Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Корневой методНаиболее простой корневой метод разработан Т. Н. Соколовым [117]. Сущность егосводится к следующему. [В соответствии с изложенным в § 12.1 рассматривается только задача.получения приемлемых динамических качеств при заданном значении общего коэффициентаусиления, т. е. последнего члена характеристического уравнения.]Пусть имеется характеристическое уравнение системы(12.1)С точки зрения скорейшего затухания переходного процесса важно, чтобы вещественныечасти всех корней характеристического уравнения были наибольшими. Сумма вещественныхчастей всех корней численно равна первому коэффициенту характеристического уравнения(12.1).
Поэтому при заданной величине этого коэффициента наивыгоднейшие результатыполучаются при равенстве вещественных частей всех корней/ Однако расчеты и исследованияпостроенных систем показывают, что стремление удовлетворить поставленному требованиюприводит к совершенно нереальным конструктивным характеристикам отдельных звеньев. Этирасчеты и исследования показывают, что из общего числа корней характеристическогоуравнения всегда можно выделить два или три корня с меньшей по абсолютному значениювещественной частью, которые и определяют ход основного процесса. Остальные же корнихарактеризуют быстро затухающие составляющие, оказывающие влияние только на начальнойстадии переходного процесса.Примем, что основной характер переходного процесса определяется двумя корнями.
Тогдауравнение (12.1) удобно представить в виде(12.2)Второй сомножитель (12.2) и будет определять основной характер процесса.Для уменьшения погрешностей проектируемой системы важно, чтобы коэффициент В2 восновном множителе имел возможно большую величину. Однако чрезмерное увеличение В2приводит к колебательному характеру переходного процесса.Оптимальное соотношение между коэффициентами B1 и В2 определяется из условияполучения затухания за один период, которому соответствует выражение (см.
§8.6)(12.3)где— вещественная и мнимая части комплексного корня, характеризующегоосновной процесс. Учитывая соотношения:(12.4)Множитель определяющий соотношение между коэффициентами основного множителяхарактеристического уравнения, является критерием переходного режима, зависящим отвыбранной степени затухания. Формула (12.4) показывает желаемое соотношение междукоэффициентами характеристического уравнения, к которому надо стремиться припроектировании системы. Это должно осуществляться введением различных корректирующихсредств.Из (12.3) можно также получить требуемое соотношение между мнимой и вещественнойчастями корня (колебательность):(12.5)В ряде случаев для описания основного переходного процесса оказывается болеецелесообразным воспользоваться уравнением третьей степени(12.6)Это уравнение можно представить в виде(12.7)Между коэффициентами уравнений (12.6) и (12.7) имеют место соотношения:Положим, что во втором множителе (12.7) по-прежнему(12.8)Поэтому корни характеристического уравнения (12.6) и (12.7) равны:(12.9)(12.10)Так как вещественная часть корней должна быть возможно большей, то целесообразнозадать(12.11)и, следовательно,Подставив полученные значения в формулы разложения,между коэффициентами основного уравнения.
Если В1 задано, тонаходим зависимостьЭти соотношения должны реализоваться при проектировании системы регулирования.Корни основного уравненияВыбор уравнения для описания основной составляющей переходного процесса зависит отструктурной схемы проектируемой системы.Рассмотрим теперь связь между основной и дополнительной составляющими переходногопроцесса для заданного затухания ξ (8.40). Для этой цели полезно представитьхарактеристическое уравнение (12.1) в таком виде:(12.19)— произвольно выбранный среднегеометрический корень, А1, .
. . , . ., Аn-1 —гдебезразмерные коэффициенты.Записанное в такой форме уравнение третьей степени принимает видРазлагая его на множители, находимСоотношения для коэффициентов:(12.21)Введем коэффициент а и положимоткудаТаким образом, безразмерные коэффициенты А1 и A2 являются функциями критерияпереходного процесса &ш зависящего от. желаемой степени затухания и коэффициентаразложения а, определяющего соотношение постоянных времени затухания отдельныхсоставляющих.Следовательно, обе составляющие переходного процесса затухают с одинаковой скоростью.Аналогичным образом можно получить выражения для коэффициентовхарактеристического уравнения четвертой, пятой и более высоких степеней [117].Синтез системы регулирования начинается с того, что для выбранной структурной схемы ивведенных корректирующих средств находится характеристическое уравнение.
Затемварьируются параметры основного канала регулирования и корректирующих средств такимобразом, чтобы получить требуемые значения коэффициентов характеристического уравнения(12.1) или (12.20).Этот метод оказывается достаточно эффективным в случае сравнительно невысокойстепени характеристического уравнения (n=2-4). В более сложных случаях обеспечить требуемыезначения коэффициентов характеристического уравнения оказывается затруднительно, так какнекоторые параметры системы и корректирующих средств могут влиять сразу на несколькокоэффициентов характеристического уравнения.Недостатком этого метода является также то, что необходимо задаваться видомкорректирующих средств.
Поэтому получаемое решение будет во многом зависеть от опытностипроектанта.§ 12.3. Метод корневых годографовКачество системы регулирования с точки зрения быстродействия и запаса устойчивостиможет характеризоваться расположением корней числителя и знаменателя передаточнойфункции замкнутой системы, т. е. расположением нулей и полюсов передаточной функции (§8.6).Зная эти корни, можно изобразить их расположение на комплексной плоскости корней. Прирасчете регулируемой системы целесообразно проследить, как меняется общая картинарасположения корней при изменении отдельных параметров, например общего коэффициентаусиления, постоянных времени корректирующих цепей и т. п., с целью установленияоптимальных значений этих параметров.При плавном изменении значения какого-либо параметра корни будут перемещаться наплоскости корней, прочерчивая некоторую кривую, которую будем называть корневымгодографом или траекторией корней.
Построив траектории всех корней, можно выбрать такоезначение варьируемого параметра, которое соответствует наилучшему расположению корней.Первый способ построения траекторий корней заключается в следующем. Пусть имеетсядифференциальное уравнение замкнутой системы, записанное для регулируемой величины приналичии задающего воздействия (5.3):Это уравнение записано здесь для случая равенства нулю возмущающих воздействий. Ономожет быть записано также для любого возмущающего-воздействия. Это не изменит его формыи не отразится на дальнейших рассуждениях.Передаточная функция замкнутой системы(12.29)Полюсы передаточной функции, т.
е. корни знаменателя, обозначим через,аее нули (корни числителя) —через.Коэффициенты числителя и знаменателя (12.29) определенным образом выражены черезпараметры регулируемого объекта, регулятора и корректирующих устройств. Если нужновыбрать величину какого-либо параметра (постоянная времени, коэффициент усиления и т. п.),входящего как угодно в коэффициенты (12.29), то необходимо принять некоторые постоянныезначения для всех остальных параметров, а для искомого параметра задавать различныечисловые значениявнутри реально возможных пределов изменения этогопараметра в данной системе регулирования.
Для каждого из этих вариантов необходимо затемвычислить корни числителя и знаменателя (12.29). Результаты вычислений можно свести втаблицу, на основании которой легко строятся все траектории корней.Если нужно выбрать два или несколько параметров регулируемой системы, то такого родавычисления нужно проделать несколько раз, меняя каждый раз один из параметров при заданныхзначениях всех остальных.Вычисление корней при этом можно производить любым численным методом, возможноболее простым, так как ввиду приближенности корневой оценки здесь не требуется большойточности вычислений. В настоящее время имеются электрические устройства, позволяющиестроить на экране траектории корней непосредственно по заданным коэффициентам уравнения.Из простых численных методов определения корней можно рекомендовать, например,метод последовательных делений [98].Другой способ построения траекторий корней, разработанный Ивэнсом и Э.
Г. Удерманом[128], в отличие от первого, пригодного для выбора любого параметра системы, специальноприспособлен для выбора общего коэффициента усиления передаточной функции разомкнутойсистемы (5.10), которую запишем следующим образом:(12.30)Здесь К = Кr — общий коэффициент усиления разомкнутой системы, имеющий размерностьсек-r, где r — степень астатизма; G1 (р) — операторная часть передаточной функции разомкнутойсистемы.Характеристическое уравнение системы может быть записано в виде(12.31)Обозначим полюсы и нули передаточной функции разомкнутой системы соответственно.
ТогдачерезКаждый сомножитель в выражении (12.32) можно изобразить в виде вектора накомплексной плоскости (рис. 12.1), где р — текущая точка. Обозначим длину (модуль) каждоговектора в знаменателе (12.32) через, а в числителе — черезСоответственно угол между вектором и положительным направлением оси вещественных, а для числителя —. По(аргумент) для знаменателя обозначимправилу перемножения комплексных чисел согласно формуле (12.32) найдем, что G (р) будетпредставлять собой вектор с длиной г ж аргументом ф, причем(12.33)гдеТраектории корней (рис. 12.1) строятся таким образом, чтобы они удовлетворяли условию(12.38). После этого по формуле (12.34) для каждойконкретной комбинации корней можно вычислить А и величину r, а затем по формуле(12.37) — общий коэффициент усиления К.Для упрощения построения траекторий корней используются следующие свойства.1.При К = 0 корни характеристического уравнения замкнутой системы совпадают сполюсами передаточной функции разомкнутой системы W (р) или G (р), так как согласно (12.31)при К = 0 имеем.2.
Прикорни стремятся к нулям передаточной функции разомкнутой системы, таккак прииз (12.31) получаем. Но количество нулей равно m, в то время какколичество корней n >m. Поэтому остальные n — m корней уходят в бесконечность, так какеще при. Для последних n-m корней можно определить направления асимптотимеем соответственнона основании (12.31) и (12.32). При большихоткуда аргумент комплексного числаи, значит, аргумент числа, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
