Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Расчеты,по минимуму среднеквадратичной ошибкиЕсли на автоматическую систему действуют одновременно полезный сигнал и помеха, товозникает задача оптимального расчета системы с тем, чтобы получить наименьшуюрезультирующую ошибку. С точки зрения наилучшего воспроизведения полезного сигналасистема должна иметь возможно большую полосу пропускания, а с точки зрения наилучшегоподавления помехи система, наоборот, должна иметь возможно меньшую полосу пропускания.Критерием получения оптимального решения здесь будет минимальное значениерезультирующей ошибки системы, определяемой полезным сигналом и помехой.Для случайных величин наиболее просто определить среднеквадратичную ошибку, поэтомуее и используют для оценки точности автоматической системы.Рассмотрим расчет системы по критерию минимума среднеквадратичной ошибки приодновременном действии полезного сигнала и помехи.Согласно этому критерию нежелательность ошибки пропорциональна квадрату еевеличины.
Такая постановка является часто логичной, но она не может> конечно, претендоватьна полную универсальность. В некоторых случаях, например при стрельбе по какой-либо цели,все ошибки, большие некоторого значения, являются одинаково нежелательными. Однакосредний квадрат ошибки системы регулирования(11.129)практически во всех случаях является наиболее просто вычисляемой величиной, что иопределило использование этого критерия.Возможны несколько формулировок задачи. Наиболее просто задача может бытьсформулирована так.
Если имеется какая-то система автоматического регулирования заданнойструктуры, то необходимо так выбрать параметры этой системы, чтобы получить минимумсреднеквадратичной ошибки при заданных статистических характеристиках полезного сигнала ипомехи.Эта задача решается следующим образом. По спектральной плотности ошибки путем ееинтегрирования находится дисперсия. Дисперсия получается зависящей от вероятностныххарактеристик полезного сигнала, помехи и параметров системы. Затем ищутся условия, которыедолжны быть наложены на параметры системы, чтобы получить минимум дисперсии.
Придостаточно простом выражении для дисперсии это может быть определено непосредственнымдифференцированием и приравниванием нулю частных производных.В более сложных случаях приходится искать минимум дисперсии путем числового заданияинтересующих параметров и построения соответствующих графиков.Другая постановка задачи при расчете по критерию минимума среднеквадратичной ошибкизаключается в том, что ставится вопрос о нахождении оптимальной структуры и значенийпараметров автоматической системы, при которых обеспечивается получение теоретическогоминимума среднеквадратичной ошибки при заданных вероятностных характеристиках полезногосигнала и помехи. Эта задача будет решена, если найти, например, передаточную функциюзамкнутой системы, при которой обеспечивается получение теоретического минимумасреднеквадратичной ошибки.Задача относится к категории вариационных задач. Приведем здесь некоторые результатыее решения [120] для случая, когда полезный сигнал g (t) и помеха f (I) представляют собойцентрированные стационарные случайные процессы, приложенные на входе системы.
Передсистемой ставится задача преобразовывать входной сигнал g (t) так, чтобы на ее выходевоспроизводилась величина h (t), связанная с g (t) некоторой формулой преобразованиятде Н (р) — преобразующий оператор.Так, например, приполучится задача интегрирования входного сигнала, приН(р)=р — задача дифференцирования, при H(р) = 1 — задача простого воспроизведения сосглаживанием помехи (обычная следящая система при наличии помех), пристатистическое упреждение (предсказание) и т. п.На основании изложенного ошибку системы можно представить в виде(11.130)Выходная величина системы регулирования—(11.131)где— весовая функция замкнутой системы. Подставляя (11.130) и(11.131) в формулу (11.129), получаем(11.132)Задача заключается в том, чтобы найти частотную передаточную функцию замкнутойсистемы, связанную с весовой функцией преобразованием Фурье(11.133).таким образом, чтобы минимизировать значениеРаскроем в выражении (11.132) скобки и изменим порядок интегрирования:Так как в реальных системах, то нижние пределы интегрирования в(11.138) надо положить равными нулю.
В результате получим(11.139)Из последнего выражения видно, что оптимальная весовая функция, соответствующаяминимуму среднего квадрата ошибки, определяется только видом корреляционных функцийполезного сигнала и помехи.Можно показать [120], что необходимое и достаточное условие минимизации выражения(11.139), которое должно быть наложено на весовую функцию, заключается в том, чтобы онабыла решением интегрального уравнения Винера — Хопфа(11.140)Оптимальная передаточная функция (11.133), соответствующая оптимальной весовойфункции, являющейся решением уравнения (11.140), может быть представлена в виде(11.141)где(11.142)В частном случае, когда преобразующий оператор Н(р) = 1, т.
е в так называемомслучае оптимального сглаживания, имеемВ этом случае решение (11.141) может быть представлено в более простом виде:(11.143)Числитель этого выражения определяется следующим образом. Рассмотримследующее выражение:(11.144), расположенные в верхней полуплоскости,полюсыЗдесьрасположенные в нижней полуплоскости, причем полюсы предполагаются простыми, а —нули. Тогда(11.145),При реализации в системе оптимальной передаточной функции получится теоретическийминимум среднего квадрата ошибки. Этот минимум определяется выражением или, в другомвиде,(11.146)или, в другом виде,(11.147).Рассмотрим иллюстративный пример. Предположим, что полезному сигналу и помехе навходе системы регулирования соответствуют спектральные плотности:причем корреляция между ними отсутствует иплотность, соответствующую (11.136):.
Найдем спектральнуюОтсюда знаменатель искомой передаточной функции (11.143)Отбросив первый член в скобках, соответствующий полюсу в нижней полуплоскости,находим числитель искомой передаточной функции (11.143):Нахождение оптимальной передаточной функции еще не означает, что реальнаяавтоматическая система может быть выполнена оптимальной, так как реализация ее может бытьсопряжена с большими трудностями.
Оптимальную передаточную функцию, за исключениемпростейших случаев, следует считать идеальной функцией, к которой по возможности надостремиться при выполнении реальной автоматической системы. Теория оптимальных системизлагается в работах [26, 108, 120, 121].ГЛАВА 12. МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ§ 12.1. Общие соображенияПод синтезом системы автоматического регулирования понимается направленный расчет,имеющий конечной целью отыскание рациональной структуры системы и установлениеоптимальных величин параметров ее отдельных звеньев.
По отношению к основе синтеза внастоящее время имеются разные точки зрения.Синтез можно трактовать как пример вариационной задачи и рассматривать такоепостроение системы автоматического регулирования, при котором для данных условий работы(управляющие и возмущающие воздействия, помехи, ограничения по времени работы и т. п.)обеспечивается теоретический минимум ошибки.Синтез также можно трактовать как инженерную задачу, сводящуюся к такому построениюсистемы автоматического регулирования, при котором обеспечивается выполнение техническихтребований к ней. Подразумевается, что из.многих возможных решений Инженер,проектирующий систему, будет выбирать те, которые являются оптимальными с точки зрениясуществующих конкретных условий и требований к габаритам, весу, простоте, надежности и т.
п.Иногда в понятие инженерного синтеза вкладывается еще более узкий смысл ирассматривается синтез, имеющий целью определение вида и параметров корректирующихсредств, которые необходимо добавить к некоторой неизменяемой части системы регулирования(объект с регулятором), чтобы обеспечить требуемые динамические качества.При инженерном синтезе системы автоматического регулирования необходимо обеспечить,во-первых, требуемую точность и, во-вторых, приемлемый характер переходных процессов.Решение первой задачи в большинстве случаев сводится к определению требуемого общегокоэффициента усиления системы и, в случае необходимости,— вида корректирующих средств,повышающих точность системы (регулирование по управляющему и возмущающемувоздействиям, изодром-ные механизмы и т.
п.). Эта задача может решаться при помощиопределения ошибок в типовых режимах на основе тех критериев точности, которые былиизложены в главе 8. Решение этой задачи, как правило, не сопряжено с трудностямипринципиального или вычислительного характера, так как критерии точности достаточно простыдля их практического использования. В сложных случаях можно прибегать к помощимоделирования.
Решение оказывается сравнительно простым вследствие необходимостиустановления значений относительно небольшого числа параметров. В простейшем случаенеобходимо найти только общий коэффициент усиления системы.Решение второй задачи — обеспечение приемлемых переходных процессов — оказываетсяпочти всегда более трудным вследствие большого числа варьируемых параметров имногозначности решения задачи демпфирования системы. Поэтому существующие инженерныеметоды часто ограничиваются решением только второй задачи, так как их авторы считают, чтообеспечение требуемой точности может быть достаточно просто сделано на основаниииспользования существующих критериев точности и совершенствования их практически нетребуется.В настоящее время для целей синтеза систем автоматического регулирования широкоиспользуются электронные и электромеханические вычислительные машины, позволяющиепроизводить полное или частичное моделирование проектируемой системы.
При такоммоделировании становится возможным наиболее полно исследовать влияние различныхфакторов нелинейности, зависимость параметров от времени и т. п.Однако моделирование на вычислительных машинах не может заменить расчетных методовпроектирования, которые во многих случаях позволяют исследовать вопрос в общем виде исреди многих решений найти оптимальное. Поэтому, несмотря на развитие и распространениемашинных методов синтеза, теория должна располагать собственными методами, которыедополняли бы моделирование и являлись бы теоретической базой при отыскании оптимальногорешения.§ 12.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
