Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Если х0 — сигнал на входе импульсного элемента в момент времени t=0, то наего выходе будет сигнал х* [0] = х0 δ (t). Приведенная решетчатая весовая функциянепрерывной части совместно с экстраполятором будет в этом случае равна отношениюреакции на выходе у[n] к сигналу на входе х0, т. е. wп [n] = = х0у [n], что совпадает сизложенным выше.Однако в этом случае, поскольку изображение Лапласа единичной функции δ (t) равноединице, можно считать, что изображение Лапласа выходной величины у(t) = wп (t) привоздействии на входе вида δ (t) совпадает с непрерывной передаточной функцией каналарегулирования, т.
е. Ул (р) =Wп(t)- В свою очередь передаточную функцию И^ (р),учитывая вид схемы, изображенной на рис, 15.11, можно представить в виде произведенияпередаточных функций экстраполятора и непрерывной части, т. е. W(р) == Wэ(р) Wо(р).Это дает возможность представить структурную схему импульсной системырегулирования так, как это изображено на рис.
15.12.Передаточная функция Wп (р) есть изображение Лапласа приведенной весовой функцииwп (t), и ее можно назвать приведенной передаточной функцией непрерывной частисовместно с экстраполятором.Формулы (15.120) и (15.121) указывают на полное сходство с непрерывными системами, укоторых передаточная функция есть преобразование Лапласа от весовой функции(15.122)Формула (15.121), определяющая дискретную передаточную функцию импульсногофильтра, может быть записана также в другом виде через введенную передаточнуюфункцию Wп (р):(15.123)На выходе дискретного фильтра может рассматриваться смещенная решетчатаяфункция у [n, ε ) и wп [n, ε ].
Тогда передаточная функция(15.124)изображение выходной величины(15.125)Однако большинство задач по исследованию дискретных систем может быть решено прииспользовании передаточной функции W(z), которая в основном и будет в дальнейшемрассматриваться.Как следует из полученных выше формул, дискретная передаточная функция должнаопределяться по приведенной весовой функции непрерывной части.
В случае, когданепрерывная часть состоит из параллельно включенных звеньев и ее передаточнаяфункция(15.126).дискретная передаточная функция W(z) может быть определена суммированием частныхдискретных передаточных функций, определенных для каждого звена в отдельности:(15.127)В отличие от непрерывных систем подобное правило не имеет места .для случаяпоследовательно включенных звеньев с общей передаточной функцией(15.128)и общим импульсным элементом на входе.
В этом случае(15.129)и передаточная функция W(z) должна сразу определяться по результирующей весовойфункции wп (z). Для последовательного соединения звеньев wп (t) может, например,определяться по теореме разложения.Иногда для последовательного соединения, например, двух звеньев результирующаяпередаточная функция вместо формы (15.129) записывается; в виде W(z) = W1 W2 (z).Символ W1 W2 (z) должен рассматриваться как единый и относящийся к операциинахождения дискретной передаточной функции последовательно включенных звеньев собщей передаточной функцией W01 (p) W02 (o).Однако в том случае, когда имеется ряд последовательно включенных звеньев, каждое изкоторых имеет на входе свой импульсный элемент (последовательно включенныеимпульсные фильтры), результирующая передаточная функция может находитьсяперемножением дискретных передаточных функций каждого импульсного фильтра:(15.130)Непрерывная часть дискретного фильтра может содержать временное τ = ξT .
Тогдадискретная передаточная функция(15.131)должна определяться в соответствии с формулами (15.51) и (15.52). Если запаздываниележит в пределах 0 < τ < Т или 0 < ξ < 1, то при m= 0и ε = 0 имеем из (15.51)(15.132)При использовании табл. 15.1 необходимо положить ε = 1 - ξ |.Рассмотрим нахождение приведенной весовой функции wп (t) или ее изображения Wп (t)для различных экстраполяторов. В соответствии с изложенным выше можно записатьследующую зависимость:(15.133)где Fи (р) — изображение импульса на выходе экстраполятора при поступлении на еговход единственной дискреты δ 0 [n] в соответствии с (15.115), равное передаточнойфункции экстраполятора WЭ(р) для случая (15.116).
В формуле (15.133) передаточнаяфункция W0(р) относится к непрерывной части.Амплитудно-импульсная модуляция 1-го рода. В этом случае реальный импульсныйэлемент генерирует короткие прямоугольные импульсы, высота которых равна значениюх [n], а продолжительность составляет t и = γT , где γ < 1 (рис. 15.1).Изображение импульса при поступлении на вход экстраполятора функции будетВ этом случае передаточная функция разомкнутой системы(15.134)где ε = 1 - γ .Формулу (15.134) можно также записать в следующем виде. Так как делениепередаточной функции W0 (р) на р эквивалентно интегрированию оригинала, т. е.
весовойфункции w0 (t), то в результате(15.135)где h0 [n] — переходная функция непрерывной части системы, а H0 (z, ε ) — изображениеэтой переходной функции.Пусть, например, непрерывная часть системы имеет передаточную функциюкоторой соответствует переходная функция h0 (t ) = K (1 − e − at ) , где a = T1−1 . Тогда всоответствии с (15.135) и табл. 15.1 получаемгде d = e aT , ε = 1 - γ .При γ < 1 в формуле (15.134) можно приближенно принять e −γpT ≈ 1 − γpT . Тогдаполучим(15.136)Формула (15.136) будет справедлива, если можно пренебречь влиянием конечнойдлительности импульса.Это эквивалентно замене коротких прямоугольных импульсов, которые генерируютсяреальным импульсным элементом, серией одинаковых с ними по площади импульсныхфункций ( δ -функций).
В свою очередь это эквивалентно замене Wэ(р) ≈ γ Т. Такаязамена обоснована, если непрерывная часть реагирует практически одинаково нареальные конечные импульсы и на равные по площади импульсы типа δ -функций. Вбольшинстве случаев для выполнения этого достаточно, чтобы постоянные временисистемы были больше продолжительности импульса, т. е. Тi >tп = γ T(i = 1,2, . .
. , k). Кформуле (15.136) сводится и случай амплитудно-импульсной модуляции 2-го рода (рис.15.1, в), если длительность реального импульса мала.Экстраполяторы с фиксацией на период. В этом случае на выходе экстраполятора втечение всего такта продолжительностью Т удерживается величина, равнаязначению х [n]. Подобным образом работают, например, системы с ЦВМ прииспользовании в них так называемых экстраполяторов нулевого порядка (рис. 15.13).Изображение импульса на выходе экстраполятора при поступлении на вход х[n]= δ 0[n] будет в этом случае (при γ = 1)(15.137)Передаточная функция разомкнутой системы в общем случае наличия временногозапаздывания(15.138)где ε = 1 - γ , τ = ξЕ , причем 0 < ξ < 1- Смещенное z-преобразование должновычисляться в соответствии с формулами (15.51) и (15.52).Формула (15.138) может быть также записана в другом видегде h0 (t) — переходная функция непрерывной части без учета временного запаздывания.Пример.
Определим передаточную функцию разомкнутой системы с экстраполяторомнулевого порядка для случая, когда непрерывная часть имеет передаточную функциюОбщий коэффициент усиления К = 100 сек'1, постоянная времени объекта Т0 = 1 сек,период дискретности Т = 0,5 сек, постоянное временное запаздывание τ = 0 и τ = 0,1 сек.Рассмотрим случай τ = 0.
Разложим выражение, находящееся в скобках (15.138), напростые дроби:Тогда имеем из (15.138)Здесь d = e −T0 / T = 0.61 .Для случая τ = 0,1 сек (или ξ = 0,2) аналогично будем иметь, положив ε = 1 - γЗаметим, что, положив τ = 0и ε = 1 - γ =1, из последнего выражения (**) нельзя получитьпередаточную функцию (*), так как для случая ε = 1 изображение не определяетсяформулой (15.51).Передаточные функции замкнутых систем. Пусть для систем с единичной главнойобратной связью (рис. 15.11 и 15.12) определена для общего случая ε ≠ 0 передаточнаяфункция разомкнутой системы W (z, ε ).
Тогда изображение выходной величины(15.140)Изображение ошибки принято в виде X (z, 0), так как импульсный элемент реагирует назначения ошибки в дискретные моменты времени t= nТ ( ε = 0). При ε = 0 имеемX(z,0)=G(z,0) — Y(z, 0). Подставляя это выражение в (15.140), получаем(15-141)(15.142)Или в сокращенной записи(15.143)(15.144)Здесь введены передаточная функция замкнутой системы Ф (z) и передаточная функцияпо ошибке Фx (z).Условием применимости формул (15.143) и (15.144) является требование равенства нулюприведенной весовой функции в момент t= 0, т. е. w(0) = 0. Для этого в системах сбесконечно короткими импульсами в виде δ -функции требуется, чтобы степеньчислителя передаточной функции непрерывной части Wо (р) по крайней мере на два быламеньше степени знаменателя.В системах с конечными по длительности импульсами достаточно, чтобы эта разностьбыла бы не меньше единицы.Передаточные функции W(z), Ф(z) и Фx (z) могут быть использованы для оценкиустойчивости и качества импульсных систем.Если е ≠ 0, то, учитывая, что в замкнутой системе X (z, 0) есть изображение ошибки, накоторую реагирует импульсный элемент, можно получить из (15.140)(15.145)Однако формула (15.145) обычно не используется, так как практически всегда выражения(15.141) — (15.144) могут быть использованы для оценки качества работы импульснойсистемы.Передаточные функции для возмущений.
На рис. 15.14 изображен случай, когдавнешнее воздействие приложено не на входе импульсного элемента (например,возмущающее воздействие). Перенесем воздействие f на вход в виде воздействия f1. Всоответствии с правилами преобразования структурных схем, если для: возмущения f(t)изображение Лапласа будет Fл (р), то возмущению f1(t) должно соответствоватьизображение Лапласа F1л (р) = W2 (p) W(p). Далее можно найти z-преобразованиеэквивалентного воздействия на входе импульсного элемента(15.146)Для этого воздействия в разомкнутой системе будет X (z)=-F1(z) а в замкнутой(15.147)Таким образом, в случае воздействий, не приложенных ко входу импульсного элемента,передаточная функция импульсной системы может быть определена только дляэквивалентного воздействия, полученного пересчетом реального воздействия на входимпульсного элемента.Частотные передаточные функции. Введем в рассмотрение синусоидальнуюпоследовательность на входе импульсного фильтра(15.148)где а и ϕ — амплитуда и начальная фаза, Т — период повторения (чередования)импульсов, T2С =2 π /w период синусоидальной последовательности.Заметим, что, в отличие от непрерывной гармонической функции, синусоидальнаяпоследовательность (15.148) представляет собой в общем случае непериодическуюфункцию п.
Она представляет собой периодическую функцию n тогда и только тогда,когда период повторения Т и период гармонической: функции Тс — соизмеримые числа.Кроме того, амплитуда а не обязательно является тем максимальным значением, которогомогут достигать те или иные члены последовательности. Амплитуда всегда является лишьверхней границей, но не обязательно максимумом этих членов.Отметим также, что последовательность (15.148) не изменится, еслизаменить частоту f= w/2 π — частотой f+ kf0, где f0 = Т-1 — частота работы ключа, а k —целое число. Невозможно различить две частоты, разность, между которыми равна целомукратному частоты повторения f0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
