Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Для этой цели должны использоватьсянормальная функция веса и нормальная переходная функция, определяемые дляфиксированного момента времени 0 < υ < Т.Рассмотрим теперь точность воспроизведения задающего воздействия в следящихсистемах. Составим дифференциальное уравнение (13.1) так, чтобы в левой частинаходилась ошибка х(t), а в правой — задающее воздействие g(t):Реакция системы на дельта-функцию в правой части g (t ) = δ (t − υ ,υ ) представляетсобой функцию веса ошибки w x (t − υ ,υ ) .В соответствии с формулой (13.11) ошибку системы можно представить в виде(13.86)Разлагая задающее воздействие в ряд Тейлора около точки t и подставляя его в (13.86),получаем(13.87)Ограничимся случаем, когда t>tп и, где tп — время затухания функции веса.
Тогда верхнийпредел интегрирования в (13.87) можно положить равным бесконечности. В результате(13.87) можно представить в виде(13.88)Здесь введено понятие коэффициентов ошибок, определяемых выражением(13.89)В отличие от коэффициентов ошибок системы с постоянными параметрами здесь ониполучаются зависящими от времени.Коэффициенты ошибок можно вычислить с помощью параметрической передаточнойфункции по ошибке W x ( p, t ) . Из (13.62) следует(13.90)Дифференцируя W x ( p, t ) по p и положив затем получаем формулу для определения k-гокоэффициента:(13.91)Коэффициенты ошибок могут быть также получены делением числителя W x ( p, t ) назнаменатель так, чтобы получить ряд по возрастающим степеням р.Коэффициенты ошибок могут также определяться для возмущающего воздействия посоответствующей функции веса или по параметрической передаточной функцииотносительно возмущающего воздействия.§ 13.5.
О синтезе систем с переменными параметрамиВвиду сложности математического решения синтез систем регулирования с переменнымипараметрами, как правило, должен осуществляться при помощи вычислительных машиннепрерывного или дискретного действия, а также посредством реального моделирования.Вычислительные машины позволяют просмотреть все наиболее важные режимы работысистемы, оценить ее качественные показатели и подобрать необходимые корректирующиесредства.Однако во многих случаях, особенно для квазистационарных систем можно провестисинтез расчетным путем.
Это позволяет более сознательно подойти к определениюструктуры проектируемой системы и параметров корректирующих средств, чтозначительно сокращает объем последующих исследований и проверок на вычислительныхмашинах и моделях.Метод замороженных коэффициентов. Одним из наиболее простых способов являетсязамораживание переменных во времени параметров в какой-то фиксированный моментвремени t= υ , что ведет к замораживанию коэффициентов дифференциального уравнения(13.1).
В этом случае система с переменными параметрами сводится к системе спостоянными параметрами, что позволяет применять для нее известные методы синтеза(см. главу 12).Разница по сравнению с системами, имеющими постоянные коэффициенты, заключается втом, что исследование системы с замороженными коэффициентами должно бытьпоследовательно проведено для различных моментов: времени t= υ , лежащих в интервале0 < υ <Т, где Т — время работы системы.Если во всем рабочем интервале времени от 0 до T качество системы регулированияоказывается приемлемым, то ее считают работоспособной и при изменениикоэффициентов уравнения в исследованных пределах.Этот метод будет давать правильные результаты, если в течение времени переходногопроцесса (пока функция веса не затухнет практически до нуля) коэффициенты уравнения(13.1) успеют мало изменить свое значение.Следует заметить, что эффективность рассматриваемого метода может зависеть отправильного выбора фиксированных моментов времени, для которых производитсязамораживание коэффициентов.
Необходимо так выбирать эти моменты времени, чтобыохватить все возможные варианты значений коэффициентов, обратив особое внимание на«опасные» точки, в которых происходит значительное изменение коэффициента, сменаего знака и т. п. Безусловно, что правильный выбор рассматриваемых моментов времениво многом зависит от опыта проектировщика.Метод замороженных реакций.
Во многих случаях переменными параметрами обладает невся система регулирования, а одно из ее звеньев. Чаще всего таким звеном оказываетсяобъект регулирования. Задача синтеза будетсильно упрощена, если звено с переменными параметрами исследовать отдельно, а затемприближенно заменить его в окрестностях некоторой точки Ф0 эквивалентным звеном спостоянными параметрами.
Задача оказывается более простой вследствие того, что вбольшинстве случаевдифференциальное уравнение звена с переменными параметрами может быть сведено куравнению первого или второго порядка.Этот метод оказывается более точным, чем метод замороженных коэффициентов, так какпри замене звена с переменными параметрами эквивалентным звеном с постояннымипараметрами учитывается факт переменности параметров исходного звена, что будетопределять вид и параметры эквивалентного звена.Идея метода заключается в следующем.
Пусть имеется некоторая система регулирования(рис. 13.8), содержащая в своем составе звено с переменными параметрами. Частьсистемы, соответствующая постоянным параметрам, выделена в отдельное звено.Для звена с постоянными параметрами может быть определена весовая функция w1 (τ ) ,которая зависит только от времени τ = t − υ (рис. 13.1) и соответствующая ей передаточнаяфункция(13.92)Для звена с переменными параметрами определим весовую функциюw2 (t − υ , υ ) = w2 (τ , υ ) .
Эта весовая функция может быть найдена точно, еcлидифференциальное уравнение звена имеет первый или второй порядок, илиприближенными методами в соответствии с изложенным в § 13.2 и § 13.3. Для еенахождения могут быть также использованы вычислительные машины с последующейаппроксимацией решения.После нахождения весовой функции ш2 заморозим ее для некоторого фиксированногомомента времени t = υ 0 полагая при этом, что весовая функция на небольшом интервалевремени вблизи точки t = υ 0 зависит только от времени τ = τ − υ и не зависит отзафиксированного значения смещения.
Таким образом, мы получим функцию(13.93)Заметим при этом, что мы фиксируем аргумент υ не полностью, а только в той его части,которая делает рельеф функции веса нецилиндрическим. В результате этого оба разреза(рис. 13.2) получаются одинаковыми, т. е. весовые функции (13.5) и (13.7) совпадают.Для весовой функции (13.93) может быть найдена передаточная функция(13.94)Эта передаточная функция по своей сущности является параметрической, так как в неевходит фиксированный параметр до- Однако по своим свойствам она полностьюсовпадает с передаточной функцией звена с постоянными параметрами. Вследствие этогобудем называть ее эквивалентной передаточной функцией. С этой передаточной функциейможно в дальнейшем оперировать так, как будто рассматривается звено с постояннымипараметрами.
В связи с этим рассматриваемую передаточную функцию можно записатьсокращенно: W2 ( p,υ 0 ) = W2 ( p) .Однако при этом надо помнить, что исследование системы должно быть произведено приразличных значениях фиксированного параметра в пределах 0 < υ 0 < Т.Для системы, изображенной на рис.
13.8, при использовании эквивалентной передаточнойфункции может быть найдена передаточная функция разомкнутой системы(13.95)передаточная функция замкнутой системы(13.96)и передаточная функция по ошибке(13.97)Эти функции могут быть использованы обычным образом, как это делается для систем спостоянными параметрами при исследовании устойчивости, точности и качестварегулирования, но исследование должно охватить весь рабочий интервал υ от 0 до Т.Как и в случае замороженных коэффициентов, здесь приходится намечать «опасные»точки, где должно быть проведено исследование. Однако в рассматриваемом методеможно учитывать при этом не только сами значения коэффициентов в отдельные моментывремени, но и характер их изменения во времени (скорость изменения, ускорениеизменения и т. д.).
Это делает все исследование более полным при сохранении егоотносительной простоты. В некоторых случаях оказывается более целесообразнымотыскание и последующее замораживание переходной функции звена с переменнымипараметрамиДля переходной функции (13.18) может быть найдена передаточная функция(13.99)По сравнению с нахождением передаточной функции по замороженной весовой функции(13.94) здесь получается обычно более полный учет динамических качеств звена спеременными параметрами. Это оказывается наиболее заметным в тех случаях, когда вправой части дифференциального уравнения звена имеются переменные во временикоэффициенты. Их изменение может быть учтено только при нахождении переходнойфункции, так как при нахождении весовой функции значения коэффициентов в правойчасти уравнения; фиксируются в момент приложения единичного импульса.ГЛАВА 14СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИПАРАМЕТРАМИ§ 14.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
