Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 84
Текст из файла (страница 84)
. ., l) — корни знаменателя.Элементарному слагаемому z(z —zv)-1 соответствует оригинал e − av nT = z vn , гдеa v = T −1 ln z v−1 (см. табл. 15.1). В табл. 15.1 единственный корень дроби первойстепени обозначен z1 = d.Поэтому оригинал (15.86) можно записать следующим образом:(15.87)б) Пусть изображение F(z) не имеет нулевого корня числителя, но степень числителя А(z) меньше степени знаменателя. Тогда, как следует из (15.73), начальноезначение решетчатой функции f[0] = 0.Для нахождения оригинала в этом случае можно воспользоваться формулами (15.86) и(15.87), но применить их следует для сдвинутой на один такт влево решетчатой функции,изображение которой будет zF(z).
Для тога чтобы получить в результате искомуюфункцию, следует в правой части (15.87) сделать сдвиг на один такт вправо, для чегонужно заменить n на n — 1. В результате имеем(15.88)причем последнее выражение будет справедливым только для n>1.в) Пусть изображение F(z) не имеет нулевого корня числителя А (z), причем степень А(z)равна степени знаменателя В(z). Тогда следует понизить степень числителя, поделив егона знаменатель, и представить Р (г) в виде суммы составляющей нулевого порядка идробно-рационального остатка F0 (z).
В соответствии с формулой (15.29) перваясоставляющая равна начальному значению решетчатой функции f(0). ПоэтомуПереход от второй составляющей изображения к оригиналу может быть сделан поформуле (15.88), которая справедлива для n> 1.г) Если изображение F(z) можно представить в виде некоторой дробно-рациональнойфункции F0 (z), умноженной на изображение единичной ступенчатой решетчатой функцииf[n], которое равно z(z — I)-1, т. е.то можно показать, что формула разложения приобретает вид(15.89)Последнее выражение представляет собой аналог известной формулы разложенияХевисайда, полученной им для непрерывных систем.д) Пусть изображение F(z) имеет нулевой полюс кратности r и простые остальные полюсыпричем степень числителя А(z) меньше степени полинома B0(z). Тогда наосновании (15.83) и (15.88) можно найти оригинал в виде(15.90)При равенстве степеней числителя и полинома В0 (z) следует выделить делением А (z) наB0 (z) нулевую составляющую и остаток, после чего представить изображение в видеЗдесь f[r] — значение оригинала в момент z = r.
Далее можно воспользоватьсяформулой (15.90), заменив в ней А (z) на А0(z).е) Пусть изображение F(z) имеет полюс zl кратности r, а все остальные полюсы простые:причем степень числителя меньше степени знаменателя.Тогда в соответствии с (15.82) и (15.88) оригинал будет(15.91)Эта формула справедлива для n>1. При n = 0 значение оригинала f[0]= 0. Для случаядвойного корня (r = 2) формула (15.91) приобретает вид(15.92)Так, например, еслиТочто совпадает с табл. 15.1.В случае, когда степень числителя F(z) равна степени знаменателя, следует аналогичноизложенному выше выделить член нулевого порядка f[0] делением числителя назнаменатель и рассматривать далее остаток от деления.14. Разложение в ряд Лорана.
Из основного выражения для нахождения z-преобразования(15.29) следует:Разложив любым способом изображение F (z) , в ряд Лорана (ряд по убывающимстепеням z);и сравнивая два ряда между собой, можно установить, что с0 = f[0], с1 = f[1], с2 = f[2], . . .,сk = f[k] и т. д.Разложение в ряд можно делать любым способом, так как такое разложение единственно.Наиболее удобным приемом для дробно-рациональных функций является делениечислителя на знаменатель.Применяя разложение в ряд Лорана, можно вычислить значения оригинала f[n] или f[n, ε ]в дискретных точках без нахождения полюсов изображения F(z).15.
Решение разностных уравнений. Пусть имеется разностное уравнение в форме (15.15)с начальными условиями у[v] = уv (v = 0, 1, . . ., m — 1). Найдем z-преобразование от еголевой и правой частей. В соответствии с формулой (15.50) для случая упреждения на mтактовАналогичные зависимости могут быть записаны для упреждения на (m — 1), (m — 2), . .
.,1 тактов. Поэтому при переходе в рассматриваемом разностном уравнении кизображениям можно получить(15.93)В правой части (15.93), кроме изображения F(z) решетчатой функции f[n], находятсячлены, определяемые начальными условиями. Сумма их обозначена Уо (z).Из (15.93) можно найти изображение У(z) искомой решетчатой функции(15.94)гдеДалее можно использовать изложенные выше приемы перехода к искомому оригиналуу[n].Для решения рассматриваемого разностного уравнения необходимо, как следует изизложенного, знать начальные условия у[v] = yv (V = 0, 1, . .
., m — 1). Последние жезависят от вида действующей в правой части разностного уравнения решетчатой функции.Более удобны для решения разностные уравнения вида (15.19)с начальными условиямиИзображение решетчатой функции у [n — m], запаздывающей на т тактов, в соответствиис (15.48) будетПодобные зависимости могут быть записаны для запаздывания на (m — 1), (m — 2), . . ., 1тактов.При переходе в рассматриваемом разностном уравнении к изображениям могут бытьполучены выражения, аналогичные (15.93) и (15.94).
Переход к искомой решетчатойфункции у [n] осуществляется в соответствии с изложенными выше приемами.Особый интерес представляет случай, когда до момента времени n = 0 искомаярешетчатая функция тождественно равна нулю. Это эквивалентно случаю нулевыхначальных условий слева (при t = -0) при решении дифференциальных уравнений длянепрерывных функций. Тогда в выражении для изображения (15.94) пропадает член вправой части, определяемый начальными условиями, и оно приобретает вид(15.95)Рассмотрим разностное уравнение вида (15.19), но записанное в более общем виде:(15.96)Если ввести предположение, что решетчатая функция у [n] тождественно равна нулю приn < 0 и, кроме того, функция f[n] в правой части (15.96) прикладывается в момент времениn= 0, то переход к изображениям дает(15.97)Изображение искомой решетчатой функции можно представить в виде(15.98)Здесь введена дискретная передаточная функция W(z), которая, как и в случаенепрерывных функций, есть отношение двух изображений (выходной и входной величин)при нулевых начальных условиях.
Дискретная передаточная функция играет такую жероль в импульсных и цифровых системах, как и обычная передаточная функция внепрерывных системах. Получение этой функции будет подробно рассмотрено ниже.16. Периодические решетчатые функции и их изображения. Введем в рассмотрениепериодическую решетчатую функцию(15.99)где k и М — целые числа, причем М представляет собой относительный период (рис.15.10, а).Первая гармоника имеет относительную угловую частоту(15.100)Функция (15.99) может быть представлена в виде суммы конечного числа гармоник счастотами, кратными w1:(15.101)Число гармоник равно целой части M/2.Ряд (15.101) может быть представлен в комплексной форме:(15.102)где(15.103)Для М = 2N при k =N(15.104)Комплексные амплитуды могут находиться из формул: при М = 2N + 1(15.105)при М = 2N(15.106)Для r = N при М =2N+1(15.107)и при М =2N(15.108)Для симметричной периодической функции (рис. 15.10, б), т.
е. при выполнении условийМ = 2N и f[n] = -f[n+N], формула для комплексной амплитуды принимает вид(15.109)Из последнего выражения следует, что при четном r будет сr = 0, т. е. четные гармоникиотсутствуют. При r нечетном(15.110)Если N нечетно, то при r = N(15.111)Так как здесь присутствуют только нечетные гармоники, то тригонометрический рядможет быть записан в вещественной форме:(15.112)где N1 = N—1 для четных N и N1 = N для нечетных N.Для нахождения изображения периодической решетчатой функции (15.99)применим теорему сдвига (15.50):Отсюда следует:(15.113)Сумма в правой части (15.113) представляет собой изображение решетчатой функциина интервале 0 — М.Для симметричной периодической функции f[n] = -f [n + N] аналогичным образомможно получить(15.114)Найдем, например, изображение симметричной периодической решетчатой функции,показанной на рис.
15.10, в:§ 15.3. Передаточные функцииБлочная схема импульсной системы, содержащая импульсный элемент ИЭ в каналеошибки, изображена на рис. 15.11. Импульсный элемент обычно считают идеальным.Понятие идеального импульсного элемента вводится двояким образом.Можно положить, что идеальный импульсный элемент генерирует решетчатую функциюс периодом Т, образованную из непрерывного значения ошибки системы(15.115)Здесь принято, что в решетчатой функции смещение ε = 0.
Это всегда можно сделатьвыбором начала отсчета времени.Подобным образом, т. е. в соответствии с (15.115), работают, например, устройствадискретного съема информации с объектов различного вида. Далее решетчатая функциях* [n] поступает на формирующее устройство, или экстраполятор Э, а затем сигнал свыхода экстраполятора поступает на непрерывную часть системы. Задачаформирующего устройства (экстраполятора) заключается в формировании реальногоимпульса прямоугольной, трапецеидальной, треугольной и т. п. формы. Совокупностьидеального импульсного элемента и экстраполятора образует реальный импульсныйэлемент.
Можно ввести понятие идеального импульсного элемента и иначе, считая, что онгенерирует с периодом Т последовательность бесконечно коротких импульсов типа δ функции, площадь которых пропорциональна сигналу ошибки х(t) в моменты времени t= nТ, т. е.(15.116)где δ т (t) = δ (t— nТ).Представление импульсного элемента согласно (15.116) не соответствуетдействительности, так как никакой импульсный элемент не может генерироватьбесконечные по высоте импульсы. Однако подобное формальное представление позволяетупростить изображение структурной схемы импульсной системы и поэтому используется.Введем понятие приведенной весовой функции wп(t) разомкнутого канала регулирования(рис. 15.11), понимая под этим термином реакцию непрерывной части системы совместнос экстраполятором на единичную импульсную решетчатую функцию х*[n] = δ 0 [n],которая определена формулой (15.32).
При этом используется понятие идеальногоимпульсного элемента в соответствии с (15.115), т. е. у* [n] = х [n].Более строго весовую функцию wп (t) следует определить (см. главу 4) как отношениевыходного сигнала у(t), возникающего при поступлении на вход экстраполятораединственной дискреты х0 в момент n = 0, т. е. функции х* [n] = х0 δ 0 [n], к значению х0:(15.117)Если выходную величину рассматривать только в дискретные моменты времени t= nТ илиt = (n + ε ) Т, то разомкнутый канал регулирования будет представлять собой импульсныйфильтр. Он может характеризоваться решетчатой весовой функцией wп[n] или wп [n, ε ],полученной из производящей функции wп (t).Заметим, что приведенная весовая функция отличается от обычной весовой функциинепрерывного фильтра как своим видом, так и размерностью.
Приведенная весоваяфункция содержит дополнительный множитель, имеющий размерность времени.Знание решетчатой весовой функции wп[n] или wп [n, ε ] позволяет найти реакциюимпульсного фильтра на входную величину х [n] произвольного вида.Очевидно, что реакция импульсного фильтра на дискрету х [0] будет wп (t) х [0], реакцияна дискрету х [1] будет wп (t — Т) х [1], реакция на дискрету х [m] будет wп (t- mТ) х[m]. ПоэтомуДля дискретных моментов времени(15.118)Найдем z-преобразование от левой и правой частей последнего выражения:(15.119)На основании формулы свертки (15.74)(15.120)где дискретная передаточная функция W(z) есть z-преобразование от приведеннойрешетчатой весовой функции:(15.121)Последняя формула, вообще говоря, очевидна.
Так как передаточная функция линейнойсистемы не зависит от вида входного сигнала, то можно положить х [n] = δ 0 [n].Изображение единичной решетчатой импульсной функции равно единице. Поэтомупередаточная функция импульсного фильтра оказывается равной в этом случаеизображению выходной величины, которая представляет собой решетчатую приведеннуювесовую функцию wп [n], и формула (15.121) может быть написана сразу.В случае использования понятия идеального импульсного элемента в соответствии сформулой (15.121) приведенная весовая функция может определяться аналогичнымобразом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
