Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 62
Текст из файла (страница 62)
11.25) с передаточной функцией W(р) и функциейвеса. Пусть на входе действует случайный сигналс корреляционной функцией.Выходной сигнал х2 (t) на основании формулы свертки (7.44)Рассматривая в этой формуле математические ожидания, имеем(11.95)Для получения корреляционной функции на выходе запишем исходную формулу длядля двух моментов времени:центрированных значений(11.96)После перемножения получим(11.97)Далее, переходя к математическому ожиданию, можно найти корреляционную функцию(11.98)Для определения дисперсии на выходе О2(1) в формуле (11.98) следует положитьТогда(11.99)В случае использования канонического разложения случайной функции(11.100)выходная величина может быть представлена в виде(11.101).гдеопределяется формулой (11.95), а координатные функции(11.102)Корреляционная функция выходного сигнала(11.103)а дисперсия(11.104)и координатных функцийвДля нахождения математического ожиданиясоответствии с выражениями (11.95) и (11.102) могут использоваться различные методыпостроения переходных процессов (см.
главу 7),В случае, когда на входе (рис. 11.25) действует случайный стационарный процесс,корреляционная функциязависит только от сдвига. Однако навыходе линейной системы процесс некоторое время после включения будет устанавливаться и небудет стационарным. Корреляционная функция на выходе может быть получена из общеговыражения (11.98);(11.105)а дисперсия – из (11.99)Если рассматриваемая система устойчива, тостремятся к некоторымпределам, которые определяют стационарный процесс на выходе. Они могут быть найдены из(11.105) и (11.1 06) , если положить.ТогдаПусть, например, на входе интегрирующего звена с передаточной функциейдействует белый шум с корреляционной функциейфункцией веса.
Тогда в соответствии: с (11.106) дисперсия на выходе будетит. е. дисперсия растет пропорционально времени. Нетрудно видеть, что, так какзвено не является устойчивым, а оно находится на границе устойчивости (нейтральноустойчиво).Для расчета установившегося стационарного процесса на выходе системы (рис. 11.25) болееудобно исходить из известной спектральной плотности на входе. Тогда можно легко найтиспектральную плотностьвыходного сигнала. Действительно, по определениюспектральная плотность на входе связана с изображением Фурьеслучайной величинысоотношением (11.61):Это же соотношение имеет место и для выходного сигнала:связаны между собой посредствомВ линейной системе изображения Фурьечастотной передаточной функции:Отсюда можно найти(11.109)Таким образом, спектральная плотность выходной величины может быть полученаумножением спектральной плотности входной величины на квадрат модуля частотнойпередаточной функции линейной системы.
Отметим, что приведенное выше доказательство,вообще говоря, не является строгим, так как существование стационарного случайного процессана выходе не доказано.выходной величины может быть найденаПри известной спектральной, плотностикорреляционная функцияпо преобразованию Фурье (11.66) или (11.68).Получим выражение (11.109) более строго. Для этого используем формулу (11.107). Так какв реальных системах весовая функция тождественно равна нулю при t < 0, то нижние пределыинтегрирования можно положить равными. Полагая, что на входе действуетцентрированный процесс, имеем(11.110)Найдем теперь спектральную плотность для выходного сигнала. Она связана скорреляционной функцией соотношением (11.65):Подставляя в последнюю формулу значение корреляционной функции из (11.110),получаемПоследнее выражение совпадает с (11.109), что и требовалось доказать,Для нахождения дисперсии, или среднего квадрата выходной величины, необходимопроинтегрировать по всем частотам спектральную плотность:(11.112)Отметим, что закон распределения для случайной величины может, вообще говоря,меняться при прохождении ее через линейную систему.
Однако, в случае, если на входелинейной системы имеется нормальное распределение случайной величины х1 (t), то на выходедля случайной величины х2 (t) также будет иметь место нормальное распределение.При вычислении интеграла (11.112) обычно приходится иметь дело с подынтегральнымвыражением видагдепредставляют собой некоторые полиномы от комплексной переменной .Наивысшую степень знаменателя обозначим 2n. Наивысшая степень числителя в реальнойсистеме может быть не выше 2n — 2.
Для удобства интегрирования написанное выше выражениеобычно представляют в видесодержит только четные степени. Полиномдля устойчивойПолиномсистемы может иметь корни только в верхней полуплоскости. Область устойчивости оказалась вверхней полуплоскости вследствие того, что была использована подстановка,амножитель j означает поворот комплексного числа на угол .Таким образом, вычисление дисперсии (11.112) можно свести к нахождению интеграла(11.113)В общем случае, при любом га для устойчивой системы интеграл 1п может бытьпредставлен в виде [38](11.114)где(11.115)совпадает со старшим определителем Гурвица, а числитель определяется выражением(11.116)Интегралы такого вида вычислены до n = 7 и сведены в таблицы (см.
приложение 2).Заметим, что знаменатель правых частей приведенных в приложении 2 формулпредставляет собой— определитель Гурвица. На границе колебательной устойчивости этотопределитель обращается в нуль, а дисперсия выходной величины будет стремиться кбесконечности.В заключение рассмотрим два важных случая прохождения случайного сигнала черезлинейную систему.Статистическое дифференцирование.
При поступлении случайного сигнала на идеальнбедифференцирующее устройство с передаточной функцией W (р) = р спектральная плотностьвыходной величины (производной от входной величины) может быть получена умножениемспектральной плотности входной величины на :(11.117)при двойном дифференцировании — наи т. д.Статистическоеинтегрирование. При поступлении случайного сигнала на идеальноеинтегрирующее звено с передаточной функциейспектральная плотность выходнойвеличины (интегралаот входной величины) может быть получена делением интегральной плотности входнойвеличины на :(11.118)при двойном интегрировании — наи т.
д.§ 11.8. Расчет установившихся ошибок в автоматических системахЗамкнутая система автоматического регулирования может находиться под воздействиемслучайного задающего сигнала g (t) и случайной помехи f (t), приложенной в произвольной точкесистемы (рис. 11.26).Корреляционные функции и спектральные плотности задающего воздействия и помехибудем считать известными.
Конечной целью расчета является нахождение корреляционныхфункций и спектральных плотностей выходной величины у (t) и ошибки х (t). Обычноограничиваются более узкой задачей и определяют только среднеквадратичную ошибку системырегулирования. Это может быть сделано посредством интегрирования по всем частотамспектральной плотности ошибки или через корреляционную функцию ошибки х (t).В простейшем случае, когда управляющее воздействие g (t) представляет собой, случайныйстационарный процесс со спектральной плотностью, а помеха отсутствует; f(t) = 0, расчетжожно свести к рассмотренной выше схеме (рис.
11.25). Тогда спектральная плотность ошибки(11.119)будетЧастотная передаточная функция по ошибкефункциями разомкнутойи замкнутойсвязана с частотными передаточнымисистемы соотношениемТаким образом, для спектральной плотности ошибки получаем(11.120)Интегрирование этого выражения по всем частотам позволяет определить дисперсию исреднеквадратичное значение ошибки:(11.121)Вычисление дисперсии и среднеквадратичной ошибки через корреляционные функцииможет производиться на основании формулы (11.107).
В качестве функции веса врассматриваемом случае должна использоваться функция веса для ошибки, связанная счастотной передаточной функцией по ошибке преобразованием ФурьеПосле нахождения корреляционной функции ошибкидисперсия определяетсяподстановкой.Однако нахождение среднеквадратичной ошибки посредством использования спектральныхплотностей оказывается обычно более простым и поэтому применяется чаще.В другом простейшем случае, когда задающее воздействие, а помехапредставляет собой случайный стационарный процесс со спектральной плотностью,аналогичным образом можно найти спектральную плотность ошибки:В этом выражении(11.122)представляет собой частотную передаточную функцию;связывающую изображения Фурье ошибки х (t) и помехи f (t).В частном случае, когда помеха f (t) действует на входе системы в месте приложениязадающего воздействия, в формуле (11.101) должна использоваться частотная передаточнаяфункция замкнутой системы(11.123)Рассмотрим теперь общее выражение спектральной плотности ошибки для случая, когдазадающее воздействие g (t) и помеха f (t) действуют одновременно (рис.
11.26).Обозначим черезвесовую функцию для ошибки по задающему воздействию и черезвесовую функцию для ошибки по помехе. Тогда ошибку можно представить в виде(11.124)Подставим это выражение для ошибки в формулу корреляционной функции (11.51).В результате получимгде— взаимные корреляционные функции.Для нахождения спектральной плотности ошибки левую и правую части (11.125) умножими проинтегрируем по. В результате выкладок, аналогичных тем,накоторые были проделаны при выводе формулы (11.111), получим(11.126)В этом выражениипредставляют собой взаимные спектральные плотностиполезного сигнала и помехи, а— частотные передаточные функции дляошибки по задающему воздействию и помехе. Звездочкой обозначен сопряженный комплекс.При отсутствии корреляции между полезным сигналом и помехой формула (11.126)упрощается:(11.127)В частном случае, когда помеха действует на входе в месте приложения управляющеговоздействия и корреляция между ними отсутствует, формула (11.127) может быть представлена вследующем виде:(11.128)совпадает с частотнойтак как для этого случая частотная передаточная функцияпередаточной функцией замкнутой системы.Все приведенные выше формулы для спектральной плотности ошибки х (t) могут бытьлегко переписаны для спектральной плотности выходной величины у (t), если в них заменитьна частотную передаточную функциючастотную передаточную функцию для ошибкизамкнутой системы.§ 11.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
