Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 61
Текст из файла (страница 61)
При этом средний квадрат случайной величины будет равен.Это ограничение не имеет существенного значения, так как в случаепостоянного смещения в системе регулирования является элементарным.учет1. Белый шум. Под белым шумом понимается случайный процесс, имеющий «белый»спектр, т. е. одинаковое значение спектральной плотности при всех частотах от(рис.11.21, а):(11.71)Примером такого процесса могут являться тепловые шумы сопротивления, которые даютуровень спектральной плотности хаотического напряжения на этом сопротивлениигде R – сопротивление,постоянная Больцмана, Т° —абсолютная температура.На основании (11.68) спектральной плотности (11.71) соответствует корреляционнаяфункция(11.72)Таким образом, корреляционная функция представляет импульсную функцию,расположенную в начале координат (рис.
11.21). Этот процесс является чисто случайнымпроцессом, так как из графика корреляционной функции видно, что при любомотсутствует корреляция между последующими и предыдущими значениями случайной величиных.Процесс с подобного рода спектральной плотностью является физически нереальным, таккак ему соответствуют бесконечно большие дисперсия и средний квадрат случайной величины:, а следовательно, бесконечно большая мощность.Чтобы получить физически реальный процесс, удобно ввести понятие белого шума сограниченной спектральной плотностью (рис. 11.21, б):— полоса частот для спектральной плотности.Этому процессу соответствует корреляционная функция(11.74)Корреляционная функция также изображена на рис. , 11.21, б.
Для этого процесса(11.75)Среднеквадратичное значение случайной величины пропорционально корнюквадратному из полосы частот:(11.76)Часто бывает удобнее аппроксимировать зависимость (11.73) плавной кривой. Для этойцели можно, например, использовать выражение(11.77)где— коэффициент, определяющий ширину полосы частот.График спектральной плотности, соответствующий этому выражению, построен на рис.11.21, в. Для частотпроцесс приближается к белому шуму, так как для этих частотИнтегрирование (11.77) по всем частотам дает возможность определить дисперсию:Поэтому спектральная плотность (11.77) может быть записана в другом виде:(11.78)Корреляционная функция для этого процесса(11.79)'Корреляционная функция также изображена на рис.
11.21,2. Типовой входной сигнал следящей системы. В качестве типового сигнала для следящейсистемы часто принимают график изменения угловой скорости на входе в соответствии с рис.11.22. Скорость сохраняет постоянное значение в течение некоторых интервалов времениПереход от одного значения к другому совершается мгновенно. Интервалы времениподчиняются закону распределения Пуассона (11.4).В соответствии со сказанным выше будем считать, что математическое ожидание,а.среднеквадратичное значение скорости равно дисперсии, т.
е.График такого вида получается, например, в первом приближении при слежениирадиолокатором за движущейся целью. Постоянное значение скорости соответствует движениюцели по прямой. Перемена знака или величины скорости соответствует маневру цели.Обозначим µ среднее число перемен скорости за одну секунду. Тогда Тбудет среднимзначением интервала времени, в течение которого угловая скорость сохраняет постоянноезначение.
Применительно к радиолокатору это значение будет средним временем движения целипо прямой.Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значениепроизведенияПри нахождении этого произведения могут быть два случая.1. Моменты времениотносятся к одному интервалу. Тогда среднее значениепроизведения угловых скоростей будет равно среднему квадрату угловой скорости илидисперсии:2.
Моменты времениотносятся к разным интервалам. Тогда среднее значениепроизведения скоростей будет равно нулю:так как произведения с положительным и отрицательным знаками будут равновероятными.Корреляционная функция будет равнагде Р1 — вероятность нахождения моментов временив одном интервале, а— вероятность нахождения их в разных интервалах. Вероятность появленияперемены скорости на малом промежутке временипропорциональна этому промежутку иравна. Вероятность отсутствия перемены скорости для этого же промежутка будет.Для интервала времени т вероятность отсутствия перемены скорости, т.
е. вероятностьнахождения моментов временив одном интервале постоянной скорости, будет равнапроизведению вероятностей отсутствий перемены скорости на каждом элементарном, так как.эти события независимые.промежуткеВ результате для конечного промежуткаполучаемУстремив—> 0 и переходя к пределу, получим(11.80)Знак модуля при поставлен вследствие того, что выражение (11.80) должносоответствовать четной функции. Выражение для корреляционной функции совпадает с (11.79).Поэтому спектральная плотность рассматриваемого процесса должна совпадать с (11.78):(11.81)Заметим, что в отличие от (11.78) формула спектральной плотности (11.81) записана дляугловой скорости процесса (рис.
11.22). Если перейти от угловой скорости к углу, то получитсянестационарный случайный процесс с дисперсией, стремящейся к бесконечности. Однако вбольшинстве случаев следящая система, на входе которой действует этот процесс, обладаетастатизмом первого и более высоких порядков. Поэтому первый коэффициент ошибки с0 уследящей системы равен нулю и ее ошибка будет определяться только входной скоростью ипроизводными более высоких порядков, относительно которых процесс стационаре. Это даетвозможность использовать спектральную плотность (11.81) при расчете динамической ошибкиследящей системы.3.
Н е р е г у ля р н а я к а чк а. Некоторые объекты, напримеркорабли, самолеты и другие, находясь под действием нерегулярных возмущений(нерегулярное волнение, атмосферные возмущения и т. п.), движутся по случайному закону. Таккак сами объекты имеют определенную, им свойственную, частоту колебаний, то они обладаютсвойством подчеркивать те частоты возмущений, которые близки к их собственной частотеколебаний. Получающееся при этом случайное движение объекта называют нерегулярной качкойв отличие от регулярной качки, представляющей собой периодическое движение.Типичный график нерегулярной качки изображен на рис.
11.23. Из рассмотрения этогографика видно, что, несмотря на случайный характер, это движение довольно близко кпериодическому.В практике корреляционную функцию нерегулярной качки часто аппроксимируютвыражением(11.82)— резонансная частота,— параметр затухания, D — дисперсия. Значениянаходятся обычно путем обработки экспериментальных данных (натурных испытаний).Корреляционной функции (11.82) соответствует спектральная плотность (см. табл.
11,3)гдеНеудобством аппроксимации (11.82) является то, что этой формулой можно описатьповедение какой-либо одной величины нерегулярной качки (угла, угловой скорости или угловогоускорения). В этом случае величина D будет соответствовать дисперсии угла, скорости илиускорения.Если, например, записать формулу (11.82) для угла, то этому процессу будетсоответствовать нерегулярная качка с дисперсией для угловых скоростей, стремящейся кбесконечности, т.
е. это будет физически нереальный процесс.Более удобная формула для аппроксимации угла качки(11.84)Соответствующая спектральная плотность(11.85)Здесь D0 — дисперсия для угла.При такой аппроксимации дисперсия для угловой скорости получается конечной:.Однако и эта аппроксимация соответствует физически нереальному процессу, так какдисперсия углового ускорения получается стремящейся к бесконечности.Для получения конечной дисперсии углового ускорения требуются ещё более сложныеформулы аппроксимации, которые здесь не приводятся.Типичные кривые для корреляционной функции и спектральной плотности нерегулярнойкачки приведены на рис.
11.24.§ 11.6. Канонические разложения случайных функцийЭлементарной случайной функцией называется функция, которая может быть представленав виде(11.86)где— некоторая известная неслучайная функция времени (синусоида, экспонента,степенная функция и т. п.).Если математическое ожидание величины х равно нулю, то и математическое ожиданиеслучайной функции. Корреляционная функция в этом случае(11.87)где дисперсия.Рассмотрим случайную функцию х (t), которая может быть представлена в виде суммыматематического ожиданияи элементарных случайных функций:(11.88)— случайные взаимно некоррелированные коэффициенты с нулевымЗдесьматематическим ожиданием.Представление случайной функции в виде суммы ее математического ожидания и взаимнонекоррелированных элементарных случайных функций называется каноническим разложением.Случайные коэффициенты носят название коэффициентов канонического разложения, а функции— координатных функций.При использовании канонического разложения значительно упрощается выполнениеразличных операций над случайными функциями (дифференцирование, интегрирование,решение линейных дифференциальных уравнений и т.
п.). Так, например, производная от (11.88)будет(11.89)Аналогичным образом интегрирование (11.88) дает х (I) <И = (х (г) сИ+^У^ Г XV (I) 6,(11.90)Для нахождения, канонического разложения случайных функций существуют различныеметоды [108].Из (11.88) может быть найдена корреляционная функция(11.91)Здесь— дисперсии коэффициентов канонического разложения. Такимобразом, корреляционная функция может быть выражена через те же координатные функции.Для стационарной случайной функции, заданной в интервале — Т < t < Т, разностьизменяется в интервале — 2Т < < 2 Т и разложение корреляционной функцииможет быть задано в виде ряда Фурье:(11.92)где — целые числа.Этому выражению соответствует каноническое разложение самой случайной функции(11.93)где— взаимно некоррелированные случайные величины с нулевымиматематическими ожиданиями и с одинаковыми дисперсиямиВ разложении (11.92)должны отсутствовать нечетные гармоники.
Тогда ряд (11.93) будет содержать только четныегармоники, что соответствует периоду 2 Т (интервалу — Т < t < Т).Если разность между двумя соседними гармоникаминулю, что соответствуетможно представить в видеустремить к(11.94)Здесь введена спектральная плотность стационарного процесса (см. § 11.5)являющаяся изображением Фурье корреляционной функции.§ 11.7. Прохождение случайного сигнала через линейную системуРассмотрим линейную систему (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
