Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Поэтому режим движения с постояннойскоростью используется для оценки точности только систем с астатизмом первого порядка,главным образом следящих систем для которых такой режим является характерным.3. Движение с постоянным ускорением. В качестве третьего типового режима используетсярежим установившегося движения системы регулирования с постоянным ускорением ε=const;. Вэтом случае задающее воздействие меняется по закону.
Возмущающие воздействияпринимаются постоянными, как и во втором типовом режиме. Этот режим имеет смысл только вследящих системах и системах программного регулирования. Аналогично изложенному выше,установившееся значение ошибки в этом режиме может быть найдено из выражения(8.9)Второе слагаемое (8.9), как и ранее, дает статическую ошибку. Первое слагаемое (8.9) имеетсмысл только при астатизме второго порядка, когда передаточная функция разомкнутой системыможет быть представлена в видеТогда выражение (8.9) приводится к виду(8.10)Первое слагаемое (8.10) представляет собой Добавочную ошибку от постоянногоускорения. Как и в предыдущем случае, качество системы может быть оценено величинойдобротности по ускорению(8.11)Этот типовой режим используется только для систем регулирования с астатизмом второгопорядка, главным образом следящих систем.4.
Движение по гармоническому (синусоидальному) закону. Такой режим используетсявесьма часто, так как он позволяет наиболее полно оценить динамические свойства системырегулирования. Задающее воздействие принимается изменяющимся по законуВ зависимости от конкретного вида системы регулирования возмущающие воздействия врассматриваемом режиме могут оставаться постоянными или меняться.Случай постоянства возмущающих воздействий приводит, как и в рассмотренных вышевтором и третьем типовых режимах, к появлению некоторой постоянной ошибки xст.Более вероятным является случай, когда возмущающие воздействия при движении системыв этом режиме меняются во времени.
Это объясняется тем, что при движении по гармоническомузакону непрерывно будет меняться направление движения системы, а следовательно,одновременно будет меняться направление действующих в системе сил сухого трения. Этотслучай является довольно сложным, и он может рассматриваться только в приложении кконкретным системам регулирования. Рассмотрим ошибку, определяемую только первымслагаемым выражения (5.16):(8.13)В линеаризованной системе при гармоническом задающем воздействии (8.12) ошибка вустановившемся режиме будет также меняться по гармоническому закону с частотой ωk:(8.14)Точность системы в этом режиме может быть оценена по амплитуде ошибки, которая:может быть найдена из (8.13) на основании символического метода подстановкой(8.15)Так как предполагается, что амплитуда ошибки значительно меньше амплитуды входноговоздействия:то, следовательно, модуль знаменателя (8.15), значительно большеединицы.
Это позволяет с большой точностью выражение (8.15) заменить приближеннымгде A(ωk) — модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы при ω=ωk.Последняя формула позволяет легко вычислять амплитуду ошибки в установившемсярежиме. Для этого необходимо располагать либо аналитическим выражением для передаточнойфункции разомкнутой системы, либо иметь экспериментально снятую амплитудную илиамплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы.Формула (8.16) широко используется также при расчете системы методом логарифмическихамплитудных частотных характеристик (л.а.х.).
В этом случае модуль A(ωk) в децибелах, т. е.L(ωk) = 20lg A(ωk), равен ординате л.а.х. при частоте ω=ωk (рис. 8.2, а).Простота выражения (8.16) позволяет легко решить обратную задачу, т. е. сформулироватьтребования к л.а.х., которые необходимо выполнить, чтобы амплитуда ошибки в установившемсярежиме была не больше заданной. Для этого необходимо по заданному значению амплитудызадающего воздействия gmax и допустимой амплитуде ошибки xmax вычислить требуемое значениемодуля частотной передаточной функции разомкнутой системы в децибелах:(8.17)Это значение модуля необходимо отложить на логарифмической сетке яри частотеуправляющего воздействия ω=ωk. Полученная точка Аk (рис. 8.2, б) обычно называетсяконтрольной точкой для л.а.х. Для того чтобы амплитуда ошибки в системе не превосходиладопустимого значения xmax, л.а.х.
должна проходить не ниже контрольной точки Аk. Если л.а.х.пройдет через эту точку, то амплитуда ошибки будет как раз равна допустимому значению. Еслил.а.х. пройдет ниже точки Аk, то ошибка будет больше допустимого значения.§ 8.3. Коэффициенты ошибокРассматриваемый метод может применяться как для задающего g(t), так и длявозмущающего / (г) воздействий. Не снижая общности рассуждений, рассмотрим случай, когдаимеется только задающее воздействие.Если функция времени § (2) имеет произвольную форму, но достаточно плавную вдали отначальной точки процесса в том смысле, что через некоторое время существенное значениеимеет только конечное число m производныхто ошибку системы можно определить следующим образом.
Из формулы (5.20) можнонайти изображение ошибки(8.18)где Фх (р) — передаточная функция замкнутой системы по ошибке, G (р) — изображениезадающего воздействия.Разложим передаточную функцию по ошибке в выражении (8.18) в ряд ло возрастающимстепеням комплексной величины р:(8.19)сходящийся при малых значениях р, т. е.
при достаточно больших значениях времени t, чтосоответствует установившемуся процессу изменения регулируемой величины при заданнойформе управляющего воздействия. Переходя в выражении (8.19) к оригиналу, получаем формулудля установившейся ошибки(8.20)Величины c0, c1, c2 ... называются коэффициентами ошибок. Они могут определятьсясогласно общему правилу разложения функции в ряд Тейлора по формуламТак как передаточная функция по ошибке представляет собой дробно-рациональнуюфункцию, то коэффициенты ошибок можно более просто получить делением числителя назнаменатель и сравнением получающегося ряда с выражением (8.19).Коэффициент с0 может быть отличным от нуля только в статических системах и то только втех случаях, когда не принимаются меры по устранению первой составляющей статическойошибки посредством масштабирования или использования неединичных обратных связей (см.
§9.3).В системах с астатизмом первого порядка с0 = 0, а коэффициент с4 связан с добротностьюпо скорости соотношением(8.21)В системах с астатизмом второго порядкас0 = 0 и с1 = 0,а коэффициент с2 связан с добротностью по ускорению соотношением(8.22)При исследовании ошибки от возмущающего воздействия можно получить всекоэффициенты не равными нулю при астатизме любого порядка, так как астатизму позадающему воздействию может соответствовать наличие статической ошибки по возмущению.Если задающее воздействие g (t) имеет ограниченное число производных, то ряд (8.20)будет иметь ограниченное число членов.
Предположение, что коэффициенты ошибокпредставляют-собой постоянные числа, обусловливает применение этого метода длясравнительно медленно меняющихся входных воздействий g(t) или f(t), когда можно пренебречьвлиянием переходной составляющей процесса и рассматривать только вынужденное движениесистемы.Пример. Определим первые три коэффициента ошибки по задающему воздействию, еслипередаточная функция разомкнутой системы имеет видПередаточная функция по ошибкеДеля числитель на знаменатель, получаем рядСравнение этого ряда с (8.19) даетТак, например, если задающее воздействие в этой системе меняется по законуто установившаяся ошибка будет§ 8.4.
Определение запаса устойчивости и быстродействия по переходной характеристикеОценку запаса устойчивости и быстродействия можно произвести по виду кривойпереходного процесса в системе автоматического регулирования прж некотором типовомвходном воздействии, которым может быть как задающее, так и возмущающее воздействие. Вкачестве типового входного воздействия рассматривается обычно единичный скачок. В этомслучае кривая переходного процесса для регулируемой величины будет представлять собойпереходную характеристику системы (рис. 8.3). Она может строиться для регулируемойвеличины у (t) или для ошибки х (t).Склонность системы к колебаниям, а следовательно, и запас-устойчивости могут бытьохарактеризованы максимальным значением регулируемой величины г/тах или так называемымперерегулированиемгде у (∞) ≠ 0 представляет собой установившееся значениерегулируемой величины после завершения переходного процесса.Допустимое значение перерегулирования для той или иной системы автоматическогорегулирования может быть установлено на основании опыта эксплуатации подобных систем.
Вбольшинстве случаев считается, что запас устойчивости является достаточным, если величинаперерегулирования не превышает 10-30%. Однако в некоторых случаях требуется, чтобыпереходный процесс протекал вообще без перерегулирования, т. е. был монотонным; в рядедругих случаев может допускаться перерегулирование 50-70%.Быстродействие системы может определяться по длительности переходного процесса tп.Длительность переходного процесса определяется как время, протекающее от моментаприложения на вход единичного скачка до момента, после которого имеет место неравенство(8.24}где ∆ — заданная малая постоянная величина, представляющая собой обычно допустимуюошибку.
Величина у (∞) в частном случае может равняться нулю.Допустимое значение времени переходного процесса определяется на основании опытаэксплуатации систем регулирования. В следящих системах в качестве единичного скачкапринимается мгновенное изменение управляющего воздействия g(t) = 1(t). В этом случае подвеличиной ∆ обычно понимают некоторую долю входного воздействия, составляющую, какправило, от 1 до 5% величины скачка на входе.Иногда дополнительно к величине перерегулирования σ% (или к величине ymax) задаетсядопустимое число колебаний, которое может наблюдаться в течение времени переходногопроцесса.
Это число составляет обычно 1-2. В некоторых системах колебания могут вообще недопускаться, а иногда может допускаться до 3-4 колебаний.Графически требования к запасу устойчивости и быстродействию сводятся к тому, чтобыотклонение регулируемой величины не выходило при единичном входном воздействии изнекоторой области, изображенной На рис. 8.4.
Эта область называется областью допустимыхотклонений регулируемой величины в переходном процессе.В следящих системах удобно применять сформулированные требования качества к ошибкесистемы х (t) = g (t) — у (t). В этом случае можно рассматривать область допустимых значенийошибки и при более сложных входных воздействиях, например при мгновенном приложениина входе постоянной скорости.Дальнейшее развитие критериев качества, использующих переходную характеристику,приводит к введению дополнительных оценок качества (кроме введенных выше tп, ymax и σ%). Кним относятся следующие оценки.1.
Время запаздывания t3, равное отрезку времени, заключенному между моментомприложения входного скачкообразного сигнала и моментом времени, при котором осредненнаявыходная величина становится равной половине ее установившегося значения. Примененныйздесь термин «осредненная» означает, что в случаях, когда на передний фронт выходногосигнала накладываются высокочастотные колебания (это может иметь место в системахвысокого порядка), величина t3 определяется по сглаженной кривой, аппроксимирующейреальную переходную характеристику системы.2. Время нарастания tн, равное отрезку времени, заключенному между точкой пересеченияоси времени с касательной, проведенной к осредненщщ кривой переходной характеристики вточке t = t3, и координатой t точки пересечения указанной касательной с горизонтальной прямой,соответствующей установившемуся значению регулируемой величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
