Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Условие у= 0 ис|х|<, при котором согласно (17.42) будет р = const, т. е. система будет в равновесии,с1 kизображается на фазовой плоскости отрезком АВ (рис. 17.5).Вне этого отрезка согласно (17.41) необходимо отдельно рассмотреть два случая:y = pβ ≥ 0 и y = pβ ≤ 0 , т. е. верхнюю и нижнюю половины фазовой плоскости. Приy ≤ 0 из (17.41) имеемb1.a2Следовательно, ниже оси а; надо нанести такие же кривые, как на рис. 16.9, или как нарис. 16.11, б, но со сдвигом начала координат в точку А, что и сделано на рис. 17.5, а и бсоответственно.Аналогичные кривые наносятся и выше оси x, но только со сдвигом начала координат вточку В (рис.
17.5), так как согласно (17.41) при y > 0 имеем уравнениеЭто уравнение совпадает с уравнением (16.23), но со сдвигом на величину х=В обоих случаях (рис. 17.5, а и б) система устойчива, причем в первом: случае переходныйпроцесс состоит из конечного числа затухающих колебаний управляемого объекта, а вовтором случае имеем апериодическое движение. Положение равновесия объектаопределяется неоднозначно, объект может остановиться в любой точке особого отрезкаАВ (рис. 17.5), как это было уже ранее при наличии зоны нечувствительности (см.
пример1). Особый отрезок АВ определяется соотношением | Мвр | =с1iя<с, где с — абсолютноезначение момента сухого трения при движении управляемого объекта.Заметим, что произведенное здесь упрощение уравнений системы хотя и позволилорешить их точно, но это решение, дающее в результате устойчивость системы при любыхчисловых значениях параметров системы, неполно отражает действительную картинуявлений в данной нелинейной системе.Метод точечного преобразования.
Как видно было из примеров, фазовая траекторияобычно складывается из отдельных кусков, представляющих решение уравнений системыпо участкам.Пусть (рис. 17.6, а) граничными линиями между кусками фазовых траекторий являютсяось х, линия FG и линия LN.Возьмем начальное положение изображающей точки М0 где-нибудь на полуоси Ох. Одинэтап движения системы состоит в переходе изображающей точки на линию РО,ограничивающую этот этап, в некоторое положение М1 (рис, 17.6, а). Следующий этаппереводит изображающую точку в положение М2 на полуоси ОН, затем в положение М3на кривой LМ и, наконец, в положение М4 на исходной полуоси Ох.Каждому положению М0 (х0, 0) на полуоси Ох соответствует определенное положениеточки М1 (х1,y1) на кривой FG.
Это называется точечным преобразованием полупрямой Охв кривую FG. Для краткости ему присваивают название, например: преобразование S+.Дальше (рис. 17.6, а) идет точечное преобразование кривой FG в полупрямую ОН,названное Е+; затем — точечное преобразование S- полупрямой ОН в кривую LN ипреобразование Е- кривой LN в исходную полуось Ох.Все это в целом (или, как говорят, преобразование S+Е+S-Е-) называется точечнымпреобразованием полупрямой Ох самой в себя. Это преобразование в данном случаезаписывается в виде определенной зависимости:где через x4 и х0 обозначены абсциссы точек M4 и М0 (рис. 17.6, а).
Если при любом х0оказывается x4 < х0, то в системе будет затухающий процесс, а если x4 > х0 —расходящийся процесс. Если же возможно равенство ,х4=х0, то на фазовой плоскостиполучится предельный цикл, который, как известно, может изображать либо устойчивыйавтоколебательный процесс, либо границу устойчивости системы в малом, либо можетсоответствовать особому случаю бифуркации (см. ниже).В тех случаях, когда общая картина фазовых траекторий разделяется на двесимметричные части, достаточно исследовать только половину всего точечногопреобразования.В рассматриваемом случае верхняя полуплоскость симметрична нижней относительноначала координат.
Поэтому достаточно рассмотреть только первую половинупреобразования (S+Е+), т. е. точечное преобразование Ох в полупрямую ОН, и выразитьего в виде зависимости(17.43)причем условие наличия предельного цикла на фазовой плоскости будет |x2| = х0 при х2<0.Пусть, например, зависимость (17.43) имеет вид кривой, показанной на рис. 17.6, б.Проведем на этом графике еще прямую из начала координат под углом 45° ккоординатным осям. Если она пересечет кривую, то в точке пересечения получим | x2 I=хоЧтобы определить, какому типу предельного цикла это соответствует, надо взять на осиабсцисс начальную точку х0 сначала слева, а затем справа от точки пересечения ипроследить ход точечного преобразования, как показано стрелками на рис.
17.6, б. Вданном случае процесс сходится с обеих сторон к точке пересечения. Следовательно,здесь будет устойчивый предельный цикл, соответствующий автоколебательномупроцессу в системе. При этом абсцисса точки пересечения (рис.
17.6, б) дает амплитудуавтоколебаний.Можно поступить и иначе. Допустим, преобразование S+ от точки М0 к точке M1выполняется достаточно просто, но оказывается, что по полученной определенной точкеМ1 находить соответствующую точку М2 труднее, чем по заданному положению М2определять М1. Тогда будем подходить к кривой FG с двух сторон, задавая одновременноточку М0 (x0) на полуоси Ох и точку М'0 ( - х0) на полуоси ОН и находя соответствующиеточки М1 и М’1 (рис.
17. 6, е). В результате получим точечные преобразованияполупрямых Ох и ОН в кривую FG, выраженные некоторыми зависимостями:Изобразив это в виде двух кривых (рис. 17.6, г) анализируем их тем же способом, как икривую с прямой на рис. 17.6, б.Такие графики (17.6, 6 и г) называют диаграммами точечного преобразования. Онисоответствуют в данном случае устойчивому предельному циклу, т. е. наличиюустановившегося автоколебательного процесса в системе.
Другие возможные типыдиаграмму точечного преобразования показаны на рис. 17.7. При этом рис. 17.7, асоответствует неустойчивому предельному циклу; он ограничивает область начальныхусловий (ха, у0), при которых система оказывается устойчивой относительноустановившегося состояния с постоянным значением регулируемой величины (х = 0). Приначальных же условиях х0, у0, выходящих за контур этого предельного цикла, системанеустойчива (система устойчива в малом и неустойчива в большом). Рис. 17.7, всоответствует двум предельным циклам, из которых меньший неустойчив, а другой(больший) устойчив. Следовательно, при начальных условиях х0, y0, расположенныхвнутри первого предельного цикла, система устойчива, как и в предыдущем случае, а привсяких других начальных условиях она стремится к установившемуся автоколебательномупроцессу, который определяется вторым предельным циклом.Этот случай может выродиться в случай, изображенный на рис.
17.7, б, когда обапредельных цикла сливаются в один полу устойчивый. Подобные особые случаиназываются бифуркационными.Наконец, на рис. 17.7, г и д изображены случаи, когда на диаграмме точечногопреобразования кривая | х2 | = f(ха) не пересекается с прямой, проведенной под углом 45° косям. Это означает соответственно устойчивость (г) и неустойчивость (д) системы прилюбых начальных условиях (до которых справедливы исследуемые уравнения системы).Заметим, что изложенное выше является лишь качественным рассмотрением, так как внем отсутствует время t.
Остается неизвестным течение процессов во времени, период(частота) автоколебаний. Чтобы получить полное решение задачи, нужно к данномурассмотрению добавить еще решение дифференциальных уравнений на отдельныхучастках во времени (как в методе припасовывания, см. § 16.1). Поэтому в методеточечного преобразования вводится соответствующий временной параметр (здесь это нерассматривается).Для систем выше второго порядка вместо фазовой плоскости придется иметь дело сфазовым пространством и с точечным преобразованием не линий, а поверхностей. Тампоявляются новые особенности процессов. Однако ввиду чрезвычайной сложности такихпостроений рассматривать их не будем.Метод изоклин.
Выше были рассмотрены такие примеры нелинейных систем второгопорядка, для которых фазовые траектории легко находятся интегрированием уравненийпо участкам. В тех случаях, когда интегрирование затруднено, ход фазовых траекторий,хотя бы качественно, можно проследить с помощью так называемого метода изоклин (безинтегрирования уравнений). Количественно этот способ имеет сравнительно низкуюточность. Применение его; пока ограничено системами второго порядка.Изоклиной называется такая линия, во всех точках пересечения которой с фазовымитраекториями последние наклонены под одним и тем же определенным углом к осиабсцисс х.
Так, если известно дифференциальное уравнение фазовых траекторий(17.44)то для получения изоклины нужно положитьУравнение изоклины, следовательно, будет(17.45)где с обозначает определенный тангенс угла наклона фазовых траекторий. Каждомузаданному значению с соответствует своя изоклина. Например, часто встречаетсянелинейное уравнениекоторое можно записать в видетогда дифференциальное уравнение фазовых траекторий будет выглядеть так:а уравнение изоклинЗадавая различные значения с (при заданном К), для каждого из них строим по этомууравнению кривую на фазовой плоскости — изоклину (сплошные кривые на рис. 17.8).Затем на каждой кривой наносим стрелочки под углами а = arctgс к оси абсцисс (на рис.17.8 указаны значения с для каждой кривой).
Из этих стрелочек и составляются искомыефазовые траектории; некоторые из них изображены на рис. 17.8 пунктиром. В данномслучае получается устойчивый предельный цикл, что соответствует автоколебаниям всистеме.§ 17.2. Теоремы прямого метода Ляпунова и их применениеПредварительно заметим, что при изложении прямого метода Ляпунова,, именуемоготакже второй методой Ляпунова, будем пользоваться дифференциальными уравнениямиавтоматической системы в форме уравнений первого порядка, полагая, что они записаныдля переходного процесса в отклонениях всех переменных от их значений вустановившемся процессе при новых постоянных значениях возмущающего f = f° изадающего g = g° воздействий. Следовательно, эти уравнения для нелинейной системы nго порядка будут:(17.46)где функции Х1, Х2, . .
., Хn произвольны и содержат любого вида нелинейности, но всегдаудовлетворяют условию(17.47)так как в установившемся состоянии все отклонения переменных и их производныеравны, очевидно, нулю по самому определению понятия этих отклонений.Нам понадобятся в дальнейшем еще следующие сведения.Понятие о знакоопределенных знакопостоянных и знакопеременных функциях.Пусть имеется функция нескольких переменныхПредставим себе n-мерное фазовое пространство (см. § 16.1), в котором xI, х2, . . ., хnявляются прямоугольными координатами (это будут, в частности, фазовая плоскость приn = 2 и обычное трехмерное пространство при n = 3). Тогда в каждой точке указанногопространства функция V будет иметь некоторое определенное значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
