Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Поэтому если он в момент времени t1 занял положение х1, тоэтим самым его возможное положение х2 в следующий момент t2 ограничено, т. е. событияне будут независимыми. Чем более инерционен изучаемый объект, тем большеэта взаимозависимость, или корреляция. В таких случаях вместо формулы (11.39) необходимозаписать(11.41)— условная вероятность того, что случайный процесс пройдет вблизи точки, если он уже прошел через точку.
Следовательно, зная плотности вероятности ю, можно найти также и условную плотность вероятности(11.42)Кроме того, имеет место следующая связь между основными плотностями вероятности:(11 43)есть плотность вероятности случайной величиныбезотносительно ктак как, т. е. допускается. Аналогичнымтому, какое потом будет значениеобразом любая плотность вероятности низшего порядка всегда может быть получена из высшей,т. е. высшие плотности вероятностей содержат наибольшее количество информации о случайномпроцессе (о взаимосвязях между возможными значениями случайной величины х в различныемоменты времени).Написанные соотношения справедливы для случайных процессов любых типов.
Взависимости же от того, до какого порядка принимаются во внимание плотности вероятности, атакже от разных дополнительных гипотез о формах связи междурассматриваются разные типы случайных процессов в отличие от чисто случайных.Другая классификация всех случайных процессов состоит в разделении их на стационарныеи нестационарные. Теория стационарных случайных процессов наиболее разработана и чащевсего применяется на практике.§ 11.3.Стационарные случайные процессыСтационарным случайным процессом называется такой процесс, вероятностныехарактеристики которого не зависят от времени. Все плотности вероятностейменяются при любом сдвиге рассматриваемого участка процесса во времени, т.
е. присохранении постоянной разности.неМожно сказать, что стационарный случайный процесс в какой-то мере аналогичен обычнымстационарным или установившимся процессам в автоматических системах. Например, прирассмотрении обычных установившихся периодических колебаний ничего не изменится, еслиперенести начало отсчета на какую-нибудь величину. При этом сохранят свои значения такиехарактеристики, как частота, амплитуда, среднеквадратичное значение и т.
п. В стационарномслучайном процессе закон распределения один и тот же для каждого момента времени, т. е.плотность вероятности не зависит от времени:.Отсюда получаемвдоль всего случайного процесса. Следовательно, встационарном случайном процессе средняя линия, в отличие от общего случая (см. рис. 11.12),, подобно постоянному смещению средней линии обычныхбудет прямаяпериодических колебаний. Рассеяние значений переменной х в стационарном случайном.процессе, определяемое, также будет все время одинаковым, подобно постоянномузначению среднеквадратичного отклонения обычных установившихся колебаний от среднейлинии.Аналогичным образом и двумерная плотность вероятности также будет «одна и та же дляодного и того же промежутка временимежду любыми t1 и t2 (рис.
11.13), т. е.(11.44)и также для n-мерной плотности вероятности.Задание всех этих функций распределения плотности определяет случайный процесс.Однако более удобно иметь дело с некоторыми осреднен-ными и характеристиками процесса.Прежде чем перейти к ним, отметим два важных для практики ^свойства.1. Ограничиваясь только стационарными случайными процессами, можно будет определитьтолько установившиеся (стационарные) динамиче--ские ошибки автоматических систем прислучайных воздействиях. Такой прием применялся и ранее при рассмотрении регулярныхвоздействий, когда определялись динамические свойства систем регулирования по величинединамических ошибок в установившемся периодическом режиме.2.
Стационарные случайные процессы обладают замечательным свойством, котороеизвестно под названием эргодической гипотезы.Для стационарного случайного процесса с вероятностью, равной единице (т. е. практическидостоверно), всякое среднее по множеству равно соответствующему среднему по времени, вчастностии т. д.В самом деле, поскольку вероятностные характеристики стационарного случайногопроцесса с течением времени не меняются (например,), то длительное наблюдениеслучайного процесса на одном объекте (среднее ло времени) дает в среднем такую же картину,как и большое число наблюдений, сделанное в один и тот же момент времени на большом числеодинаковых объектов (среднее по множеству).Для многих случаев существует математическое доказательство этого свойства.
Тогда оносводится к эргодической теореме.Итак, среднее значение (математическое ожидание) для стационарного «процесса будет(11.45)Аналогичным образом могут быть записаны моменты более высоких порядков —дисперсия, среднеквадратичное отклонение и т. п.Эргодическая гипотеза позволяет сильно упрощать все расчеты и эксперименты. Онапозволяет для определенияи т. п., вместо параллельного испытания многих однотипныхсистем в один и тот же момент времени, пользоваться одной кривой х (t), полученной прииспытании одной системы в течение длительного времени.Таким образом, важное свойство стационарного случайного процесса •состоит в том, чтоотдельная его реализация на бесконечном промежутке времени полностью определяет собой весьслучайный процесс со всеми бесчисленными возможными его реализациями. Этим свойством необладает никакой другой тип случайного процесса.§ 11.4.
Корреляционная функция, взятыхНачальный корреляционный момент двух значений случайной функциив моменты времени t и t1 носит название корреляционной (автокорреляционной) функции. Онаможет быть найдена аналогично (11.31) из выражения(11.46)где— двумерная плотность вероятности.Иногда под корреляционной функцией понимают центральный корреляционный момент, т. е.(11.47)В этом случае корреляционная функция (11.46) может быть представлена в виде суммы(11.48)Корреляционная функция является весьма универсальной характеристикой для случайногопроцесса. Она определяет зависимость случайной величины в последующий момент времениот предшествующего значения х (t) в момент времени t.
Это есть мера связи между ними.Рассмотрим основные свойства корреляционных функций.1. Из определения корреляционной функции (11.46) и (11.47) следует свойство симметрии:а.2. Прикорреляционная функция— дисперсию:дает средний квадрат случайной величины,.3. Можно показать, что прибавление к случайным величинам произвольных неслучайныхвеличин не меняет их корреляционных моментов и дисперсии. Поэтому корреляционная функцияне изменится, если к случайной функции добавить произвольную неслучайнуюфункцию. Это свойство не относится к функции, так кай добавление неслучайныхвеличин к случайным изменяет начальные моменты. В этом случае корреляционная функциябудет равна сумме корреляционных функций случайной и неслучайной функций.Иногда в рассмотрение вводится нормированная корреляционная функция(11.49)Аналогично корреляционной функции можно ввести понятие взаимной корреляционнойфункции для двух случайных величин:(11.50)В случае тождественного равенства нулю взаимной корреляционной функции случайныефункции х (t) и у (t) называют некоррелированными.Если взаимная корреляционная функция отлична от нуля, тоносят названиекоррелированных случайных функций.ине будутВ случае стационарности процесса корреляционные функциизависеть от текущего значения времени t и будут определяться только временным сдвигом.С учетом эргодичности стационарного процесса корреляционной функцией можно назватьили:среднее по времени от произведенияДля стационарного процесса корреляционная функция определяет зависимость случайнойвеличины ж в последующий момент времениот предшествующего значения в момент t.Приведем основные свойства корреляционной функции стационарного-процессаприменительно к величине..
Это вытекает из1. Корреляционная функция является четной функцией, т. е.самого определения корреляционной функции.2. Прикорреляционная функция дает средний квадрат случайной: величины:.3. Прикорреляционная функция дает квадрат среднего значения; случайнойвеличины. Докажем это. На основании эргодической гипотезывеличины x1 и x2 можно считать независимыми. Отсюда,, принимая воПривнимание формулу (11.39) для независимых случайных величин, получимявляется ее наибольшим значением, т. е.4. Значение корреляционной функции приимеет место неравенство. Докажем это. Рассмотрим очевидное неравенствоСделаем преобразование.Возьмем теперь среднее по времени от правой и левой частей.
В результате-получим:откуда и вытекает следующее неравенство: К (0)5. Значение корреляционной функции чаще всего будет тем меньше, чем большепромежутки времени , так как связь между далеко отстоящими друг от друга значениями хбудет обычно слабее.6. Чем менее инерционен (более подвижен) объект наблюдения, тем быстрее убывает R( ) сувеличением . Например, у самолета, как подвижной цели, связь между последующими ипредыдущими положениями (при заданном ) будет тем меньше, чем он легче и маневреннее.Отсюда следует, что, чем быстрее убывает корреляционная функция, тем более высокие частотыбудут присутствовать в случайном процессе.На рис. 11.14 в качестве примера приведены две корреляционные функции и двесоответствующие им реализации процесса при одинаковых среднеквадратичных значенияхслучайной величины. Второй процесс по сравнению с первым имеет более тонкую структуру,т.
е. в нем присутствуют более высокие частоты.Таким образом, при известной корреляционной функции легко определяются следующиевероятностные характеристики:а) среднее значение (момент первого порядка)б) среднеквадратичное значение (момент второго порядка)в) дисперсияг) среднеквадратичное отклонениеКорреляционную функцию можно найти на основании экспериментально «снятой кривойслучайного процесса при наличии достаточно длительной записи (рис. 11.15). Обработкаимеющейся осциллограммы производится следующим образом. Весь интервал записиосциллограммы Т делится на N равных частей, длительность которых составляетЗатем для различных значенийординат:находятся средние значения произведенийПо этим значениям строится график корреляционной функции в зависимости от интервалаm или времени.Корреляционную функцию можно найти по результатам эксперимента также при помощиспециальных приборов — корреляторов, которые автоматически вычисляют среднеепроизведение двух ординат осциллограммы, отстоящих друг от друга на расстояние .Если найденная корреляционная функция R( ) содержит постоянную составляющую, то, выделив ее, можно перейти к корреляционной функциив соответствии с(11.48), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
