Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В результате система регулирования более быстрореагирует на появление задающих и возмущающих воздействий, что снижает ошибкурегулирования.Структурная схема введения производной по ошибке изображена на рис. 9.8. Передаточнаяфункция части прямого канала вместе с включенным дифференцирующим элементом можетбыть представлена приближенно (в предположении, что дифференцирующий элемент являетсяидеальным) в виде(9.21), где Tд — постоянная времени дифференцирующей цепи.В качестве дифференцирующих элементов могут, например, применяться устройства,изображенные на рис.
4.23 и 4.24.Рассмотрим в качестве примера ту же следящую систему (рис. 6.4). При введениипроизводной от ошибки при помощи тахогеиераторов, установленных на командной иисполнительной осях, электромеханическая схемабудет иметь вид, изображенный на рис. 9.9. Здесь приняты следующие обозначения: СKBT синусно-косинусные вращающиеся трансформаторы, Т Г — тахогенераторы, Д — двигатель, Р— редуктор.Передаточная функция разомкнутой системы может быть получена умножением(9.1) на передаточную функцию (9.21). В результате получим(9.22)где постоянная времени Тд представляет собой отношение передаточного коэффициентатахогенератора к передаточному коэффициенту чувствительного элемента (СКВТ), т. е.Для передаточной функции разомкнутой системы (9.22) находим передаточную функциюпо ошибке:(9.23)Раскладывая ее в ряд, получаем соотношения для коэффициентов ошибок:(9.24)Сравнивая последние выражения с (9.2), можно заметить, что коэффициенты са и с3 (атакже следующие коэффициенты) уменьшаются при введении регулирования по первойпроизводной от ошибки.
При соответствующем выборе величины постоянной времени Тд можнодобиться условий с2 = 0 или с3 = 0. При с2 = 0 система не будет иметь установившейся ошибки,пропорциональной ускорению.Аналогичным образом, применяя два включенных последовательно дифференцирующихэлемента, можно получить равенство нулю одновременно двух коэффициентов, например с2 = 0и с3 = 0. В этом случае можно показать, что в системе, наряду с регулированием по первойпроизводной от ошибки, будет использоваться регулирование по второй производной.
Этовытекает из того, что передаточная функция двух дифференцирующих элементов, включенныхдруг за другом в соответствии с рис. 9.8, будет равна произведению двух передаточных функцийтипа (9.21):(9.25)гдепредставляет собой отношение коэффициентов передачи по первойпроизводной и по ошибке, а— отношение коэффициентов передачи по второйпроизводной и по ошибке.Как видно из рассмотренного, в отличие от случая введения изодромного устройства (см.рис.
9.4), когда обращается в нуль первый, ранее отличный от нуля коэффициент ошибки,введение дифференцирующего элемента (рис. 9.8) не влияет на этот коэффициент ошибки, нозато уменьшает последующие коэффициенты. В связи с этим наиболее эффективное снижениеошибки системы регулирования может быть достигнуто при одновременном использованииизодромных устройств и дифференцирующих элементов.Так как дифференцирование эквивалентно дополнительному усилению верхних частот, тоиспользование более чем двух дифференцирующих элементов оказывается затруднительнымвследствие возрастания влияния высокочастотных помех.
Число же изодромных устройствограничивается только получающимся усложнением системы регулирования. Однако и онообычно не превышает трех.§ 9.2. Теория инвариантности и комбинированное управлениеОдним из способов, позволяющих получить высокую точность в системах автоматическогорегулирования, является использование методов так называемой теории инвариантности [74,129]. Система автоматического регулирования является инвариантной по отношению квозмущающему воздействию, если после завершения переходного процесса, определяемогоначальными условиями, регулируемая величина и ошибка системы не зависят от этоговоздействия. Система автоматического регулирования является инвариантной по отношению кзадающему воздействию, если после завершения переходного процесса, определяемогоначальными условиями, ошибка системы не зависит от этого воздействия.Оба этих понятия имеют общую математическую трактовку.
Рассмотрим эту трактовку дляслучая, когда на систему действует одно входное воздействие — задающее g (t) иливозмущающее f (t). Пусть для ошибки системы регулирования имеет место дифференциальноеуравнение(9.26)где ψ(t) — задающее или возмущающее воздействие, а.Решение этого уравнения имеет две составляющие — переходную хп(t) и вынужденнуюхв(t). Переходная составляющая определяется общим решением уравнения (9.26) без правойчасти, а вынужденная — частным решением уравнения (9.26) с правой частью.Изображение ошибки х (t) при нулевых начальных условиях можно представить вследующем виде:(9.27)гдеЗдесь введено также изображение функции времени ψ(t), представляющее собой дробнорациональную функцию комплексной величины p = c+jω:(9.28)В соответствии с теоремой разложения (см.
§ 7.4) оригинал (9.27) в случаеотсутствия кратных корней может быть представлен в виде(9.29)где рk — полюсы передаточной функции, т. е. корни уравнения D (р) = 0, а pi — полюсывходного воздействия, т.е. корни уравнения B (р) = 0. Вынужденная составляющая xв(t) будеттождественно равна нулю в следующих случаях.. Этот случай является тривиальным, так как соответствует1. Еслиотсутствию входного воздействия, и он не представляет интереса.2.
Если Q(р) = 0, то также. Этот случай соответствует абсолютнойинвариантности системы по отношению к входному воздействию ψ(t), которое может бытьлюбой функцией времени, т. е. меняться по произвольному закону.В следящих системах при рассмотрении задающего воздействия условие Q(р) = 0 означает,что равна нулю передаточная функция по ошибке: Фx(р) = 0. В иной записи это означаетравенство единице передаточной функции замкнутой системы: Ф(р)=1-Фх (р) = 1. Это условиеприводит к тому, что следящая система должна иметь бесконечную полосу пропускания, так какчастотная передаточная функция замкнутой системы Ф (jω) = 1 при всех частотах 0 < ω < ∞.
Вреальных системах реализовать бесконечную полосу пропускания невозможно, поэтомуреализация абсолютной инвариантности по задающему воздействию сталкивается спринципиальными трудностями.Заметим, что в случае, когда следящая система должна вопроизводить задающеевоздействие в некотором масштабе k, условие абсолютной инвариантности запишется в виде Ф(р) = k.
Однако это не меняет существа дела.При рассмотрении возмущающего воздействия условие Q(р) = О означает равенство нулюпередаточной функции по возмущающему воздействию: ФF (Р) = 0. Здесь в принципе возможнополучение абсолютной инвариантности по данному возмущению, однако в большинстве случаевприходится иметь дело со значительными техническими трудностями.3. Равенство нулю вынужденной составляющей будет наблюдаться для таких входныхфункций, изображения которых имеют все полюсы, т. е.
все корни уравнения В (р) = О,совпадающие с нулями передаточной функции, т. е. с корнями уравнения Q(р) = 0. В этом случаепосле разложения на множители полиномов B (р) и Q (р) можно сократить одинаковыесомножители вида (р—р,) в числителе и знаменателе изображения (9.27). В результате второеслагаемое в выражении (9.29) обращается в нуль и хв (t) = 0.Этот случай соответствует частичной инвариантности. Система будет инвариантна квходным воздействиям определенного вида, например к воздействиям, которые могут бытьпредставлены в виде степенной функции времени с положительными и ограниченнымистепенями, в виде суммы экспонент с заданными постоянными времени и т.
п.Вводится также понятие инвариантности системы по отношению к какому-либо входномувоздействию с точностью до ε. Здесь имеется в виду не тождественное равенство нулювынужденной составляющей ошибки хв (t), а приближенное равенство, мерой выполнениякоторого является некоторая величина ε. Для оценки выполнения инвариантности до εсуществуют различные критерии, сливающиеся практически с критериями точности системрегулирования, рассмотренными в главе 8.Основным методом, используемым при построении инвариантных систем, являетсяприменение так называемого комбинированного управления.Комбинированное управление. Под комбинированным управлением или регулированиемпонимается такой метод построения замкнутых автоматических систем, когда, наряду срегулированием по отклонению или ошибке, используется регулирование по задающемуили возмущающему воздействию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
