Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 57
Текст из файла (страница 57)
11.2. Он представляет собойравновероятное распределение в некотором интервале (в рассматриваемом случае от 1 до 6).В некоторых случаях закон распределения случайной величины может задаваться ваналитической форме.Примером аналитического задания закона распределения дискретной случайной величиныявляется часто используемый закон Пуассона. Он применим к дискретным случайнымвеличинам, которые теоретически могут принимать все положительные значения от 0 до оо.Примерами таких величин могут служить число пассажиров вагона трамвая, число вызовов нателефонной станции в течение какого-либо определенного отрезка времени, число электронов,попадающих на анод электронной лампы за определенный промежуток времени, и т.
п. Этотзакон записывается следующим образом для целых значений числа х:где Р (x) — вероятность появления значения х; λ представляет собой среднее значениеданной дискретной величины, полученное по результатам большого числа опытов.Графически этот закон имеет вид, изображенный на рис. 11.3, причем место максимумазависит от величины λ.В качестве одного из примеров рассмотрим функцию у (t), которая может принимать одноиз значений + а или — а (рис. 11.4).Предположим, что среднее число перемен знака в единицу времени этой функции равно \и ичто вероятность перемены знака на интервалене зависит от того, что происходит в остальные моменты времени. Тогда вероятность переменызнака на интервале ∆t составит.
Вероятность того, что на интервале ∆t не произойдет.перемены знака, будетЕсли взять два интервала времени ∆t, то вероятность отсутствия перемены знака на двухинтервалах будет равна произведению вероятностей и составит. Для трехит.д.интервалов ∆t она составитВозьмем теперь конечный интервал времени Т, который можно представить в виде.
Тогда вероятность отсутствия перемены знака на этом интервале можно найти извыраженияАналогичным образом можно показать, что вероятность одной перемены знака наинтервале Т будет, вероятность двух перемен знакаи т. д.Следовательно, вероятность х перемен знака на интервале времени Т будет определятьсявыражением(11.4)которое совпадает с формулой (11.3), если положить в ней, где— среднее числоперемен знака на интервале времени Т, которое будет наблюдаться при многократномповторении наблюдения.Хотя закон распределения полностью определяет случайную величину, для практикинужны некоторые более простые осредненные характеристики случайной величины,выражающиеся в виде обыкновенных неслучайных чисел.Одной из таких характеристик является среднее значение, или математическое ожидание,случайной величины.
Оно определяется из выражения(11.5)Так, например, для случая бросания игральной костиВообще для равновероятного закона распределения (11.5) превращается в формулуДля случайной величины, распределенной по закону Пуассона, среднее значение,подсчитанное по формуле (11.5), даетОсновные свойства среднего значения случайной величины следующие.1. Для любых случайных величин среднее значение их суммы равно сумме среднихзначений этих величин:2.
Среднее значение произведения случайных величин, независимых друг от друга, равнопроизведению средних значений этих величин:Последняя формула не распространяется на общий случай любых случайных величин.В виде обобщения понятия среднего значения (11.5) отметим, что выражение(11.6)называется моментом m-го порядка случайной величины х. В частности, моментнулевого порядка выражает свойство (11.2), и он всегда равен единице:Момент первого порядка есть среднее значение (математическое ожидание) случайнойвеличины (11.5). Момент второго порядкаесть средний квадрат случайной величины.Часто используется так называемое среднеквадратичное значение случайной величины,представляющее собой корень квадратный из среднего квадрата случайной величины:Иногда рассматривается центрированное значение случайной величины— среднее значение.
Тогда аналогично формуле (11.6). можно ввести, понятие центральногомомента m-то порядка(11.7)Из формулы (11.7) следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю.Обратимся теперь к характеристикам рассеяния дискретной случайной величины.Если х — случайная величина, а — среднее значение этой величины, то величинаесть отклонение случайной величины от ее среднего значения. Это отклонение являетсяслучайной величиной, как и сама величина х.Средним отклонением ∆ называется среднее значение (математическое ожидание)абсолютной величины отклонения, т.е.(11.8)Заметим, что без знака абсолютного значения было быДля рассмотренного выше примера бросания игральной костиСреднее отклонение случайной величины является уже не случайной величиной, а обычнымчислом.Дисперсией называется средний квадрат отклонения случайной величины от ее среднегозначения.
Она совпадает с центральным моментом второго порядка.(11.9)Дисперсия может быть легко вычислена на основании свойства среднего значения:т. е. она равна разности среднего квадрата и квадрата среднего значения случайнойвеличины.
Так как всегда выполняется неравенство, то дисперсия может быть толькоположительным числом:.Корень квадратный из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением случайнойвеличины от среднего значения:Для рассмотренного выше примера бросания игральной костиСреднеквадратичное отклонениеУкажем простейшие свойства среднеквадратичных отклонений.1. При сложении независимых случайных величиндисперсии складываются:оПоэтому среднеквадратичное отклонение суммы независимых случайных величинЭта формула часто применяется в измерительной технике и в автоматике для вычислениясреднеквадратичных ошибок. 2. Пусть имеется n случайных величинс одинаковыми средними значениями ж и с одинаковыми законами распределения. Тогда ихсреднее арифметическоетоже будет случайной величиной с тем же самым средним значением, носреднеквадратичное отклонение его будет враз меньше, чем для каждой из составляющих (вслучае независимых случайных величин):Например, если производится п измерений одной и той же физической величины, то ихсреднее арифметическое, хотя тоже является случайной величиной, но всегда надежнее (имеетменьшее среднеквадратичное отклонение), чем каждое измерение в отдельности.
Здесьслучайные ошибки измерения в известной мере компенсируются. Но надо помнить, чтосистематические ошибки приборов при этом остаются в полной мере в составе среднегоарифметического и никакой массовостью измерений скомпенсированы быть не могут.3. Для n случайных величин, независимых и имеющих одно и то же среднее значение ,среднее арифметическое будет при достаточно большом n как угодно мало отличаться отсреднего значения (с вероятностью, как угодно близкой к единице). Замечание в скобкахозначает, что это практически достоверно, но не абсолютно, потому что среднее арифметическоеесть все же случайная величина.
Таким образом, при большом n и указанных условияхЭтот закон больших чисел, доказанный П. Л. Чебышевым, имеет первостепенное значениедля обработки экспериментальных данных и для учетной статистики.Введем теперь понятие интегрального закона распределения. Интегральным закономраспределения или функцией распределения называется вероятность того, что случайнаявеличина примет значение, меньшее некоторого значения х. Математически эта формулировказаписывается в видегде ξ — текущее значение случайной величины х. Например, если график законараспределения дискретной случайной величины х имеет вид, показанный на рис. 11.5, а, тографик функции распределения Р (х) для нее будет иметь вид, показанный на рис.
11.5, б. Онпоказывает, что вероятность того, что величина х получит значение меньше единицы, равнанулю; меньше трех—равна 0,2; меньше четырех — равна 0,6 и т. д. Функция распределения F (х)всегда возрастает с увеличением х, причем F (х) = 1 при наибольшем возможном значении жшахи остается равной единице при всех значениях х >xmах.Например, для закона Пуассона (11.3), когда дискретная случайная 'величина можетпринимать значения х = 0, 1, 2, 3, .
. ., функция распределения(11.10)будет иметь вид бесконечной лестницы (рис. 11.6), но не заходящей выше единицы, т.е..Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин. Непрерывная случайнаявеличина может принимать все значения в каком-либо заданном ограниченном интервалеили все значения от —∞ до +∞.
Следовательно, функция распределения(интегральный закон распределения) для непрерывной случайной величины будет изображатьсянепрерывной кривой. На рис. 11.7 показаны оба упомянутых выше варианта.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет определенное числовоезначение х, бесконечно мала (например, вероятность попадания центра тяжести снаряда вопределенную точку цели). Вероятность же того, что непрерывная случайная величина, будет иметь конечное значение, а именно:окажется в некотором промежуткеВероятность того, что непрерывная случайная величина содержится в промежутке между хи х + dх, будетВеличина(11.11)называется плотностью вероятности.Закон распределения для непрерывной случайной величины в отличие от дискретнойзадается не в виде значений вероятности, а в виде плотности-вероятности ω (х), называемойтакже дифференциальным законом распределения.
На рис. 11.8 показаны дифференциальныезаконы распределения для двух вариантов функции распределения F (х), показанных на рис. 11.7.Если .бы здесь использовалось то же понятие закона распределения, что и для дискретнойслучайной величины, то получились бы бесконечно малые ординаты P (х).Выражение ω (х) их означает вероятность того, что случайная величина содержится междух и х + Ах:Вероятность того, что случайная величина содержится между значениями х1 и х2,определяется формулой(11.12)что геометрически выражается заштрихованной площадью на рис. 11.8.Кроме того, имеет место зависимость(11.13)Вся площадь под кривой ω (х) равна единице:(11.14)так как.Формула (11.14) соответствует моменту нулевого порядка.
Среднее значение(метематическое ожидание) соответствует моменту первого порядка:(11.15)что вытекает из формулы (11.5) как предел суммы.Моменты высших порядков по аналогии с (11.6) будут(11.16)Таким же образом можно вычислить центральный момент m-го порядка(11.17)Как и в случае дискретных случайных величин, центральный момент первого порядкавсегда равен нулю.Рассеяние непрерывной случайной величины можно оценивать одним из следующихзначений, словесные формулировки которых остаются прежними.Среднее отклонение (мало удобная для вычислений величина)(11.18)Дисперсия (наиболее удобная для вычислений величина)(11.19)Среднеквадратичное отклонение(11.20)Средневероятным отклонением Ав называется такая величина, при которой отклоненияимеют одинаковую вероятность.Рассмотрим простейшие типовые законы распределения непрерывных случайных величин.1. Равномерное распределение случайной величины на определенном участке характеризуетсяплотностью вероятности ω (х) и функцией распределения F (х), показанными на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
