Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 60
Текст из файла (страница 60)
е..Можно также ввести в рассмотрение нормированную корреляционную функциюкоторая удобна тем, что всегда.Корреляционная функциядля неслучайных (регулярных) функций временитождественно равна нулю. Однако корреляционная функцияможет вычисляться и длянеслучайных функций времени. Рассмотрим несколько примеров.(например, для постоянного тока) корреляционная1. Для постоянной величиныфункция2. Для гармонической функцииПоявление в корреляционной функции члена видауказывает на наличие вслучайном процессе скрытой периодичности, которая может не обнаруживаться при первомвзгляде на отдельные записи реализации случайного процесса.3.
Периодическая кривая, разлагаемая в ряд Фурье:имеет на основании изложенного выше корреляционную функцию видаТипичная корреляционная функция для стационарных случайных процессов при, и при отсутствии скрытых периодичностей имеет видИногда встречается корреляционная функция видаЭти выражения часто используются для аппроксимации корреляционных функций,полученных в результате обработки экспериментальных данных.Для стационарных случайных процессов используется также понятие взаимнойкорреляционной функции, вводимой при рассмотрении каких-либо двух процессов:(11.53)Для взаимной корреляционной функции существует следующее соотношение:.Кроме того, можно показать, чтоВзаимная корреляционная функция характеризует взаимную связь двух случайныхпроцессов между собой в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на промежутоквремени . Значениехарактеризует эту связь в один и тот же момент времени.
Примеромтаких двух взаимосвязанных случайных процессов могут служить две координатыпространственного положения подвижной цели.Для не связанных друг с другом случайных процессов для всех справедливо равенство. В связи с этим говорят, что процессы корре-лированы или не коррелированы. Этоозначает наличие или отсутствие между ними статистической связи.Аналогично предыдущему можно также ввести понятие нормированной взаимнойкорреляционной функции.§ 11.5. Спектральная плотность стационарных процессовРассмотрим так называемую энергетическую форму интеграла Фурье.
В главе 7 былиприведены формулы (7.15) и (7.16), дающие переход от функции времени к изображению Фурьеи обратно. Если рассматривается некоторая случайная функция времени х (t), то для нее этиформулы могут быть записаны в виде(11.55)Возьмем квадрат модуля изображения Фурьес делением результата начастотам оти проинтегрируем по всем:(11.56)В последнем выражении квадрат модуля заменен произведением сопряженных комплексов. Изображение Фурьезаменим выражением (11.54):В последней формуле изменим порядок интегрирования:(11.57)Величина, находящаяся в квадратных скобках (11.57), как нетрудно видеть, являетсяисходной функцией времени (11.55). Поэтому в результате получается так называемая формулаРелея, которая и соответствует энергетической форме интеграла Фурье:Правая часть (11.58) и (11.59) представляет собой величину, пропорциональную энергиирассматриваемого процесса.
Так, например, если рассматривается ток, протекающий понекоторому сопротивлению R, то энергия, .выделившаяся в этом сопротивлении за время t, будетИз (11.58) и (11.59) вытекает, что для нахождения энергии рассматриваемого процесса забесконечный интервал наблюдения с равным основанием можно интегрировать квадрат функциивремени по всему времени от —∞ до +∞ или интегрировать квадрат модуля изображения Фурьепо всем частотам от — ∞ до +∞. Формулы (11.58) и (11.59) и выражают энергетическую формуинтеграла Фурье.Однако эти формулы неудобны тем, что для большинства процессов энер-тия забесконечный интервал времени стремится также к бесконечности.
.Поэтому удобнее иметь делоне с энергией, а со средней мощностью процесса, которая будет получена, если энергиюподелить на интервал наблюдения. Тогда формулу (11.58) можно представить в виде(11.60)Правая часть (11.60) представляет собой средний квадрат рассматриваемой величиных(t). Вводя обозначение(11.61)можно переписать формулу (11.60) в виде(11.62)или в виде(11.63)Величинаносит название спектральной плотности. Важным свойствомспектральной плотности является то, что интегрирование-ее по всем частотам от — ∞ до +∞ даетсредний квадрат исходной функции времени х (t).По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, котораяпропорциональна средней мощности процесса в интервале частог от.В некоторых случаях спектральную плотность рассматривают только-для положительныхчастот, удваивая ее при этом, что можно сделать, так как спектральная плотность являетсячетной функцией частоты. Тогда, например, формула (11.62) должна быть записана в виде(11.64)где— спектральная плотность для положительных частот.
Однако вдальнейшем изложении будет рассматриваться спектральная: плотность, соответствующая всемудиапазону частот от — ∞ до +∞, так как при этом формулы получают более симметричныйхарактер.Весьма важным обстоятельством является то, что спектральная плотность икорреляционная функция случайных процессов представляют собой взаимные преобразованияФурье, т.
е. они связаны интегральными зависимостями типа (11.54) и (11.55). Это свойствоприводится без доказательств [108, 120].Таким образом, могут быть записаны следующие формулы:Так как спектральная плотность и корреляционная функция представляют собой четныевещественные функции, то иногда формулы (11.65) и (11.66) представляют в более простом виде:Это вытекает из того, что имеют место равенства:и мнимые части могут быть отброшены после подстановки в (11.65) и (11.66) так как слева стоятвещественные функции.Связь между спектральной плотностью S (ω) и видом функции времени х (t) заключается втом, что чем «уже» график спектральной плотности (рис.
11.16, а), т. е. чем меньшие частотыпредставлены в спектральной плотности, тем медленнее изменяется величина х во времени.Наоборот, чем «шире» график спектральной плотности (рис. 11.16, б), т. е. чем большие частотыпредставлены в спектральной плотности, тем тоньше структура функции х (t) и тем быстреепроисходят изменения х во времени.Как видно из этого рассмотрения, связь между видом спектральной: плотности и видомфункции времени получается обратной по сравнению со связью между корреляционнойфункцией и самим процессом (рис.
11.14). Отсюда вытекает, что более «широкому» графикуспектральной плотности должен соответствовать более «узкий» график корреляционнойфункции и наоборот.Вычисление спектральной плотности неудобно делать по соотношению (11.61), так как этосвязано с трудностью предельного перехода. Обычно спектральная плотность вычисляется поизвестной корреляционной функциипри помощи формул (11.65) или (11.67). Эти формулы соответствуют так называемомудвустороннему преобразованию Фурье четной функции времени.В табл.
11.3. даны некоторые функциии их изображения Фурьев соответствии с(11.65) и (11.67). В таблице используются импульсные функции. Эти функции, вотличие от импульсных функций, рассматривавшихся в главе 4, являются четными. Это означает,расположена симметрично относительно начала координат и может бытьчто функцияопределена следующим образом:.Аналогичное определение относится к функцииИногда в рассмотрение вводят нормированную спектральную плотность, являющуюсяизображением Фурье нормированной корреляционной функции (11.52):(11.69)йсо:где спектральная плотностьи, следовательно,(11.70)где D — дисперсия.Аналогично введенному понятию взаимной корреляционной функции(11.53) могут рассматриваться взаимные спектральные плотностии,являющиеся изображениями Фурье.
Взаимные спектральные плотности такжеявляются мерой связи между двумя случайными величинами. При отсутствии связи взаимныеспектральные плотности равны нулю.Рассмотрим некоторые примеры.1. Для постоянной величины.корреляционная функция равнаЭта функция изображена на рис. 11.17, а жирной линией. Соответствующее ей изображениеФурье на основании табл. 11.3 будет.или, в другом виде,Спектр процесса состоит из единственного пика типа импульсной функции, расположеннойв начале координат (рис.
11.17, б).Это означает, что вся мощность рассматриваемого процесса сосредоточена на нулевойчастоте, что и следовало ожидать.2. Для гармонической функциибыла получена корреляционнаяфункция. Эта функция изображена на рис. 11.18, а. В соответствии с табл.11.3 спектральная плотность будетГрафик спектральной плотности будет иметь два пика типа импульсной функции (рис.11.18, б), расположенные симметрично относительно началакоординат, при.Следовательно, мощность гармонического сигнала сосредоточена на двух частотах:.Если рассматривать спектральную плотность только в области положительных частот, тополучим, что вся мощность гармонического сигнала будет сосредоточена на однойфиксированной частоте:.3.
Для периодической функции, разлагаемой в ряд Фурьеспектральная плотность может быть представлена в видеЭтой спектральной плотности соответствует линейчатыйимпульсными функциями, расположенными на положительныхспектр (рис. 11.19) си отрицательных частотах гармоник. На рис. 11.19 импульсные функции условно нарисованытак, что их высоты показаны пропорциональными коэффициентам при единичнойимпульсной функции, т. е. величинам. Если функция времени х (t) кроме периодическойчасти будет содержать непериодическую составляющую, то спектр этой функции будетсодержать, наряду с отдельными линиями типа импульсной функции, также и непрерывнуючасть (рис.
11.20). Отдельные пики на графике спектральной плотности указывают наприсутствие в исследуемой функции скрытых периодичностей.Если функция времени х (t) не содержит периодической части, то она будет иметьнепрерывный спектр без ярко выраженных пиков.Рассмотрим некоторые стационарные случайные процессы, имеющие значение приисследовании систем регулирования и следящих систем. Будем рассматривать толькоцентрированные процессы, т. е. такие процессы, математическое ожидание которых равно нулю:дисперсии:.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
