Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Вопросы расчета ошибок чувствительных элементов относятся ксфере теории соответствующих устройств (сельсинов, вращающихся трансформаторов,потенциометров и т.п.).Методика расчета излагается, в основном, применительно к следящим системамвоспроизведения угла и воспроизведения скорости. Однако эта методика применима и длядругих систем автоматического регулирования.Требования к низкочастотной части желаемой л.
а. х., связанные с необходимой точностью.На основании требования по точности формируется низкочастотная часть желаемой л. а. х.следящей системы. Рассмотрим вначале астатические системы.Наиболее просто оценить точность следящей системы можно по воспроизведению:гармонического входного сигнала с амплитудой(12.56)Амплитуда ошибки может быть найдена с помощью модуля передаточной функции поошибке:(12.57)где— частотная передаточная функция разомкнутой системы. Так как вподавляющем большинстве случаев амплитуда ошибки значительно меньше амплитудывходного сигнала, т.
е., то справедливо соотношениевместо (12.57) можно пользоваться приближенным выражением. Поэтому(12.58)Последнее выражение позволяет легко сформулировать требование к низкочастотной частил. а. х. следящей системы. Для того чтобы входное воздействие (12.56) воспроизводилось сошибкой, не превышающейл. а. х. системы должна проходить не ниже контрольной точкиАк с координатами(12.59)Д тахЧасто при определении условий работы следящей системы оговариваются толькои максимальное ускорениеслежения.
В этом случае можномаксимальная скоростьподобрать эквивалентные режимы гармонического входного воздействия. Вначале найдем такойрежим (12.56), при котором амплитуда скорости и амплитуда ускорения равны максимальнымзаданным значениям.Очевидно, что этому режиму соответствуют:По этим величинам можно построить контрольную точку Ак (рис. 12.11) B соответствии с(12.59).Будем теперь рассматривать режим гармонического входного воздействия, в которомамплитуда скорости по-прежнему равна максимальному значению, а амплитуда ускоренияменьше максимального. Тогда контрольная частота (12.60) будет пропорционально уменьшаться,а амплитуда (12.61) возрастать обратно пропорционально амплитуде ускорения. При этомконтрольная точка Ак будет перемещаться влево по прямой, имеющей наклон 20 дб/дек.
Впредельном случае, если принять амплитуду ускорения равной нулю, контрольная частота. Это соответствует режиму вращения с постоянной скоростьюформула (12.58) вырождается в известное соотношение. Тогда(12.62)где— предельное значение добротности по скорости следящей системы састатизмом первого порядка, ниже которого нельзя иметь реальную добротность по скорости,исходя из условий точности.Если теперь рассматривать режим гармонического входного воздействия с амплитудойускорения, равной максимальному значению, и амплитудой скорости, меньшеймаксимального значения, то аналогичными рассуждениями можно показать, чтоконтрольная точка Ак (рис.
12.11) будет двигаться вправо по прямой, имеющей наклон 40 дб/дек.Квадрат частоты точки пересечения этой прямой с осью нуля децибел равен предельнойдобротности следящей системы с астатизмом второго порядка по ускорению(12.63)равной отношению ускорения к установившейся ошибке. Это будет при условии, что перваяасимптота л. а. х.
проектируемой следящей системы совпадает с прямой, по которой движетсяконтрольная точка Ак (рис. 12.11). Ниже этого предельного значения не может быть реальнойдобротности следящей системы с астатизмом второго порядка.Область, расположенная ниже контрольной точки Ак и двух прямых с наклонами 20 и 40дб/дек, представляет собой запретную область для л. а. х. следящей системы с астатизмомлюбого порядка. При работе со скоростями и ускорениями, не превышающими значений, ошибки следящей системы не будут превосходить значения Фmах, еслил. а. х.
будут проходить не ниже запретнойобласти.Для входного воздействия вида (12.56)можно также ограничивать фазовую и относительную] амплитудную составляющиеошибки. Для этого найдем ошибку находящуюся в фазе, и ошибку , находящуюся вквадратуре по отношению к входному воздействию. Для этого на рис. 12.12 построим векторнуюдиаграмму, из которой следует(12.64)где U и V — вещественная и мнимая части частотной передаточной функции по ошибке.Фазовая ошибка следящей системыВ формулах (12.64) — (12.66) и на рис. 12.12 величиныпредставляютсобой векторные изображения соответствующих гармонических функций времени.В большинстве случаев, аналогично изложенному выше, можно считать, чтои передаточная функция разомкнутой системы с астатизмом первого порядка в области низкихчастот имеет видЗадание величины фазовой и относительной амплитудной ошибок определяет предельныеположения первой и второй асимптот л.
а. х., т. е. необходимые значения добротности поскоростии добротности по ускорению. Нетрудно видеть, что предельныеположения асимптот и в этом случае формируют запретную зону для низкочастотной частил.а.х. вида, изображенного на рис. 12.11. Использование приведенных выше формул дляформирования низкочастотной части л. а. х. возможно лишь в том случае, если двигатель всостоянии обеспечивать получение на исполнительной оси требуемых максимальных значенийи ускорения.скоростиПри выборе всех приведенных выше формул предполагалось, что ошибка в системеопределяется только наличием задающего воздействия.
При действии на системувозмущений, например момента нагрузки на оси двигателя, необходимо увеличение общегокоэффициента усиления системы для того, чтобы результирующая ошибка не превосходилазаданного значения. Более подробно это изложено, например, в [10].В статических следящих системах установившаяся ошибка по управляющему воздействиюможет быть сделана равной нулю применением неединичной обратной связи (§ 9.3). Однакопоявление статической ошибки возможно при нестабильности общего коэффициента усиления. Всоответствии с формулой (9.71) для рассматриваемого случая максимальное значение ошибкисоставит(12.69)— относительное изменение коэффициента усиления разомкнутойгдецепи.
.Из выражения (12.69) можно получить требуемые значения общего коэффициента усиленияК или коэффициента ошибки с0:(12.70)Пусть, кроме того, задано требуемое значение коэффициента ошибки с1г являющегосякоэффициентом пропорциональности между скоростью входного воздействия и ошибкой.Примем, что в низкочастотной области частотная передаточная функция статическойсистемы может быть сведена к выражениюТогда коэффициент ошибки с1 для этой передаточной функции будет равен(12.71)Отсюда может быть получена допустимая сумма двух постоянных времени:(12.72)Формулы (12.70) и (12.72) устанавливают требования к низкочастотной части желаемойл.а.х.Если к проектируемой системе кроме задающего воздействия приложено возмущение, то вформуле для общего коэффициента усиления необходимо дополнительно учесть составляющую,определяемую этим возмущением.
Пусть, например, статическая ошибка от возмущенияопределяется формулой (8.4):где— коэффициент статизма, а f10 — постоянное возмущение. Тогда вместо (12.69)можно записать(12.73)Отсюда находится требуемое значение общего коэффициента усиления:(12.74)В системах стабилизации ошибка определяется только наличием возмущения (иливозмущений). В этом случае требование к низкочастотной части л. а. х. сводится кнеобходимости иметь определенное значение общего коэффициента усиления, вне зависимостиот того, является ли система по виду передаточной функции W (р) статической или астатической.Это значение общего коэффициента усиления будет определяться вторым слагаемым вправой части (12.74) или суммой подобных слагаемых при действии нескольких возмущений. Пообщему коэффициенту усиления может быть построена первая асимптота желаемой л.
а. х.Требования к запасу устойчивости. В следящих системах повышение общего коэффициентаусиления по разомкнутой цепи вызывает приближение к колебательной границе устойчивости.Это проявляется в увеличении колебательности системы. Для оценки запаса устойчивости, т. е.степени удаления от колебательной границы устойчивости, могут использоваться различныекритерии, в том числе такие, как, например, перерегулирование при деиничном входномвозмущении, запас устойчивости по амплитуде и по фазе и т.
п.При использовании частотных критериев качества наиболее удобно оценивать запасустойчивости по показателю колебательности М, который характеризует склонность системы кколебаниям (см. главу 8).В астатических системах для замкнутой системы коэффициент передачи на нулевой частотеравен единице. Поэтому под показателем колебательности понимается абсолютное значениенаибольшего максимумаЭто положение остается справедливым и для статических систем, так как для исключениястатической ошибки по задающему воздействию в них, как правило, используетсямасштабирование выходной величины посредством применения неединичной обратной связи(см.
§ 9.3) с коэффициентом. Тогда коэффициент передачи замкнутой системы нанулевой частоте может быть сделан равным единице соответствующим выбором величины kос;где К — коэффициент усиления по разомкнутой цепи.Отсюда находится требуемое значение коэффициента обратной связи:Показатель колебательности M = 1,1 — 1,3 соответствует очень хорошему демпфированиюсистемы, при котором перерегулирования весьма малы. Показатель колебательностиМ=1,3-1,5 обычно является вполне достаточным для большинства следящих систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
