Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Максимальное времянарастания tmax(н) ограничивается требуемым быстродействием. Минимальное время нарастанияtmin(н) ограничивается допустимыми в системе ускорениями и колебательными режимами.Уточненная диаграмма качества переходного процесса изображена на рис. 8.5.§ 8.5. Приближённая оценка вида переходного процесса по вещественной частотнойхарактеристике.Построение кривой переходного процесса является в большинстве случаев весьматрудоемкой операцией.
Поэтому целесообразно использовать методы, позволяющие определитьвид переходной характеристики без построения всей кривой процесса. Это можно сделать повещественной частотной характеристике Р (ω) замкнутой системы, которая используется дляпостроения переходной функции (см. § 7.5). При этом предполагается, что лереходный процессу(t) вызван скачком .задающего воздействия g(t). Возможна оценка вида переходного процессапри приложении скачка возмущения f(t). В этом случае необходимо использовать вещественнуючасть частотной передаточной функции системы по возмущающему воздействиюИспользование оценки вида переходного процесса по вещественной частотнойхарактеристике наиболее удобно применять в том случае, когда для исследованияавтоматической системы используются частотные методы.Пусть вещественная частотная характеристика замкнутой системы имеет вид,изображенный на рис.
8.6.Интервал частот, в котором, называется интервалом положительности. Интервал частотназывается интервалом существенных частот, если приω = ωc и далее при ω > ωc величина |Р (ω) | становится и остается меньше некоторой заданнойдостаточно малой положительной величины δ. Влиянием остальной части вещественнойчастотной характеристики (при) на качество переходного процесса можнопренебречь. Если же при ω > ωп оказывается, что |Р(ω)|<0,2Р(ω), то при оценке качествапереходного процесса в первом приближении можно принимать во внимание только интервалположительности.Заметим, что отбрасываемый «хвост» вещественной частотной характеристики (ω > ωc илиω > ωп) влияет главным образом на начальную часть переходного процесса, которая,следовательно, будет оцениваться более грубо.
Начало же вещественной частотнойхарактеристики определяет главным образом концевую часть переходного процесса.На основании анализа интеграла (7.53) были получены следующие оценки качествапереходного процесса.1. Статическое отклонение у (∞) регулируемой величины, получающееся в результатеединичного скачка внешнего воздействия, равно начальному значению вещественной частотнойхарактеристики Р (0).
Если речь идет о скачке задающего воздействия, то Р (0) должно равнятьсялибо 1, либо некоторому k0, если система должна воспроизводить задающее воздействие вопределенном масштабе k0. Если же вводится скачок возмущающего воздействия f, то значениеРF (0) должно быть как можно меньше, причем в астатической системе возможно РF(0) = 0.2. Чтобы величина перерегулирования ymax — y (∞) (кривая 1 на рис. 8.7, а) не превышала18% от статического отклонения, достаточно иметь положительную невозрастающуюнепрерывную характеристику Р (ω) (кривая 1 на рис. 8.7, б).3. Для монотонности переходного процесса у (t) (кривая 2 на рис. 8.7, а) достаточно, чтобыdР/dω представляла собой отрицательную, убывающую по модулю непрерывную функцию от со(кривая 2 на рис, 8.7, б), причем P(∞)=04. Простейшим признаком немонотонности переходного процесса является наличиезначений Р (∞) >Р (0) (кривая 3 на рис.
8.7, б). Переходный процесс тоже будет немонотонным,когда кривая Р (∞)располагается при каких-нибудь со вышепричемступенчатойкривой С (∞) (рис. 8.7, в),где черезобозначены целочисленные значения, взятые с избытком; например,если, то берется.5. В случае, если вещественная частотная характеристика Р (∞) имеет очертание видакривой 3 (рис. 8.7, б), которую можно представить как разность двух положительныхневозрастающих непрерывных функций,то величина перерегулирования ymax — y(∞) (рис. 8.7, а) будет меньше, чем 1,18 Рmax-Р (0).6. Для монотонных процессов y (t) время затухания t1 до значенияy = 5% от статического отклонения y (∞) будет больше, чем.
В общем жеслучае. Вообще при прочих равных условиях переходный процесстем быстрее затухает, чем больше ∞п, т. е. чем больше растянута область положительностивещественной; частотной характеристики Р (ω) вдоль оси ω.7. Если заданную вещественную частотную характеристику Р (ω) можно приближеннозаменить трапецией (рис.
8.8, а), то в зависимости от отношения длин оснований ωа и ωптрапеции величина перерегулирования в процентах и время затухания переходного процесса вотносительном виде ωпt1 могут быть приближённо оценены графиками, показанными на рис. 8.8,б и 8.8, в, причем величина t1 заключается в интервале —8 .
Если заданную характеристику Р(ω) можно приближенно заменить ломаной,изображенной на рис. 8.9, а, причемто зависимость максимально возможного перерегулирования (в процентах)от величины отношенияопределяется кривой на рис. 8.9, б.При этом заданной верхней границе допустимого значения времени затухания переходногопроцесса t1 соответствует нижняя допустимая граница величины интервала положительностиωпmin определяемая кривой на рис.
8.9, в.9. Склонность системы к колебаниям тем больше, чем выше пик у вещественнойхарактеристики. В частности, этот пик уходит в бесконечность, если система находится награнице колебательной устойчивости, что соответствует наличию пары чисто мнимых корней(кривая 1 на рис. 8.10). При нахождении системы на границе устойчивости, соответствующейналичию одного нулевого корня, в бесконечность уходит начальное значение ординаты Р (0)вещественной частотной характеристики (кривая 2 на рис. 8.10).На основании вышеуказанных простых признаков можно грубо оценивать качествопереходного процесса в замкнутой автоматической системе по виду ее вещественныхчастотных характеристик Р (ω) и РF (ω).Для иллюстрации, следуя В.
В. Солодовникову, приведем ряд кривых переходного процессау1(t), у2(t), у3(t), у4(t) (рис. 8.11, б), которые соответствуют вещественным частотнымхарактеристикам замкнутой системы, изображенным на рис. 8.11,а. Наилучший переходный процесс у3 (t) соответствует характеристике Р3 (ω), а наихудший у1(t)— характеристике Р4 (ω), обладающей наибольшими пиками.§ 8.6. Корневые методыКак было сказано выше, вид корней характеристического уравнения определяет характерпереходных процессов в системе автоматического регулирования. Поэтому можносформулировать требования по запасу устойчивости и быстродействию системы, нерассматривая самих переходных процессов, а накладывая определенные условия на корнихарактеристического уравнения.Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид, (8.25)где р = с + j ω — комплексное число.Используя понятие среднегеометрического корня(8.26)где р1, р2, .
. ., рn — корни характеристического уравнения, в формуле (8.25) можно перейти кновой комплексной величине q путем подстановки. В результате получим уравнение(8.27)в котором безразмерные коэффициентыопределяются выражением(8.28)а его корни равныи т. д.Исходное характеристическое уравнение (8.25) при возвращении к прежней комплекснойвеличине получает вид(8.29)Среднегеометрический корень Ω0 может служить мерой быстроты протекания переходныхпроцессов. Если в уравнении (8.29) увеличить Ω0, например, в 10 раз, то на основании теоремыподобия (табл. 7.2) переходный процесс, оставаясь подобным сам себе, будет протекать в 10 разбыстрее.В связи с этим можно рассматривать (8.27) как некоторое нормированноехарактеристическое уравнение, которому соответствует переходный процесс, построенный длябезразмерного времени t0 = Ω0t.
Если качество переходного процесса является приемлемым сточки зрения допустимого запаса устойчивости, определяемого, например, перерегулированием(рис. 8.3), то требуемая быстрота протекания переходного процесса может быть обеспеченасоответствующим выбором величины Ω0.Для увеличения величины Ω0, как следует из (8.26), необходимо увеличивать свободныйчлен характеристического уравнения аn.
Напомним, что в статических системах аn = 1 + К, а вастатических аn = К, где К — общий коэффициент усиления по разомкнутой цепи регулирования.Следовательно, повышение быстродействия может осуществляться за счет увеличения общегокоэффициента усиления.Для оценки быстродействия системы может использоваться понятие степени устойчивости.(Термин «степень устойчивости» не является удачным, и его, вообще говоря, следовало заменитьтермином «степень быстродействия». Это объясняется тем, что «степень устойчивости» никак несвязана с удалением системы от границы устойчивости, определяемым по склонности системы кколебаниям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
