Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Во многихслучаях следящие системы работают удовлетворительно и при значениях М = 1,6-1,8.Необходимым и достаточным условием того, чтобы в устойчивой системе показательколебательности был не больше заданного, является нахождение фазовой характеристики внезапретной зоны (рис. 8.27). В минимально-фазовых системах это условие может быть выдержанособлюдением определенных правил построения л. а. х. без нахождения фазовой характеристики.Рассмотрим принципы построения л. а. х.
с заданным показателем колебательности. Пометодическим соображениям рассмотрение начнем со следящих систем с астатизмом второгопорядка, хотя эти системы и не относятся к наиболее простым и распространенным.Как правило, в качестве типовых используются л. а. х., имеющие в низкочастотной частинаклон не более 40 дб/дек.
Это вызвано стремлением избавиться от условий, при которыхвозможно появление неустойчивости в большом, т. е. при согласовании следящей системы сбольшого угла.Типовые л. а. х. систем с астатизмом второго порядка. В системах •с астатизмом второгопорядка обычно имеются два интегрирующих звена. Такими звеньями могут бытьисполнительный и вспомогательный двигатели, например гидромуфта и управляющий двигатель,поворачивающий шпиндель или чашу гидронасоса.
В некоторых случаях астатизм второгопорядка может появляться вследствие особенностей механических характеристик единственногоисполнительного двигателя, у которого вращающий момент не зависит от скорости вращения.Рассмотрим передаточную функцию разомкнутой системы вида(12.75)где— коэффициент усиления по разомкнутой цепи, называемый добротностьюпо ускорению.Асимптотическая л. а. х., соответствующая (12.75), изображена на рис.
12.13. Всоответствии с наклонами асимптот, кратными — 20 дб/дек, ей присвоен тип 2 — 1 — 2.Положение всей л. а. х. может быть задано точкой пересечения первой асимптоты с осьюнуля децибел. Этой точке соответствует частота(12.76)которую назовем базовой.При введении новой переменнойнормированном виде:передаточная функция будет представлена в(12.77)где— относительные постоянные времени.Соответствующая нормированная л. а. х., построенная для относительной частоты, изображена на рис.
12.14. Здесь же показаны для иллюстрации фазовая характеристика изапретная область для нее.Протяженность участка с единичным наклоном, т. е. с отрицательным наклоном 20 дб/дек =6 дб/окт, определяется отношением двух постоянных времени:(12.78)Под протяженностью участка вдоль оси частот (рис. 12.14) понимается отношение частотконечных точек участка (большей к меньшей). Запас по фазе для функции (12.77)Максимальный запас по фазе определяется только протяженностью h асимптоты л.
а. х.,имеющей единичный наклон.Приравнивание максимальных запасов по фазе (8.88) и (12.81) дает зависимость междупротяженностью участка h и показателем колебательности М при оптимальном выборепараметров, т. е. при совпадении максимумов реальной фазовой характеристики и запретнойзоны (рис. 12.14):Эти формулы связывают протяженность участка h с минимальным значением показателяколебательности, который может быть получен при этой протяженности, или величину п оказателя колебательности М с минимальной протяженностью участка h, обеспечивающей этотпоказатель колебательности.Из рис.
12.14 легко найти оптимальные параметры л. а. х.:(12.84)где, соответствует модулю, а— относительной частоте, при которых запас пофазе (в запретной области) получается максимальным — см. формулу (8.88);(12.85)Эти параметры соответствуют минимальному значению показателя колебательности призаданной протяженности участка h.Следует заметить, что технически реализовать систему тем легче, чем йенынепротяженность участка h.
Это связано с необходимостью подъема на этом участке верхнихчастот, что во многих случаях затруднено вследствие наличия в системе внешнех и внутреннихвысокочастотных помех. Поэтому с точки зрения оптимальности инженерного решениянеобходимо стремиться к реализации желаемых динамических качеств при минимальнойтребуемой протяженности участка h.Для получения заданного показателя колебательности в замкнутой системе прификсированной базовой частоте л. а. х. необходимо иметь следующие постоянные времени:Вместо базовой частотыза точку, фиксирующую положение л. а. х.
(рис. 12.13 и 12.14),можно принять, например, точку пересечения второй асимптоты л. а. х. с осью децибел, которойсоответствует частота. Тогда вместо (12.86) и (12.87) получим выражения, которыепри фиксированной частоте среза, а следовательно, и фиксированном положении запретной зоныдля фазовой характеристики можно превратить в неравенства:При равенстве левых частей правым показатель колебательности будет равен заданномузначению М. При неравенстве левых и правых частей будет вводиться некоторыйдополнительный запас устойчивости и показатель колебательности будет снижаться.Эти формулы легко запоминаются, и они просто связаны с параметрами окружности —запретной зоны на комплексной плоскости (см.
рис. 8.28)В неравенство может быть превращена и формула (12.87). Формулу (12.86) лучше иметь ввиде равенства, так как увеличение Т2 по сравнению с тем, что дает формула, в некоторыхслучаях может привести к ухудшению запаса устойчивости.При использовании типовой передаточной функции (12.75) может быть предусмотрендополнительный запас устойчивости для возможности иметь в усилительном канале некотороеколичество не учитываемых при расчете малых постоянных времени. Дополнительный запасустойчивости создается уменьшением величины постоянной времени Т3 или, соответственно,чтобы отодвинуть фазовую характеристику от запретной области (рис. 12.15).
На малыепостоянные времени отводится обычно несколько градусов запаса по фазе. Так, например, в [10]предлагается отводить на эти цели величину, соответствующую сумме малых постоянных.(12.90)а число малых постоянных времени принимать равным 4-6. Тогда граница малых постоянныхвремени определяется значением(12.91)Если некоторая постоянная времени Tм дает сопрягающую частотукоторая больше граничной частоты (рис. 12.15),(12.92)то эта постоянная может не учитываться при расчете.Расчетная формула для определения допустимого значения постоянной: времени Т2 (12.86)при эхом сохраняется, а вместо формулы (12.87) должно использоваться выражение(12.93)В более сложном случае передаточная функция разомкнутой системы может иметьпроизвольное число постоянных времени, входящих в ее знаменатель:.(12.94)Этой передаточной функции соответствует л.
а. х. типа 2—1—2—3—4.. Расчеты и здесьоказываются достаточно простыми. Для получения заданного показателя колебательностинеобходимо выполнение условия (12.86) для постоянной времени Т2- Сумма всех остальныхпостоянных времениудовлетворять неравенствувключая малые постоянные времени, должна(12.95)При использовании расчета по частоте среза для постоянной времени Т2 должновыполняться условие (12.88) а для суммы остальных постоян ных времени — условие(12.96)В л. а. х. подобного типа легко учесть наличие звеньев постоянного запаздывания.
[Озвеньях постоянного запаздывания см. главу 14.] В этом случае время запаздывания должноучитываться при подсчете суммы постоянных времени.Возможен случай, когда в передаточную функцию разомкнутой системы входит множитель,соответствующий колебательному звену с комплексными корнями:(12.97)Допустить наличие такого множителя можно в то'м случае, если частота свободныхколебаний звена значительно больше базовой частоты:(12.98)Асимптотическая л. а. х. для этого случая изображена на рис. 12.16.При выполнении условия (12.98) фазовый сдвиг, вносимый колебательным звеном в районемаксимального запаса по фазе, можно принять равным.
Поэтому коэффициент адолжен входить в общую сумму постоянных времени (12.95) или (12.96).Для того чтобы избежать появления второй запретной зоны в районе пика л. а. х. при(рис. 12.16), необходимо выполнение дополнительного условия, которое вытекает изнеравенства (8,.87):(12.99)Выполнение этого условия может быть легко проверено при построении л.а.х.Более подробно этот вопрос рассмотрен для случая гироскопических следящих систем в[10].Передаточная функция подобного вида соответствует изодромному регулированию. Онаможет встречаться, например, в сглаживающих системах различного типа, построенных наэлектромеханических, электронных, гироскопических и тому подобных интеграторах.Показатель колебательности для подобной передаточной функции может быть определенпрямым отысканием максимума модуля частотной передаточной функции замкнутой системыПодстановка (12.100) и исследование получившегося выражения на максимум даетследующее условие, которое должно быть выполнено, чтобы показатель колебательности непревышал заданного значения:Типовые л.
а. х. систем с астатизмом первого порядка. Следящие системы с астатизмомпервого порядка представляют собой наиболее распространенный тип систем, содержащих одноинтегрирующее звено — исполнительный двигатель. В простейшем случае, когда следящаясистема состоит из безынерционного усилителя и исполнительного двигателя с постояннойвремени Т1 и не имеет дополнительных корректирующих средств, кроме, возможно, жесткойтахометрической обратной связи, передаточная функция разомкнутой системы может бытьсведена к виду(12.102)Асимптотическая л.
а. х. типа 1—2, соответствующая этой передаточной функции,изображена на рис. 12.18.Определение допустимого значения постоянной времени может быть сделано прямымнахождением максимума амплитудной частотной характеристики замкнутой системыПодставляя (12.102) и исследуя получившееся выражение на максимум, можно найтиусловие того, чтобы показатель колебательности не превышал заданного значения:(12.103)Последняя формула позволяет при заданном значении постоянной времениисполнительного двигателя легко определять максимальное значение добротности по скорости,которое можно иметь в следящей системе при данном значении показателяколебательности. При заданном значении требуемой добротности по скорости эта же формулапозволяет определять допустимое значение постоянной времени исполнительного двигателя инеобходимый коэффициент усиления по петле жесткой тахометрической обратной связи,служащей для снижения постоянной времени двигателя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
