Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 89
Текст из файла (страница 89)
16.4, б) получились точно такие же значения θ и θ , какие были в началеего А. Легко заметить, что при этом оба полупериода (АВ и ВВ) должны бытьодинаковыми вследствие симметрии характеристики (рис. 16.4, а). Поэтому дляопределения автоколебаний достаточно рассмотреть только один участок АВ ипотребовать, чтобы(16.18)Обозначив период искомых автоколебаний через 2T, а длительность участка АВ,следовательно, через Т, из (16.14) найдемПодставляя сюда (16.18) и замечая, что из (16.16) θA =C1-k1c получаем выражение(16.19)в котором содержатся две неизвестные; С1 и Т. Величину Т (длительность участка АВ)можно выразить из (16.15), так как известно, что в конце участка θ = -b. Из (16.15) и(16.16) при этом находимПодставив сюда значение С1 из (16.19), получим уравнение для определенияполупериода автоколебаний:(16.20)Это трансцендентное уравнение для Т легко решается графически (рис.
16.6)пересечением двух кривых:Если найдено вещественное положительное значение для T, то это свидетельствует оналичии периодического решения в данной системе. Чтобы доказать, что этосоответствует автоколебаниям, нужно исследовать их устойчивость, т. е.
показать, что впереходном процессе система ведет себя, как изображено на рис. 16.3, а, но не так, как нарис. 16.3, б. Это будет показано ниже.Амплитуда найденных автоколебаний определяется как 8тах на участке АВ (рис. 16.5, а)путем исследования функции (16.15) на максимум обычным путем.Фазовое пространство.
Для наглядного представления о сложных нелинейных процессахрегулирования часто прибегают к понятию фазового пространства, которое заключается вследующем. Дифференциальное уравнение замкнутой системы регулирования n-гопорядка можно преобразовать к системе n дифференциальных уравнений первого порядкав виде(16.21)с начальными условиямигде x1, x2, . . ., хn — переменные, являющиеся искомыми функциями времени, причем хгможет обозначать регулируемую величину, а х2, . .
., хn — вспомогательные переменные; fи g — возмущающее и задающее воздействия. Пусть, например, в уравнениях (16.21)будет n = 3 (система третьего-порядка). Переменные х1, х2, х3 здесь могут иметь любойфизический смысл. Но условно их можно представить мысленно как прямоугольныекоординаты некоторой точки М (рис. 16.7, а).В реальном процессе регулирования в каждый момент времени величины х1, x2, х3 имеютвполне определенные значения. Это соответствует вполне определенному положениюточки М в пространстве (рис. 16.7, а). С течением времени в реальном процессе величиных1, х2, х3 определенным образом изменяются. Это соответствует определенномуперемещению точки М в пространстве по определенной траектории.
Следовательно,траектория движения точки М может служить наглядной геометрической иллюстрациейдинамического поведения системы в процессе регулирования.Точка М называется изображающей точкой, ее траектория называете фазовойтраекторией, а пространство (х1, х2, х3) называется фазовым пространством.Так как производные по времени от координат точки представляют проекции ее скоростиυ на оси координат, то дифференциальные уравнения системы в форме (16.21)представляют собой выражения для проекций скорости υ ; изображающей точки М (рис.16.7, а) на оси координат. Следовательно, по значениям правых частей уравнений (16.21) вкаждый момент времени можно судить о направлении движения изображающей точки М,а вместе с тем и о поведении соответствующей реальной системы в процессерегулирования.Начальные условия процесса регулирования (х10, х20, x30)-определяют координатыначальной точки фазовой траектории М0 (рис.
16.7, а).Если переменных в уравнениях (16.21) будет всего две: х1 и х2 (система второго порядка),то изображающая точка будет двигаться не в пространстве, а на плоскости (фазоваяплоскость).Если переменных будет любое число n > 3 (система n-то порядка), то фазовоепространство будет не трехмерным, а n-мерным.Итак, фазовое пространство и фазовые траектории представляют собой лишьгеометрический образ динамических процессов, протекающих в системе. В этом!геометрическом представлении участвуют координаты и исключено время.
Фазоваятраектория сама по себе дает лишь качественное представление о характере поведениясистемы. Чтобы определить количественно положение изображающей точки (а значит, исостояние системы) в любой момент времени, нужно найти решение заданныхдифференциальных уравнений (16.21) во времени.Если уравнения (16.21) составлены в отклонениях от установившегося состояния, топоследнее характеризуется значениями х1 = х2 = . .
. = хn=0. Следовательно, изображениемустановившегося состояния системы является начало координат фазового пространства.Отсюда вытекает, что фазовые траектории устойчивой линейной системы будутасимптотически приближаться к началу координат при неограниченном увеличениивремени. Фазовые траектории неустойчивой линейной системы будут неограниченноудаляться от начала координат.Для нелинейной системы вследствие ряда особенностей процессов, отмечавшихся выше,фазовые траектории могут принимать самые разнообразные очертания.
Если имеетсяасимптотическая устойчивость для определенного круга начальных условий, то всефазовые траектории, которые начинаются внутри определенной области ε , окружающейначало координат фазового пространства (рис. 16.7, б), будут асимптотическиприближаться к началу координат.
Если устойчивость неасимптотическая, то фазовыетраектории, начинающиеся внутри определенной области η вокруг начала координатфазового пространства, могут иметь любые очертания, но не будут выходить за пределынекоторой определенной области ε , окружающей начало координат (рис.
16.7, б}.Формулировка понятия устойчивости по Ляпунову. Невозмущенное движение(установившийся процесс) называется устойчивым, если при заданной сколь угодно малойобласти ε (рис. 16.7, б) можно найти такую область η , что при начальных условиях,расположенных внутри этой области, возмущенное движение (переходный процесс) будеттаким, что изображающая точка не выйдет из области ε при любом сколь угоднобольшом значении времени t.В аналитической записи формулировка понятия устойчивости по Ляпунову будетследующей.
Невозмущенное движение (установившийся процесс) будет устойчивым, еслипри заданных положительных сколь угодно малых числах ε i можно найти такиеположительные числа η i , (i = 1, . . ., n), что при начальных условиях(16.22)решение дифференциальных уравнений возмущенного движения (переходного процесса)удовлетворяет неравенствампри любом сколь угодно большом I, начиная с некоторого t= Т > 0.Представим себе для этой аналитической записи геометрический образ в фазовомпространстве. Очевидно, что при ограничении начальных условий по каждой координатенеравенствами (16.22) получается n-мерный параллелепипед со сторонами 2η i внутрикоторого должна лежать начальная точка фазовой траектории М0 (х10, х20, .
. ., хn0). Нафазовой плоскости (n= 2) он обращается в прямоугольник. Аналогично и второе изнаписанных неравенств геометрически означает, что фазовые траектории не должнывыходить из параллелепипеда со сторонами 2 ε i .В формулировке Ляпунова содержится требование сколь угодной малости указанныхобластей.
Однако практически это определение, так же как и теоремы Ляпунова, которыебудут приведены ниже, применяется и тогда, когда эти области имеют определенныеконечные размеры.Фазовые траектории для обыкновенных линейных систем. Пусть переходный процессв некоторой системе описывается уравнением второго порядка(16.23)Введем обозначение для скорости изменения отклонения регулируемой величиныdxy=.Тогда уравнение системы (16.23) преобразуется к видуdt(16-24)Исключим из уравнений (16.24) время t, разделив первое из них на второе (при хи у ≠ 0):(16.25)Решение у = ϕ (х) этого дифференциального уравнения с одной произвольной постояннойопределяет собой некоторое семейство так называемых интегральных кривых на фазовойплоскости (х, у), каждая из которых соответствует одному определенному значениюпроизвольной постоянной.Вся совокупность интегральных кривых представит собой все возможные фазовыетраектории, а значит, и все возможные виды переходного процесса в данной системеавтоматического регулирования при любых начальных условиях.Рассмотрим отдельно различные случаи.
Уравнению (16.23) соответствуют корнихарактеристического уравненияпричем возможны шесть случаев:1) корни чисто мнимые при a1 = 0, а2 >0 (граница устойчивости линейной системы);2) корни комплексные и имеют отрицательные вещественные части при a12 < 4а2, a1 > 0,а2 >0 (устойчивая линейная система);3) корни комплексные и имеют положительные вещественные части при a12 < 4а2, a1 < 0,а2 >0 (неустойчивая линейная система);4) корни вещественные отрицательные при a12 > 4а2, a1>0, а2 >0 (устойчивая линейнаясистема);5) корни вещественные положительные при a12 >4а2, а1<0, а2 >0 (неустойчивая линейнаясистема);6) корни вещественные и имеют разные знаки при а2 < 0 (неустойчивая линейнаясистема); в частности, один из корней будет равен нулю при a2 =0 (граница устойчивостилинейной системы).Случай 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
