Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Так, например, синусоидальная последовательность счастотой f = f0 состоит из одного единственного члена, повторяющегося неограниченноечисло раз, и, следовательно, она неотличима от последовательности с нулевой частотойf=0.Из предыдущего следует, что, меняя частоту синусоидальной последовательности навходе f в пределах от f до f0, можно охватить весь диапазон: возможных частот.Можно также показать, что достаточно исследовать поведение импульсного фильтра вдиапазоне частот 0 <f<0,5f0, так как для интервала, частот 0,5fо <f<fо может бытьиспользована дополнительная частота f':, выбранная так, чтобы выполнялось условие f + f'= f0.
При этом начальная фаза ϕ должна быть заменена начальной фазой π − ϕ . Этоположение аналогично тому, что при исследовании непрерывных систем в интервалечастот - ∞ < f < ∞ достаточно охватить только положительные частоты, т.е. интервал0<f< ∞ .Синусоидальная последовательность (15.148) может быть заменена символическойзаписью последовательности комплексных чисел(15.149)где a = ae — комплексное числоКак и в случае непрерывных систем, символичность записи заключается в том, что насамом деле х [n] равно мнимой составляющей правой части (15.149).Введем обозначение ae jwT = z .
Тогда последовательность (15.149) приобретает видjϕ(15.150)В этой формуле z — произвольное комплексное число с модулем, равным единице.Следовательно, каждой частоте соответствует определенная точка на окружностиединичного радиуса, расположенной на комплексной плоскости (рис. 15.15). Двумэквивалентным частотам, т. е. частотам, различающимся на целое кратное частотыповторения, соответствует одна и та же полный оборот против часовой стрелки. Двумсимметричным относительно вещественной оси точкам, т. е. двум комплекснымсопряженным числам с модулями, равными единице, соответствуют две взаимнодополняющие частоты w и w'. Следовательно, совокупность точек, расположенных наодной верхней (или нижней) полуокружности единичного радиуса, достаточна дляотображения всего многообразия частот.Найдем теперь реакцию импульсного фильтра на синусоидальную последовательность(15.149). Будем предполагать при этом, что импульсный фильтр является устойчивым.Поскольку синусоидальная последовательность на входе всегда ограничена, то и реакцияустойчивого фильтра на эту последовательность должна представлять собойопределенную ограниченную последовательность на выходе.В соответствии с формулой (15.118) выходная величина в этом случае будет дляустановившегося режима(15.151)Эта формула может быть представлена в следующем символическом виде:(15.152)Здесь введена величина(15.153)которая по своему физическому смыслу аналогична частотной передаточной функциинепрерывной системы.
Как видно из (15.153), для данного импульсного фильтра оназависит только от частоты w и является периодической функцией частоты с периодом w0= 2πT −1 .Амплитуду и фазу последовательности выходного сигнала (15.152) можно найти обычнымприемом по комплексному выражению W (z). Отношение амплитуд выходного и входногосигналов равно модулю, а разность их фаз — аргументу этого выражения.В общем случае, когда ε ≠ 0, формула (15.152) может быть представлена в виде(15.154)где W(z, ε ) —передаточная функция (15.124).Таким образом, частотная передаточная функция может быть найдена из дискретнойпередаточной функции импульсного фильтра W(z) или W (z, ε ) посредством подстановкиz = e jwT .Пример.
Пусть непрерывная часть импульсного фильтра представляет собойапериодическое звено первого порядка с передаточной функцией Wо (p) =k(1+T1 р)-1 аимпульсный элемент генерирует короткие прямоугольные импульсы продолжительностиt i = γT .Приведенная функция веса такого звенаДискретная передаточная функциягде d = e−T / T1(15.155). Сделаем подстановку z = e jwT = cos wT + j sin wT .
В результате получим(15.156)Модуль и аргумент этого выражения(15.157)Аналогичным образом могут быть найдены частотные передаточные функции замкнутыхсистем Ф(z) и Фx (z) при z = e jwT .§ 15.4. Устойчивость и качество импульсных систем регулированияВ импульсных системах автоматического регулирования устойчивость будет иметь место,если все полюсы передаточной функции замкнутой системы, т. е. корнихарактеристического уравнения, лежат в левой полуплоскости корней. Границейустойчивости является мнимая ось (рис. 15.16, а).Для построения области устойчивости в плоскости комплексной величины z отобразиммнимую ось плоскости величины р на плоскость z.
Для этой цели в соответствии сметодом D-разбиения необходимо сделать подстановку р = jw и менять затем частоту w впределах от - ∞ до + ∞ . Таким образом, получаем z = еpT = еjwT.При изменении частот в указанных пределах на плоскости z получится окружностьединичного радиуса, представляющая собой область устойчивости (рис. 15.16, б).Условием устойчивости будет нахождение особых точек (полюсов) передаточнойфункции замкнутой системы Ф (z) внутри этой окружности.
Следовательно, корнихарактеристического уравнения1 + W(z) = 0,(15.158)должны быть ограничены по модулю: | zi | < 1, что совпадает с результатом § 15.1.Так, например, для характеристического уравнения первого порядкаz+А=0(15.159)очевидное условие устойчивости будет | А | < 1.Аналогичным образом можно показать, что для уравнения второго порядка(15.160)путем вычисления его корней получаются три условия устойчивости(15.161)Для уравнений более высокого порядка исследование устойчивости усложняется. Дляоблегчения задачи иногда используется так называемое w -преобразование, посредствомкоторого окружность единичного радиуса (рис. 15.16, б) отображается на мнимую осьплоскости комплексной величины w.
Для преобразования используется подстановка(15.162)или, соответственно,(15.163)Сделав подстановку z= еjwT, получаем из (15.163)(15.164)wTгде λ = tgпредставляет собой так называемую относительную псевдочастоту.2Иногда вводится в рассмотрение абсолютная псевдочастота(15.165)wT wTПри малых частотах tg≈и псевдочастота λ ≈ w . Поэтому при выполнении22условия wТ < 2 можно заменить в расчетах псевдочастоту действительной частотой, чтоможет быть использовано, в частности, при расчетах установившихся ошибок пригармоническом входном сигнале.Нетрудно видеть, что при изменении частоты в пределах −π≤ w≤πпсевдочастотаTTпробегает все значения от - ∞ до + ∞ , а комплексная величина w движется по оси мнимыхот —j ∞ до j ∞ .
Областью устойчивости в этом случае оказывается вся леваяполуплоскость (рис. 15.16, в). Поэтому для передаточной функции с w-преобразованиеммогут использоваться обычные критерии устойчивости, справедливые для непрерывныхсистем.Рассмотрим, например, характеристическое уравнение второго порядка (15.160).Посредством подстановки (15.162) оно преобразуется к виду(15.166)На основании алгебраического критерия (см. § 6.2) условие устойчивости для уравнениявторого порядка сводится к требованию положительности всех коэффициентов. Отсюдаполучаются условия (15.161).Заметим также, что применение w-преобразования и псевдочастоты приводитпередаточную функцию разомкнутой системы к виду, удобному для использованияметода логарифмических частотных характеристик.Для определения устойчивости замкнутой импульсной системы возможно использованиекритерия Найквиста.
Для этой цели можно применять передаточную функциюразомкнутой системы, полученную как на основе z-преобразования, так и на основе wпреобразования. И в том и в другом случае амплитудно-фазовая характеристикаразомкнутой системы не должна охватывать точку (—1, j0). При использованиипередаточной функции W(z) амплитудно-фазовая характеристика становитсяпериодической функцией с периодом 2πT −1 .Пусть, например, дискретная передаточная функция разомкнутой системы имеетвид(15.167)Получим частотную передаточную функцию подстановкой z= еjwT:(15.168)В координатах u= ReW и v = ImW амплитудно-фазовая характеристика будетпредставлять собой вертикальную прямую линию, отстоящую влево от начала координатна величину 0,5 КТ.
Граница устойчивости будет при прохождении этой прямой черезточку (—1, j0). Отсюда можно получить условие устойчивости КТ < 2.Получим теперь частотную передаточную функцию на основе w-преобразования. Дляэтого в формуле (15.167) применим подстановку (15.162). В результате получимпередаточную функцию разомкнутой системы как функцию комплексной величины w:(15.169)Частотная передаточная функция разомкнутой системы при подстановке w = jTλ,2(15.170)Нетрудно видеть, что частотная передаточная функция (15.170) в зависимости отпсевдочастоты имеет более простой вид по сравнению с (15.169).
По выражению (15.170)может быть, в частности, просто построена асимптотическая л. а. х.Подобным же образом могут быть получены дискретные передаточныеTфункции Ф*(w) и Ф*x (w), а также частотные передаточные функции Ф*( j λ ).2Оценка качества импульсной системы регулирования может делаться построением кривойпереходного процесса, что при использовании z-преобразования осуществляетсясравнительно легко (§ 15.2), а также посредством различных критериев качества.Наиболее простым является использование показателя колебательности, который можетхарактеризовать запас устойчивости системы.
Как и в случае непрерывных систем,получение заданного показателя колебательности сводится к требованию, чтобыамплитудно-фазовая характеристика системы не заходила в запретную зону, окружающуюточку (—1, j0) в соответствии с рис. 8.27.Установившаяся точность импульсной системы может оцениваться по коэффициентамошибок. Аналогично непрерывным системам, начиная с некоторого момента времениошибку импульсной системы регулирования можно представить в виде ряда(15.171)где коэффициенты ошибок с0, с1, с2 и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
