Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 65
Текст из файла (страница 65)
е. наклон искомых асимптот, будет(12.41)3. На вещественной оси траектории корней представляют собой отрезки прямой,соединяющие нули и полюсы функции G (р), расположенные на этой оси. Началом траекторий навещественной оси служит нуль, расположенный правее всех остальных.4. Если траектория отклоняется от вещественной оси, то положение точки р = а, в которойтраектория отходит от этой оси, можно оценить из того условия, что при малом отклонении ,от вещественной оси приращение угла (12.35), обусловленное влиянием полюсов и нулейфункции G (р), расположенных на оси влево от искомой точки, должно уничтожатьсяприращением этого же угла, обусловленным влиянием полюсов и нулей О (р), расположенныхвправо от этой точки.Так, например, пусть имеется функция(12.42)При К = 0 траектории исходят из точек (—0,001), (—2) и (—6), лежащих на вещественной.оси.
Отрезки траекторий лежат между точками (—0,001) ж (—2) и между (—6) иПрименяя правило 4, можем записать.Решение этого квадратного уравнения дает5. Положение точки, в которой траектория пересекает мнимую ось при переходе в правуюполуплоскость комплексной переменной р, часто можно оценить, пренебрегая влиянием малогопо абсолютной величине полюса функции G (р).Рассмотрим в качестве примера опять функцию (12.42).
При значительных по модулювеличинах комплексной переменной р эту функцию можно с хорошей точностьюаппроксимировать функциейТогда(рис. 12.2) и, следовательно, условие (12.38) сводится к равенствуиРассматривая график на рис. 12.2, можно заметить, чтооткуда следует, что. Это равенство и представляет собойусловие для определения точки пересечения В.6. Направление касательной к траектории при выходе ее из какого-либо полюса или приподходе к какому-либо нулю нетрудно определить путем вычисления угла между этойкасательной в данном полюсе или нуле и вещественной осью. При таком вычислениииспользуется зависимость (12.38) для аргументов всех нулей и полюсов, расположенных поусловию в левой полуплоскости комплексной переменной р.На рис.
12.3 изображены траектории корней передаточной функции G (р), имеющей двануля и два полюса на вещественной оси и одну пару комплексных сопряженных полюсов. Придостаточно малом удалении точки р от полюса q4 углы, соответствующиеостальным нулям и полюсам, останутся неизменными. Таким образом, в силу (12.38) уголнайдется из уравненияIПеречисленные правила определяют основные свойства траекторий корней. Траектории вненулей и полюсов функции G (р) находятся с помощью построения по точкам, после чего можноопределить характер изменения К вдоль построенной таким образом кривой.
После того каквыбрано желаемое расположение корней характеристического уравнения, находитсясоответствующее значение К. Более подробно см. [128].§ 12.4. Метод стандартных переходных характеристикДля получения необходимых значений коэффициентов передаточной функции разомкнутойсистемы можно воспользоваться стандартными переходными характеристиками. Для большейобщности эти характеристики строятся в нормированном виде. В этом случае по оси времениоткладывается относительное время— среднегеометрический кореньхарактеристического уравнения, определяющий быстродействие системы.При построении стандартных переходных характеристик необходимо задатьсяопределенным распределением корней характеристического уравнения.Ниже приводятся стандартные характеристики и соответствующие передаточные функции[61].Для систем с астатизмом первого порядка корни приняты вещественными, причем онисоставляют арифметическую прогрессию.
В табл. 12.1приведены передаточные функции разомкнутой системы для различных порядковхарактеристического уравнения n=2-4, получающиеся при этом значения перерегулированияи добротности по скорости Кв.Нормированные переходные характеристики для каждого случая приведены на рис. 12.4, а.Для систем с астатизмом второго порядка корни: также приняты вещественными, причемони составляют геометрическую прогрессию. Соответ ствующие передаточные функцииприведены в табл. 12.2, а переходные характеристики — на рис.12.4,б.В табл. 12.2 для различных порядков характеристического уравнения n= 2-6 приведеныпередаточные функции разомкнутой системы, перерегулирование σ% и добротность 'поускорению Кε.Использование метода стандартных переходных характеристик для синтеза заключается втом, что для принятой структурной схемы выбирается приемлемый вид переходного процесса.Это позволяет установить необходимое значение среднегеометрического корня.
Далееоказываются известными все коэффициенты желаемой передаточной функции системы.Введением различных корректирующих средств необходимо добиться того, чтобыкоэффициенты реальной передаточной функции были возможно ближе к коэффициентамжелаемой передаточной функции.Этот метод может применяться и в том случае, когда важно обеспечить-требуемуюточность работы системы, которая может быть задана, например, при помощи коэффициентовошибок.
Тогда при заданных значениях коэффициентов ошибок можно определить требуемоезначение, а по ним найти величину . Далее расчет ведется так, как описано выше.Недостатком рассмотренного метода является то, что при построении стандартныхпереходных процессов приняты вещественные корни. Это во многих случаях не приводит коптимальному решению.
Однако стандартные переходные характеристики можно сравнительнопросто построить для любого другого расположения корней, в том числе и для комплексныхкорней. Предлагается, например, такое решение [61]. Пусть характеристическое уравнениезаписано в виде— среднегеометрический корень.гдеЕсли принять все корни равными и вещественными, то это характеристическое уравнениеприобретает вид(12.43)В этом случае безразмерные коэффициенты А1, . . ., Аn-1 являются коэффициентами биномаНьютона.Однако переходный процесс затухает быстрее, если характеристическое уравнение причетном n имеет видпричем безразмерный параметр затухания ξ = 0,7-0,8.В табл.
12.3 для случая ξ = 0,75 приведены значения безразмерных коэффициентов А1, . . .,Аn-1, причем А0 = 1 и Аn = 1, для степени характеристического уравнения от 2 до 6.На рис. 12.4, в приведены нормированные переходные характеристики, соответствующие.характеристическому уравнению (12.45), если в него ввести правую часть в видеПереходный процесс затухает еще быстрее, если принять некратное распределениекомплексных корней [64]. В этом случае все корни имеют одинаковую вещественную часть т).Мнимые части корней образуют арифметическую прогрессию с разностью у и первым членомтакже у. Для каждой степени характеристического уравнения существует некоторое оптимальноеотношение у/т), которому соответствует наибольшее быстродействие в безразмерном времени.Безразмерные коэффициенты характеристического уравнения для этого случая приведены в табл.12.4, а переходные характеристики изображены на рис.
12.4, г.При наличии нулей у передаточной функции принятые в табл. 12.3 и 12.4 распредлениякорней оказываются неудачными вследствие появления большого перерегулирования. В этомслучае оказывается более выгодным использование расположения корней на вещественной осипо арифметической прогрессии (см. табл. 12.1 и 12.2).§ 12.5. Метод логарифмических амплитудных характеристикНаиболее приемлемы для целей синтеза логарифмические амплитудные .характеристики,так как построение л.
а. х., как правило, может делаться почти без вычислительной работы.Особенно удобно использовать асимптотические л. а. х.Процесс синтеза обычно включает в себя следующие операции.1. Построение желаемой л. а. х. Построение желаемой .л. а. х. делается на основе техтребований, которые предъявляются к проектируемой системе регулирования. При построениижелаемой л. а. х. необходимо быть уверенным, что вид амплитудной характеристики полностью•определяет характер переходных процессов и нет необходимости вводить в рассмотрениефазовую характеристику. Это будет выполняться в случае минималънофазовых систем. В этомслучае амплитудная характеристика•однозначно определяет вид фазовой характеристики. Напомним, что передаточная функцияразомкнутой минимально-фазовой системы не должна иметь нулей и полюсов, расположенных вправой полуплоскости (см.
§ 4.8).2. Построениерасполагаемой л. а. х. Под располагаемой л. а. х. понимается характеристикаисходной системы регулирования, построенной исходя из требуемых режимов стабилизации илислежения, требуемых выходной мощности, скорости, ускорения и т. п. Обычно под .исходнойсистемой понимается система, состоящая из регулируемого объекта и регулятора и неснабженная необходимыми корректирующими средствами, обеспечивающими требуемоекачество переходного процесса. Исходная•система должна быть также минимально-фазовой.3.
Определение вида и параметров корректирующего устройства. Наиболее простоопределяется корректирующее устройство последовательного типа. Если желаемая передаточнаяфункция разомкнутой системы —, располагаемая —и передаточная функциякорректирующего звена последовательного типа —, то можно записать равенствоТаким образом, при использовании л. а. х. весьма легко осуществляется синтезпоследовательных корректирующих средств, так как л.
а. х. корректирующих средств получаетсяпростым вычитанием ординат располагаемой л. а. х. из ординат желаемой.4. Техническая реализация корректирующих средств. По виду л. а. х. необходимо подобратьсхему и параметры корректирующего звена последовательного типа. В случае необходимостипоследовательное звено может быть пересчитано на эквивалентное параллельное звено илиэквивалентную обратную связь по формулам, которые приведены в § 10.4.5. Поверочный расчет и построение переходного процесса.
В случае необходимостиполученная система регулирования вместе с корректирующими средствами может бытьисследована обычными методами анализа.Ниже приводится краткое изложение метода синтеза, разработанного В. В.Солодовниковым [121] для следящих систем с астатизмом первого порядка.В основу синтеза положены следующие показатели качества:1) перерегулированиепри единичном ступенчатом воздействии на входе;2) время переходного процесса tп;3) коэффициенты ошибок.В рассмотрение вводится типовая вещественная частотная характеристика замкнутойсистемы (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
