dz = Тzdр, то формула обращения (15.79) может быть также представлена вдругом виде:рTИнтегрирование ведется по окружности с центром в начале координат и радиусомR>|zv|mах> где v=1,2, ...,1 — полюсы функции F(z).В случае простых полюсов значение интегрального вычета в точке z= zv, может бытьопределено из выражения(15.81)В случае полюса кратности r значение интегрального вычета в точке — z= zvопределяется выражением(15.82)Если функция F(z) имеет нулевой полюс кратности r, то для функции F(z)zn-1 при n = 0полюс будет иметь кратность r+1.
В этом случае значение интегрального вычета в точкеz=0 будетАналогичные формулы обращения имеют место и для смещенной решетчатой функции:(15.84)(15.85)Полученные выражения (15.79), (15.80), (15.84) и (15.85) несколько сложны дляпрактического использования.
Поэтому для нахождения решетчатой функции по ееизображению обычно применяются другие методы, которые даны ниже.13. Формулы разложения. Если изображение представляет собой простейшую табличнуюформу (см., например, табл. 15.1), то переход к оригиналу не представляет трудностей.Сложная дробно-рациональная форма может быть представлена в виде суммы дробейпервой степени. Рассмотрим некоторые употребительные разновидности формулыразложения.а) Пусть изображение F(z) представляет собой отношение двух многочленов:причем будем предполагать, что степень числителя не выше, чем степень знаменателя, акорни знаменателя простые. Тогда изображение можно представить в виде суммы(15.86)где В’(z) — производная В (z) по z, а zv (v= 1, 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
