Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 90
Текст из файла (страница 90)
В первом случае получаются, как известно, незатухающие колебания (рис. 16.8,а)(16.26)с постоянной амплитудой А и начальной фазой β , которые зависят от начальныхусловий. Для фазовой плоскости уравнения (16.26) представляют собойпараметрические уравнения эллипса с полуосями А и wА (рис.
16.8, б). Уравнениеэллипсаможно получить непосредственным решением дифференциального уравнения фазовыхтраекторий (16.25) при а1 = 0 и а2 = w2, причем А — произвольная постояннаяинтегрирования.Итак, периодическим колебаниям системы (рис. 16.8, а) соответствует движениеизображающей точки по замкнутой кривой (рис. 16.8, б).Случай 2. В этом случае (комплексные корни с отрицательными вещественными частями),как известно, имеют место затухающие колебания (рис.
16.9, а)гдеа произвольные постоянные A и β определяются из начальных условий:Значения х и у не возвращаются за период колебания к прежним, а становятся меньше.Это дает на фазовой плоскости (х, у) кривую (рис. 16.9, б), которая за один оборот невозвращается в прежнюю точку М0, а подходит ближе к началу координат.Итак, затухающим колебаниям системы (рис. 16.8, а) отвечают фазовые траектории в видеспиралей, по которым изображающая точка приближается к началу координат (рис.
16.9,б).Случай 3. Этот случай (комплексные корни с положительными вещественными частями)соответствует расходящимся колебаниям (рис. 16.10, а). Рассуждая аналогичнопредыдущему, получим всю совокупность возможных фазовых траекторий тоже в видеспиралей, но только изображающая точка будет двигаться по ним не к началу координат,а от него (рис.
16.10, б).Случай 4. Этот случай (вещественные отрицательные корни) соответствуетапериодическому процессу(16.27)гдеНа рис. 16.11, а показаны два возможных варианта (кривые 1 и 2) протекания такогопроцесса. Легко видеть, что на фазовой плоскости (х, у) это изобразится кривыми 1 ж 2соответственно (рис. 16.11, б), так как в первом варианте все время х > 0 и у < 0, а вовтором варианте знаки x и y меняются по одному разу. Границы областей 1 и 2представляют собой прямые у = -а1x и у = -а2x, получающиеся из уравнений (16.27)соответственно при а2 = 0 и при а1 = 0 (обращение одного из корней в нуль).В отличие от прежнего здесь все фазовые траектории вливаются непосредственно вначало координат 0 фазовой плоскости.
Однако изображающая точка М не попадает вначало координат в конечное время, а приближается асимптотически.Итак, затухающим апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории,вливающиеся в начало координат.Случай 5. Этот случай (вещественные положительные корни) соответствует такжеапериодическому процессу, определяемому теми же уравнениями (16.27), но при a1 < 0 иа2 < 0.
Аналогично предыдущему получаем кривые процесса и фазовые траектории,изображенные на рис. 16.12.Случай 6. В этом случае (вещественные корни разных знаков) также имеет местоапериодический процесс (16.27) (рис. 16.13, а), где a1 и а2 имеют разные знаки, но картинафазовых траекторий здесь иная. Так как а2 < 0, то введем обозначение а2 = -а2, причем дляпростоты построений рассмотрим случай a1 = 0, что соответствует согласно (16.23)dyxуравнению системы= α 2 и согласно (16.25) — уравнению фазовых траекторийdty(16.28)Интегрирование последних, аналогично случаю 1, даетy2x2−=1,C 2 (αC ) 2т.
е. семейство гипербол, изображенное на рис. 16.13, б.Направления движения изображающей точки М по фазовым траекториям, показанные наdy(16.28).рис. 16.13, б, легко определяются в каждой четверти плоскости по знакуdxАналогичная картина фазовых траекторий получится в данном случае и при а1 ≠ 0.Итак, расходящимся апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траекториитипа рис. 16.12, б или типа рис. 16.13, б, причем изображающая точка, двигаясь поним, в конечном итоге удаляется от начала координат.Особые точки.
В точках, которые соответствуют установившемуся состоянию,получаем согласно (16.25) неопределенное выражениет. е. неопределенное направление касательных к интегральным кривым (фазовымтраекториям). Такие точки называются особыми точками, причем существует следующаяклассификация для них:а) особые точки типа точки О на риc. 16.8, б называются центрами,б) особые точки типа рис. 16.9, б называются устойчивыми фокусами,в) особые точки типа рис.
16.10, б называются неустойчивыми фокусами,г) особые точки типа рис. 16.11, б называется устойчивыми узлами,д) особые точки типа рис. 16.12, б называются неустойчивыми узлами,е) особые точки типа рис. 16.13, б называются седлами (седло всегда неустойчиво).Особые линии для нелинейных систем.
Реальные системы автоматическогорегулирования можно считать линейными чаще всего в предположении малостиотклонений переменных от их значений в определенном установившемся состоянии.За пределами указанной области вследствие значительного отклонения характеристик отлинейных картина фазовых траекторий может сильно измениться и стать качественноиной.В частности, если по линейной теории система оказывается неустойчивой и процессначинает расходиться, то может оказаться, что из-за фактической нелинейностихарактеристик он не будет расходящимся неограниченно. Амплитуда расходящихсяколебаний может увеличиваться только до определенного значения, а затем оставатьсяпостоянной, т.
е. неустойчивая линейная автоматическая система как бы превращается вустойчивую нелинейную автоколебательную систему (система «генерирует» устойчивыеколебания определенной формы).Картина фазовых траекторий для такой системы изображена на рис. 16.14, а. Здесь вблизиначала координат получаются спирали, как в неустойчивой линейной системе (рис. 16.10,б), но далее все они расходятся не до бесконечности, а приближаются асимптотически кнекоторому замкнутому контуру ограниченных размеров, как показано на рис.
16.14, а. Кнему же приближаются и все спирали, находящиеся вне контура. Это соответствуеткартине процессов во времени, изображенной на рис. 16.3, а. Такого вида замкнутыйконтур, представляющий собой наиболее важный для теории регулирования тип особыхлиний на фазовой плоскости, называется устойчивым предельным циклом.Устойчивый предельный цикл соответствует автоколебаниям системы. Размерыпредельного цикла А и В (рис. 16.14, а) представляют амплитуды колебаний самойdyвеличины х и скорости ее изменения у = . Для определения периода автоколебанийdxнадо обратиться к решению уравнений во времени.Случаю устойчивости системы «в малом» и неустойчивости «в большом» (рис. 16.3, б)соответствует картина фазовых траекторий, изображенная на рис.
16.14, б. Границаначальных условий, до которой система устойчива, имеет чаще всего на фазовойплоскости вид неустойчивого предельного цикла, как на рис. 16.14, б, от которого в обестороны удаляются спиралевидные фазовые траектории. Это — второй важный типособых линий, определяющий устойчивость системы «в малом» и неустойчивость «вбольшом».Заметим, что в этом случае может быть также еще более удаленный устойчивыйпредельный цикл (рис.
16.14, в), соответствующий автоколебаниям с большойамплитудой. Это соответствует процессам во времени, изображенным на рис. 16.3, г.Такие же принципиальные качественные изменения картины фазовых траекторий придостаточно больших отклонениях могут наблюдаться и в случаях апериодическихпроцессов (рис.
16.12, б и 16.13, б), включая превращения их в колебательные и наоборот.Например, картине процессов во времени, показанной на рис. 16.3, в, соответствуеткартина, фазовых траекторий на рис. 16.14, е.Аналогично для системы, находящейся согласно линейной теории на границеустойчивости (при чисто мнимых корнях), картина фазовых траекторий, изображенная нарис. 16.8, б, может иметь место лишь вблизи состояния установившегося режима О.
Прибольших отклонениях, если линейность характеристик звеньев системы нарушается,картина фазовых траекторий будет другой. Один из возможных вариантов измененияфазовых траекторий при больших отклонениях в этом случае показан на рис. 16.14, г.Здесь, кроме особой точки О типа центра, появляются два седла С1 и С2, что приводитфактически к неустойчивости системы. Но может иметь место и устойчивый предельныйцикл.
Особые линии такого типа, как С1A1C2 и С2А2С1 (рис. 16.14, г), на фазовойплоскости называются сепаратрисами (третий тип особых линий). Особые линии болеесложного очертания рассматриваться не будут.Здесь говорилось пока о системах, которые при малых отклонениях рассматриваются каклинейные. Но совершенно аналогичная картина получается и для таких нелинейныхсистем автоматического регулирования, которые даже «в малом» нельзя рассматриватькак линейные. Таковыми являются многочисленные типы релейных систем, а такжесистемы с зоной нечувствительности, с гистерезисной петлей, с сухим трением, с зазором.Интересно отметить, что некоторые из таких систем скорее «в большом», чем «в малом»,могут приближаться к линейным, когда зона нечувствительности или зазор оказываютсямалыми по сравнению с величиной отклонений х.
В системах с зоной нечувствительностии с сухим трением существуют, как известно, области застоя, когда установившемусясостоянию при данных внешних условиях (данной нагрузке) соответствует не одна точка,а целая область возможных равновесных состояний системы. На фазовой плоскости этовыражается в том, что особая точка вытягивается в особый отрезок (рис. 16.14, д).Заметим, наконец, что координатами (х, у) фазовой плоскости могут служить необязательно отклонения регулируемой величины и скорость ее, как было выше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
