Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 58
Текст из файла (страница 58)
11.9. Приэтом на основании свойства (11.14) имеемПодсчитаем характерные значения. Среднее значение (математическое ожидание)Среднее значение квадрата случайной величины (момент второго порядка)ДисперсияСреднеквадратичное отклонениеСредневероятное отклонениеМаксимально возможное отклонение случайной величины от среднего значения в данномслучае будет2. Нормальный закон распределения непрерывных случайных величин (закон Гаусса).
Этотзакон имеет вид(11.21)где σ — среднеквадратичное отклонение, авеличины.— математическое ожидание случайнойГрафик для этого закона изображен на рис. 11.10. Он имеет типичную «колоколообразную»форму.Анализ условий возникновения нормального распределения показывает,что оно имеет место во всех тех случаях, когда случайная величина характеризует собойсуммарный эффект большого числа независимых причин. Поэтому нормальное распределениевесьма часто встречается на практике.Для этого закона средневероятное отклонение будетЗа максимальное отклонение, которое может иметь место, обычно принимают величину, так как вероятность того, что отклонениебудет больше 3σ, очень мала, аименно:Для удобства расчетов составлены таблицы для единичного нормального закона. Дляполучения этого закона положими введем новую относительную переменнуюТогда вероятность того, что текущее значениеотносительной переменной находится в интервале от —а до +а или сама переменнаянаходится в интервале от, определится выражением.(11.22)Для функции Ф (а) составлены подробные таблицы.
В качестве иллюстрации приводитсякраткая табл. 11.2.Рассмотрим пример пользования таблицей. Пусть имеется некоторая случайная величина ж,, а среднеквадратичное отклонение составляетдля которой математическое ожидание. Определим, какова вероятность того, что случайная величина лежит в интервале 9,5 < х <10,5.
Это означает, что отклонение от математического ожидания должно лежать в интервале —0,5 < ∆ < +0,5. Для. относительных величин это соответствует неравенствуТаким образом, а = 0,125. По табл. 11.2 определяем путем интерполяции вероятностьФ(а)=0,1.Произведем более сложный расчет. Пусть для той же случайной величины необходимоопределить вероятность нахождения ее в интервале 11 < х < 12. Так как кривая нормальногораспределения является симметричной относительно среднего значения случайной величины, тоискомая вероятность может быть найдена как половина разности вероятности нахожденияслучайной величины в интервале — 12 < х < 12 и вероятности нахождения в интервале — 11 << х< 11, т.
е.или для отклоненийПерейдя к относительным величинам, получаем в результате искомую вероятностьХарактеристические функции. Введем в рассмотрение функциюплотностью вероятности ω (х) взаимным преобразованием Фурье:, связанную с(11.23)Эта функция называется характеристической. Ее основные свойства следующие. Еслислучайная величина у = ах+b, то(11.24)Если случайная величина, где х и у — независимые величины, то(11.25)Для нормального закона распределения (11.21) характеристическая функция будет(1.1 .26)По характеристической функции могут быть найдены моменты случайной величины.Разлагаяв первой формуле (11.23) в ряд: Маклорена, имеем(11.27)(11.28)Из сравнения (11.27) и (11.28) можно получить формулу для момента m-го порядка:(11.29)Аналогичным образом можно получить формулу для центрального-момента m-гопорядка:(11.30)Формулы (11.29) и (11.30) могут быть использованы для вычисления моментов.Векторные случайные величины.
Пусть имеется совокупность случайных величин. Такая совокупность может быть представлена в виде матрицы-столбца.Если физические размернрсти всех величин одинаковы, то матрица-столбец может бытьотождествлена с вектором. При разных размерностях переход к вектору может быть сделан посленормирования (введения весовых коэффициентов).Пусть, например, имеются две непрерывные случайные величины x1 и x2. Для них можетбыть введена двумерная плотность вероятности. Если величины х1 и х2 независимы, то.Вводится понятие смешанного момента m-го порядка, где(11.31)и смешанного центрального момента(11.32)Если q = s = 1, то центральный момент второго порядка имеет особое значение и носитназвание корреляционного момента:(11.33)В случае независимости случайных величин х1 и х2 можно легко показать, чтокорреляционный момент r12 = 0.Иногда употребляется понятие коэффициента корреляции, представляющего собойотносительное значение корреляционного момента:(11.34)где D1 и D2 — дисперсии величин х1 и х2.Для совокупности случайных величинв приближенных расчетах частоограничиваются заданием матрицы-столбца (вектора) математических ожиданийматрицы корреляционных моментови(11.35)Составляющие корреляционной матрицы показывают степень связи между отдельными.
На диагонали корреляционной матрицы находятсяслучайными величинами, причемсобственные центральные моменты второго порядка, т. е. дисперсии.§ 11.2. Случайные процессыСлучайная величина х, изменяющаяся во времени t, называется случайным илистохастическим процессом. Случайный процесс не есть определенная кривая х (t), а являетсямножеством возможных кривых х (t), так же как случайная величина не имеет определенногозначения, а является совокупностью (множеством) возможных значений.Можно еще сказать, что случайный процесс есть такая функция времени, значение которойв каждый момент времени является случайной величиной.Примерами случайных процессов могут, например, являться: координаты самолета,замеряемые радиолокационной станцией; угол визирования движущейся цели головкойсамонаведения; помехи в системе телеуправления; нагрузка электрической сети и т.
п.Итак, в случайном процессе нет определенной зависимости х (t). Каждая кривая множества(рис. 11.11) является лишь отдельной реализацией случайного процесса. Никогда нельзя сказатьзаранее, по какой кривой пойдет процесс.Однако случайный процесс может быть оценен некоторыми вероятностнымихарактеристиками.В каждый отдельный момент временинаблюдаются случайныевеличины, каждая из которых имеетсвой закон распределения. Поскольку это — непрерывная случайная чина, то надо пользоватьсяпонятием плотности вероятности.Обозначимзакон распределения для всех этих отдельных случайных величин.
Вобщем случае он меняется с течением времени. Для каждого данного t в отдельностибудет свой закон распределения:причем по свойству (11.14) для каждого из нихДля каждого заданного момента времени можно найти характеристики случайных величин,определенные в § 11.1. В результате будем иметь среднее по множеству (математическоеожидание)(11.36)и дисперсию(11,37)Среднее значение случайного процесса представляет собой некоторую среднюю кривую(рис. 11.12), около которой группируются все возможные отдельные реализации этого процесса,а дисперсия D(t) или среднеквадратичное отклонение σ(t) характеризуют рассеяние отдельныхвозможных реализаций процесса около этой средней кривой., которые для каждого данного моментаКроме этих осредненных характеристиквремени являются средними по множеству, введем понятие среднего значения случайнойвеличины для отдельной реализации случайного процесса х (t), которое определяется извыражения(11.38)Переход к пределу здесь необходим для того, чтобы характеризовать не какой-нибудьотдельный участок кривой, а всю возможную кривую х (t) в целом.Для того чтобы знать связь между возможными значениями случайной функции х (г) ъпоследующие моменты времени со значениями в предыдущие моменты, вводится понятиедвумерной плотности вероятности,смысл которого можно пояснить следующим образом.
Вероятность того, что в моментвремени t1 величина х находится в интервале, а в момент времени t2 — в интервале, будет. Это есть вероятность того, что кривая х (t) пройдетвблизи двух заданных точек. Вводится также и тг-мерная плотность вероятности.Если ее умножить на, то это будет вероятность того, что кривая пройдетвблизи заданных п точек.Случайный процесс полностью определяется видом функцийи связьюмежду ними.Простейшим типом случайного процесса является чисто случайный процесс. В такомпроцессе все значения случайной величины в отдельные моменты временине зависят друг от друга.
Тогда появления значенийи т.д. будут независимыми случайными событиями, для которыхвероятность их совместного наступления равна, как известно, произведению вероятностейнаступления каждого из них в отдельности. Следовательно, для чисто случайного процесса(11.39)и вообще(11.40)Это — самые простые соотношения в теории случайных процессов. Они могут применятьсядля характеристики некоторых видов помех (чисто случайные хаотические помехи).Для характеристики полезных входных сигналов систем регулирования и следящих системсоотношения (11.39) и (11.40) практически не могут применяться, так как для этих сигналов ходпроцесса в последующие моменты времени в какой-то степени зависит от того, что было впредыдущие моменты времени.Так, например, если речь идет о слежении за самолетом, то он не может как угодно быстроменять свое положение и скорость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
