Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Поэтому вместо (13.57) можно записать(13.60)Таким образом, изображение Фурье выходной величины системы с переменнымипараметрами можно представить как изображение Фурье входной величины, умноженноена частотную передаточную функцию. Разница по сравнению с системой, имеющейпостоянные параметры, заключается в том, что выражение (13.60) записано длянекоторого фиксированного момента времени t = const.
В связи с этим в частотнуюпередаточную функцию W ( jw, t ) входит параметр t, вследствие чего она называетсяпараметрической частотной передаточной функцией.Переходя в формуле (13.57) к преобразованию Лапласа, получим(13.61)где параметрическая передаточная функция(13.62)Отыскание параметрической передаточной функции. Использование интегральной связи(13.62) для нахождения параметрической передаточной функции являетсянерациональным, так как требует знания функции веса, что усложняет задачу. Болееудобно находить параметрическую передаточную функцию непосредственно изисходного дифференциального уравнения (13.1).
Положим в нем f (t ) = δ (t − υ ) . Тогдарешение этого уравнения будет соответствовать функции веса w(t ) = w(t − υ , υ ) .Подставим эти значения в (13.1):Умножим левую и правую части (13.63) на eпо υpϑ(13.63)в пределах от − ∞ до t и проинтегрируем(13-64)На основании (13.62) величины, находящиеся в квадратных скобках: можно представитьв следующем виде:В результате вместо (13.64) можноПродифференцировав левую часть и сократив на ерt, получим(13.65)(13.66)Здесь введены обозначения:(13.67)Таким образом, параметрическая передаточная функция может быть получена врезультате решения дифференциального уравнения с переменными коэффициентами(13.66).Заметим, что в системах с постоянными параметрами передаточная функция не зависит отвремени и уравнение (13.66) приобретает вид(13.68)Передаточная функция в случае постоянства параметров будет(13.69)В случае переменных параметров уравнение (13.66) может быть решено методомпоследовательных приближений [118].
Для этого представим его в виде(13.70)(13.71)Будем искать решение в виде ряда(13.72)Первое приближение можно получить, положив N = 0 в (13.70):(13.73)Это будет передаточная функция системы с «замороженными» коэффициентами.Для вычисления первой поправки W1 ( p, t ) подставим полученное из (13.73) первоеприближение в правую часть (13.70). Тогда получим для первой поправки(13.74)(13.75)Таким образом, последующий член ряда (13.72) получается посредствомдифференцирования предыдущего члена в соответствии с (13.71) и подстановки его в(13.75).Ряд (13.72) сходится тем быстрее, чем медленнее изменяются коэффициенты исходногодифференциального уравнения (13.1).По найденной функции W ( p, t ) может быть получена параметрическая частотнаяпередаточная функция W1 ( jw, t ) подстановкой р = jw.Использование параметрических передаточных функций.
В соответствии с формулой(13.61) изображение Лапласа выходной величины системы с переменными параметрамиможно найти как произведение изображения воздействия на параметрическуюпередаточную функцию:(13.76)Это дает возможность находить переходные процессы в системе с переменнымипараметрами посредством использования преобразования Лапласа (или Карсона —Хевисайда). Для этой цели по формуле (13.76) отыскивается изображение выходнойвеличины, а затем делается переход к оригиналу х (t).Для этой цели могут использоваться существующие таблицы изображений Лапласафункций времени.
Так, например, пусть изображение выходной величины равноПолагая в этом выражении время t фиксированным параметром, по таблице (см.,например, табл. 7.2) находимЕсли изображение представляет собой сложную дробно-рациональную функцию, томожно использовать теорему разложения (см. § 7.4).
При отсутствии нулевых корнейзнаменателя изображения(13.77)аналогично формуле (7.37) получаем(13.78)При наличии одного нулевого корня знаменателя изображения(13.79)аналогично формуле (7.39) получаем(13.80)В формулах (13.78) и (13.80) корни знаменателя предполагаются некратными.Для построения переходного процесса может также использоваться вещественнаячастотная характеристика (см. § 7.5). Для общего случая воздействия произвольнойформы из (13.57), аналогично проделанному в § 7.5, можно получить расчетную формулу,являющуюся обобщением формулы (7.52):(13.81)где Pϕ ( w, t ) — вещественная часть частотного изображения искомой функции х (t),полученного подстановкой в преобразование Карсона — Хевисайда p=j.В частном случае, когда входное воздействие представляет собой единичную ступенчатуюфункцию, из (13.57), аналогично проделанному в § 7.5, получается расчетная формула,являющаяся обобщением формулы (7.53) для переходной функции рассматриваемойдинамической системы:(13.82)где Р (w, t) — вещественная часть параметрической частотной передаточной функции(13.58).Построение переходного процесса проводится, аналогично изложенномув § 7.5, по h-функциям.
Разница будет заключаться в том, что построение переходногопроцесса будет справедливым только для того момента времени t= const, который вошел вкачестве параметра в параметрическую передаточную функцию. Поэтому необходимопостроить серию кривых (рис. 13.7) для различных фиксированных моментов времени, t1,t2, t3 и т. д., а затем через; точки, соответствующие этим значениям времени, провестиплавную кривую.Указанное обстоятельство значительно увеличивает объем вычислительной работы посравнению с построением кривой переходного процесса в системе с постояннымипараметрами.§ 13.4. Устойчивость и качество регулированияДля систем с переменными параметрами понятие устойчивости имеет некоторуюспецифику. Если система работает ограниченный интервал .времени, то понятиеасимптотической устойчивости (см. § 6.1) практически теряет свой смысл.
Однако дляквазистационарных систем при сравнительно медленном изменении коэффициентовуравнения (13.1) представляется возможным сформулировать понятие устойчивостиследующим образом.Будем считать систему с переменными параметрами устойчивой на заданном интервалевремени Т, если ее нормальная функция веса (13.4) или (13.5)затухает во времени для всех фиксированных значений υ , лежащих внутри этогоинтервала. Это условие можно записать следующим образом:(13.83)Если для системы получена нормальная функция веса, то вид ее и определяетустойчивость системы.Однако в некоторых случаях имеется сопряженная функция веса (13.6) или (13.7), котораясвязана преобразованием Лапласа с параметрической передаточной функцией (13.62) ипреобразованием Фурье с параметрической частотной передаточной функцией (13.58) или(13.59).
Поэтому более просто можно исследовать вопрос затухания функции веса вдольаргументов υ (смещение) или θ (реверс-смещение). Условие затухания вдоль этихаргументов можно записать следующим образом:(13.84)Однако затухание сопряженной функции веса и выполнение условия, (13.84) еще неозначает затухания нормальной функции веса и выполнения условия (13.83).
Заметим, чтов системах с постоянными параметрами не наблюдается такой неопределенности, так какдля них совпадают оба разреза рельефа функции веса: w(τ ) = w(θ ) , и оба интеграла:I t = Iυ , определяемые формулами (13.83) и (13.84).Можно показать [118], что для систем, описываемых дифференциальным уравнениемвидавыполнение условия (13.84) практически обеспечивает выполнение условия (13.83). Вэтих системах исследование устойчивости может быть проведено на базепараметрической передаточной функции.Исследование затухания сопряженной функции веса может производиться как по ее виду,если она известна для рассматриваемой системы, так и на основании отсутствия полюсовпараметрической передаточной функции замкнутой системы в правой полуплоскости и намнимой оси.
Для этой цели .могут привлекаться известные критерии устойчивости,например критерий Михайлова, критерии Найквиста и др.Формулы главы 5, дающие связь между передаточными функциями замкнутой системыФ(р), разомкнутой системы W(р) и передаточной функцией по ошибке Фх(р), сохраняютсвою силу и для параметрических передаточных функций.Качество регулирования может быть оценено по виду переходного процесса (переходнойфункции или функции веса) в соответствии с § 8.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
