Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 44
Текст из файла (страница 44)
е. сумма абсолютных величин всех площадей по кривой переходного процесса. Но оказалось,что вычисление ее по коэффициентам уравнения затруднительно.Квадратичная интегральная оценка. В свете вышесказанного целесообразно перейти кквадратичной интегральной оценке, называемой иногда «квадратичной площадью»регулирования:(8.56)которая не зависит от знаков отклонении, а значит, и от формы переходного процесса(монотонной или колебательной).Величина / (8.56) будет тем меньше, чем меньше сумма заштрихованных нарис.
8.20 площадей (взятых для квадратов ординат), т. е. чем лучше переходный процессприближается к идеальному скачку регулируемой величины вслед за скачком задающего иливозмущающего воздействия. Ниже будет показано, что такая оценка не всегда является лучшей,но пока остановимся на ней.Заметим, что оценку (8.56) называют также квадратичной динамической ошибкойрегулирования. Ее можно записать в безразмерном виде:(8.57)где х = х (t) обозначает отклонение регулируемой величины в переходном процессе от еенового установившегося значения: х (t) = у (t) — у (∞); C — некоторая величина, имеющаяразмерность регулируемой величины, например статическое отклонение у (оо); Ω0 —среднегеометрическое значение корня характеристического уравнения (8.26).Рассмотрим один из возможных способов вычисления квадратичной интегральной оценки(8.56) при скачкообразном внешнем воздействии.В общем случае дифференциальное уравнение системы автоматического регулирования (всимволической операторной записи) согласно (5.5) имеет вид(8.58)где у (t) — регулируемая величина или ее отклонение, g(t) и f(t) — задающее ивозмущающее воздействия.Степени многочленов R (р) и N (р) обычно ниже, чем D (р); в некоторых случаях они могутиметь ту же степень, что и полином D (р).
Пусть переходный процесс вызывается единичнымскачком 1 (t) либо функции f при g = const, либо функции g при f = const. Положим, например,что рассматриваем скачок задающего воздействия g (t) = 1 (t). Изображение Лапласа такогоскачка будет. Перейдя в формуле (8.58) к изображениям, получаем(8.59)Изображение регулируемой величины у (t) представляет собой дробно-рациональнуюфункцию:(8.60)Отклонение х регулируемой величины от нового установившегося состояния впереходном процессе, входящее в формулу (8.56), будетгде у (t) есть решение уравнения (8.59), а также оригинал изображения (8.60), Дляизложенных условий при m < n ниже без вывода приводится формула [121], по которойможет быть вычислена квадратичная интегральная оценка:(8.61)где А есть следующий определитель n-го порядка (равный старшему определителюГурвица, но записанный в несколько иной форме):(8.62)На границе устойчивости ∆ = 0 и I→∞.Через ∆k (k = m, m-1, ..
., 2, 1, 0) в формуле (8.61) обозначены определители, получающиесяпутем замены в определителе (8.62) (m-k+1)-го столбца столбцом(8,63)Коэффициенты Вm, Вm1, ... вычисляются по формулам:(8.64)В определителе (8.62) заменяются нулями все буквы с индексами меньше нуля и больше n, ав формулах (8.64) — с индексами меньше нуля и больше m.В том случае, когда m = n, формула (8.61) заменяется следующей:(8.65)где(8.66)При поступлении на вход системы единичного импульса δ (t) = 1' (t), изображение которогопо Лапласу равно 1, изображение регулируемой величины можно также представить в видедробно-рациональной функции (8.60).
Разница будет заключаться только в том, что степеньчислителя m возрастает на единицу, а последний коэффициент числителя bm = 0. Этообусловлено тем, что получение реакции системы на единичный импульс (весовой функции)эквивалентно дифференцированию переходной функции, получающейся при действииединичного скачка. В области изображений это эквивалентно умножению на комплекснуювеличину р.В связи с этим квадратичную интегральную оценку при действии единичного импульсаможно рассматривать в виде выражения(8.67)где ω (t) — весовая функция системы по задающему или возмущающему воздействию, х (t)— отклонение регулируемой величины от нового установившегося состояния в переходномпроцессе при действии единичной ступеньки задающего или возмущающего воздействия.Таким образом, техника вычисления оценки /' полностью совпадает с вычислением оценки Iпо формуле (8.61) или (8.65). Совпадает при этом и значение определителя А (8.62). Отличаться ввычислениях будут определители ∆0, .
. ., ∆m и коэффициенты В0, . . ., Вm или В'0, . . ., В'n, чтообусловлено повышением степени т в выражении (8.60) на единицу при вычислении /' посравнению со случаем вычисления /.Интегральная оценка /' также может использоваться в безразмерном виде аналогичноформуле (8.57):(8.68)Интегральные оценки / и /' (или выражения квадратичных динамических ошибок)применяются для выбора структуры и параметров систем автоматического регулирования. Приэтом наилучшими параметрами считаются такие, при которых величина / или /' имеетминимальное значение.Вычисление квадратичных интегральных оценок I и I’ можно также производить наосновании так называемой формулы Релея, которая будет доказана ниже, в главе 11.
Здесь онабудет приведена без доказательства.Если X (jω) есть изображение Фурье функции времени х (t), то существует зависимостьт. е. интегрирование квадрата функции по времени в пределах от нуля до бесконечности можнозаменить интегрированием квадрата модуля изображения Фурье этой функции по всем частотам.При нахождении интегральной оценки /, соответствующей реакции системы на входноезадающее воздействие типа 1 (t), изображение Фурье исследуемого отклонения х (t)=y(t)-y (∞)будетгде Ф (jω) — частотная передаточная функция замкнутой системы. Тогда(8.69)В астатических системах и статических системах с неединичной обратной связью или смасштабированием (см.
§ 9.3) установившееся значение у (∞) = 1 и Ф (0) = 1. Тогда формула(8.69) будет иметь вид(8.70)- частотная передаточная функция замкнутой системы погдеошибке.Аналогичным образом для входного задающего воздействия типа единичного импульса δ(t),изображение которого равно 1, изображение Фурье исследуемого отклонения х (t) = у (t) равночастотной передаточной функции замкнутой системы:. В результате получаем(8.71)Подобные выражения могут быть получены и для входного возмущающеговоздействия, если вместо частотной передаточной функции Ф(jω) использовать передаточнуюфункцию по возмущающему воздействию Ф(jω).
Недостатком интегральных оценок является то,что здесь ничем не ограничивается форма кривой переходного процесса. Оказывается, например,что три совершенно различных по форме процесса, изображенных на рис. 8.21, имеют одно ито же, значение квадратичной интегральной оценки (8.56).Часто оказывается, что выбранные по минимуму этой оценки параметры системысоответствуют слишком сильно колебательному процессу, ибо отмечавшееся уже при этомстремление приблизить процесс к идеальному скачку вызывает большую скорость процесса приподходе к установившемуся значению х = 0.Это получается вследствие того, что оценка (8.56) учитывает только величину отклонения ибыстроту затухания и никак не учитывает близость системы к колебательной границеустойчивости.Если, например, подать на вход системы единичный скачок, то ошибка в переходномпроцессе определится заштрихованной частью на рис.
8.22, а. Очевидно, что величинаинтегральной оценки (8.56) будет тем меньше, чем ближе будет кривая переходного процесса кломаной линии АОВС. Но приближение процесса к этой линии требует увеличения угла наклонакривой в начальной стадии процесса (приближение части кривой ОD к отрезку ОB). Увеличениеже начальной скорости может вызвать значительное перерегулирование и, следовательно, малыйзапас устойчивости.Поэтому применяется еще другой вид интегральной оценки, в которой ограничениенакладывается не только на величину отклонения х, но также и на скорость отклонения х. Этаулучшенная квадратичная интегральная оценка имеет вид(8.72)где Т — некоторая постоянная времени.Выясним, какой вид переходного процесса будет получаться при выборе параметровсистемы регулирования по минимуму улучшенной интегральной оценки (8.72).
Для этогопроделаем следующие , преобразования:где х0 — начальное значение отклонения в переходном процессе.Наименьшее значение последнего выражения будет при выполнении условия.Это есть дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого имеет вид(8.73)где х0 — установившееся отклонение регулируемой величины.Этот процесс изображен на рис. 8.22, б пунктиром.
Следовательно, выбирая параметрысистемы по минимуму улучшенной интегральной оценки (8.72), можно приблизить переходныйпроцесс к заданной экспоненте (8.73) с постоянной времени Т, которая носит в этом случаеназвание экстремали. Из этих соображений можно заранее задаться определенной величиной Т.Выбор параметров системы по улучшенной квадратичной интегральной оценке приводит кменее колебательным процессам по сравнению с использованием обычной квадратичнойинтегральной оценки (8.56).Методика вычисления интеграла (8.72) сводится к тому, что правая его часть разбивается надва слагаемых:При входном воздействии типа единичной ступенчатой функции первое слагаемоепоследнего выражения соответствует интегральной оценке I, а второе — T2I’. Поэтому врезультате получаем для этого случая(8.74)Улучшенная интегральная оценка Ik может также применяться в безразмерном видеаналогично (8.57) и (8.68):(8.75)где Ω0 — среднегеометрический корень характеристического уравнения, а С — некотораявеличина, имеющая размерность у (t), например статическое отклонение у (∞).Недостатком приведенных расчетных формул для вычисления как I, так и Ik является ихвыражение через определители, которые трудно бывает раскрывать в букетном виде при высокойстепени характеристического уравнения.
В этих случаях можно использовать имеющиесяспециальные приемы числовых расчетов. Сам определитель ∆ (8.62), как старший определительГурвица, согласно § 6.2 имеет видНесколько сложнее вычисляется только определитель ∆m, когда первый столбец ∆ (8.62) содним элементом an заменяется столбцом (8.63) с двумя элементами an-1 и an. Все остальныеопределители оказываются проще.Удобство интегральных оценок состоит в том, что они дают единый числовой критерийкачества. Недостатком является то, что одному и тому же значению интегральной оценки могутотвечать разные формы переходного процесса, что создает недостаточную определенностьрешения задачи.В принципе возможно использование более сложных выражений, чем (8.72), в которыекроме первой производной от отклонения будут входить вторая, третья и т. д. производные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
