Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Затем составляются уравнения этих последних звеньевсо всеми допустимыми упрощениями их характеристик.В результате получается система обыкновенных линейных уравнений, к которымдобавляется одно-два (иногда более) нелинейных. В соответствии с этим обобщеннуюструктурную схему любой нелинейной системы автоматического регулирования в случаеодного нелинейного звена можно представить в виде рис. 16.1, а, где линейная частьможет иметь структуру любой сложности (с обратными связями и т. п., как, например, нарис. 16,1, б или в).
В случае двух нелинейных звеньев могут быть разные комбинации, взависимости от того, в какие цепи системы они входят (см., например, рис. 16.2).Часто при исследовании нелинейных систем автоматического регулирования удаетсявыделить нелинейность так, чтобы она описывалась непосредственно зависимостьюмежду выходной и входной величинами(16.1)которая может иметь любую форму (релейного типа, кусочно-линейного иликриволинейного).
Но иногда, как будет показано в следующих параграфах, неудается этого сделать и приходится исследовать нелинейные дифференциальныезависимости вида(16.3)Встречаются и более сложные случаи, когда обе величины (входная и выходная)оказываются под знаком нелинейной функции раздельно;(16.4)или же вместе:(16.5)Разделим все нелинейные системы регулирования на два больших класса.1. К первому классу нелинейных систем отнесем такие, в которых уравнение нелинейногозвена приводится к любому из видов (16.1) — (16.3), т. е.
когда под знаком нелинейнойфункции стоит только входная величина (и ее производные) либо только выходнаявеличина (и ее производные).При этом имеется в виду, что схема системы в целом можетбыть приведена к виду рис. 16.1 с одним нелинейным звеном. К этому классу сводится,например, также случай с двумя нелинейными звеньями, указанный на рис. 16.2, в, так кактам они могут быть объединены в одно нелинейное звено.
Сюда же относится и случай,показанный на рис. 16.2, г, где имеются два нелинейных звена (если их уравнениясодержат под знаком нелинейности только входную величину х, например, вида (16.1) или(16.2)).2. Второй класс нелинейных систем включает системы с любым числом нелинейныхзвеньев, когда под знаки нелинейных функций входят различные переменные, связанныемежду собой линейной передаточной функцией. Так будет в случае системы с однимнелинейным звеном вида (16.4) или (16.5), а также в системе с двумя нелинейнымизвеньями (рис. 16.2, а или г), если в первом из них под знак нелинейности входит входнаявеличина, а во втором — выходная.
Система же рис. 16.2, б относится ко второму классу,если под знаки нелинейностей входят в обоих звеньях либо только входные, либо тольковыходные величины нелинейных звеньев.Ко второму классу нелинейных систем относятся также системы с двумя и болеенелинейностями, в уравнениях которых под знаки нелинейных функций входят разныепеременные, связанные между собой нелинейными дифференциальными уравнениями (т.е.
связанные через линейные части и нелинейные звенья). К таким системам относятся,например, система на рис. 16.2, а, если в ее уравнениях под знаками нелинейных функцийнаходятся входные (или выходные) величины обоих нелинейных звеньев, и многие другиесистемы.Системы с логическими устройствами относятся обычно к нелинейным системам второгокласса.Заметим, что во всех случаях, когда под знак нелинейной функции входит какая-либолинейная комбинация разных переменных, их следует обозначать одной буквой, а даннуюлинейную комбинацию учесть при составлении общего уравнения линейной частисистемы.
Это бывает, например, в тех случаях, когда на вход нелинейного звена подаютсяпроизводные или включается обратная связь. Так, если для рис. 16.1, бто, обозначаяможно привести уравнение нелинейного звена к виду (16.1).Из всех уравнений линейных звеньев, а также добавочных линейных выражений типа(16.6), получаемых при выделении нелинейности, составляется общее уравнениелинейной части системы(16.7)(где Q (р) и R(р) — операторные многочлены) или передаточная функция линейной частисистемы(16.8)Составление уравнений будет проиллюстрировано ниже на примерах.Процессы в нелинейных системах автоматического регулирования имеют целый рядвесьма существенных особенностей, которые не встречаются в линейных системах.Благодаря этим существенным особенностям даже вопрос об устойчивости системыстановится здесь более сложным.
Кроме структуры системы и значений ее параметров дляустойчивости того или иного установившегося процесса имеют значение здесь, в отличиеот линейных систем, также и начальные условия. Возможен новый вид установившегосяпроцесса _ автоколебания, т. е. устойчивые собственные колебания с постояннойамплитудой при отсутствии внешних колебательных воздействий.
Когда в системевозникают автоколебания, то установившееся состояние, соответствующее постоянномузначению регулируемой величины, часто становится невозможным.Следовательно, в общем случае на плоскости параметров системы могут быть не два видаобластей (устойчивости и неустойчивости), как в линейных системах, а больше: 1) областьустойчивости равновесного состояния с постоянным значением регулируемой величины;2) область устойчивых автоколебаний; 3) область неустойчивости системы; 4) области,соответствующие другим, более сложным случаям.Если процессы в системе имеют вид, указанный на рис.
16.3, а, то равновесное состояние(х = 0) неустойчиво. В том случае, когда оба указанных на рис. 16.3, а колебания впереходных процессах стремятся к одной и той же амплитуде и к одной и той же частоте,система будет обладать устойчивыми автоколебаниями с амплитудой а.На рис. 16.3, бив показаны случаи, когда равновесное состояние (х = 0) системыустойчиво «в малом», т. е.
при начальных условиях, не выводящих отклонения впереходном процессе за определенную величину а, и неустойчиво «в большом», т. е. приначальных условиях, выводящих отклонение в переходном процессе за пределы величиныа. Здесь граничным процессом является неустойчивый периодический процесссобственного движения системы с амплитудой а (переходные процессы расходятся отнего в обе стороны).На рис. 16.3, г показан случай трех возможных установившихся состояний: 1) равновесноесостояние (х = 0), 2) колебания с постоянной амплитудой а1 3) колебания с постояннойамплитудой а2.
При этом колебания с амплитудой а1 неустойчивы. В результате системабудет устойчива «в малом» по отношению к равновесному состоянию х = 0, а «вбольшом» система будет обладать устойчивыми автоколебаниями с амплитудой а2.Пример. Для иллюстрации особенностей нелинейной системы исследуем переходныйпроцесс и автоколебания в релейной системе автоматического регулированиятемпературы, изображенной на рис. 1.35. Для этого составим сначала уравнениерегулируемого объекта и регулятора.Пусть регулируемый объект представляет собой некоторую камеру. Учитываяинерционность процесса нагрева и охлаждения, запишем уравнение регулируемогообъекта в видегде θ — отклонение температуры, ϕ ф — отклонение регулирующего органа, f(t) —внешние возмущения.При отклонении температуры θ появляется ток в диагонали моста того или иногонаправления (рис. 1.35) и замыкается тот или иной контакт реле 3, включающегопостоянное напряжение в ту или иную обмотку возбуждения 4 электродвигателя 5.Приняв во внимание некоторое отставание в этом процессе включения, получимрелейную характеристику вида г) рис.
1.36. Далее, считая, что ток I пропорционаленdϕотклонения регулирующего органа 6отклонению температуры объекта θ , а скоростьdtпропорциональна напряжению на обмотках возбуждения электродвигателя, можно вданном случав выходной величиной для указанной релейной характеристики считатьdϕ, а входной — θ (рис. 16.4, а).dtСледовательно, уравнение регулятора запишется здесь следующим образом:прямо(16.10)(16.11)Рассмотрим два произвольных участка переходного процесса (при f(t) = 0) вданной системе (участки АВ и ВD на рис. 16.4, б).dϕ= +с .dtДифференцируя (16.9) по t и подставляя туда +с, получаем при f(t) =0 следующееуравнение системы регулирования на участке АВ:На участке АВ уравнение регулятора согласно рис.
16.4, в будет(16.12)а на участке ВD(16.13)Решение уравнения (16.12) будет(16.14)откуда получаем(16.15)Условимся для простоты отсчитывать время t от начала участка АВ (рис. 16.5, а).Тогда начальные условия будутгде θ А пока неизвестно. Используя начальные условия, находим произвольныепостоянные для уравнения (16.15):(16.16)Аналогично для участка ВD согласно (16.13), отсчитывая время I тоже •от начала этогоучастка (рис.
16.5, б), получим решение(16.17)Все остальные участки кривой переходного процесса будут определяться, очевидно,такими же решениями, но только с другими числовыми значениями величин С1, С2,θA , С'1, С'2, θB . Заметим, что величины θA и θB , необходимые для определенияпроизвольных постоянных, находятся как значения θ в конце предшествующих имучастков. Поэтому, если будет задана величина θ в начальной точке первого участкапроцесса, то все вышенаписанное решение для переходного процесса в системе станетопределенным. Такой метод решения задачи называется методом припасовывания.Выясним теперь, возможны ли в данной система автоколебания, т. е. устойчивоепериодическое решение. Для этого нужно, очевидно, чтобы в конце D одного периодаколебаний (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
