Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Однако этот термин используется в литературе, и мы будем его придерживаться.)Под степенью устойчивости η понимается абсолютное значение вещественной частиближайшего к мнимой оси корня (рис. 8.12). Здесь могут быть два случая: когда ближайшийкорень является вещественным (рис. 8.12, а) и когда к оси мнимых ближе всего расположенапара комплексных корней (рис. 8.12, б).Корни характеристического уравнения, расположенные ближе всего к оси мнимых, т.
е.имеющие наименьшую по абсолютной величине вещественную часть, дают в переходномпроцессе (7.3) члены, которые затухают наиболее медленно. В большинстве случаев переходныйпроцесс можно считать закончившимся тогда, когда затухнет член, определяемый ближайшим кмнимой оси корнем. Если ближайшим к мнимой оси является вещественный корень, тосоставляющая в переходном процессе, определяемая этим корнем, будет иметь видПоложив в конце переходного процесса, где ∆ = 0,01-0,05, можно получитьприближенную зависимость между степенью устойчивости и временем переходного процесса:(8.30)Так, например, если принять ∆ = 0,05, то время переходного процесса составит, тоЕсли ближайшей к оси мнимых является пара комплексных корнейсоставляющая в переходном процессе, определяемая этими корнями,будет. Положив в этом случае, нельзя в общем видеопределить время переходного процесса, так как для этой цели потребовалось бы решитьтрансцендентное уравнение.
Однако можем найти верхнюю границу переходного процесса,положив в этом уравнении. Тогда получим выражение(8.31)Таким образом, и в этом случае величина степени устойчивости будет в какой-то мереопределять быстроту затухания переходного процесса.Более строго связь между видом переходного процесса и величиной степени "устойчивостиможет быть определена для случая, когда исходное дифференциальное уравнение системы имеетвид(8.32)Тогда можно показать [61], что при всех вещественных корнях или одной парекомплексных корней для переходной функции справедливо неравенство(8.33)где— функция, ограничивающая h(t) сверху (мажоранта);функция, ограничивающая h(t) снизу (миноранта).
Вспомогательная функцияопределяется из выражения—(8.34)Миноранта совпадает с переходной функцией, если характеристическое уравнение имееткорень р1 = -η кратности n, т. е. выглядит следующим образом:Очевидно,что в этом(8.35)случае n-кратный корень совпадает со среднегеометрическимкорнемИз неравенства (8.33) вытекает, что при заданном значении среднегеометрического корняΩ0=const и всех вещественных корнях наименьшее время переходного процесса будет при всехкратных корнях, т.
е. в случае (8.35).На рис. 8.13 приведены миноранты, совпадающие с переходными характеристиками дляслучая n-кратного корня, построенные в функции относительного временидляразличных значений порядка дифференциального уравнения n.Важным обстоятельством является то, что степень устойчивости можно найти безвычисления значений корней характеристического уравнения. Для этой цели вхарактеристическом уравнении (8.25) переходят к новой переменной z = p+η.
Подставляя в негоp = z-η, получаем так называемое смещенное уравнениеРаскрывая скобки и группируя подобные члены, получаем(8.37)Это уравнение соответствует смещению осей на плоскости корней (рис. 8.12) влево навеличину η. В результате один (рис. 8.12, а) или два (рис. 8.12, б) корня попадают на ось мнимых,что соответствует границе устойчивости. Для вычисления степени устойчивости: необходимоприменить к смещенному характеристическому уравнению (8.37) любой критерий устойчивостии определить, при каком значении η получается граница устойчивости. Напомним, чтоапериодической границе устойчивости соответствует равенство нулю свободного членахарактеристического уравнения:(8.38)а колебательной границе устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнегоопределителя Гурвица, прохождение кривой Михайлова через начало координат и прохождениеамплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы через точку (—1, j0).Обратимся теперь к оценке запаса устойчивости системы автоматического регулирования.Склонность системы к колебаниям будет наблюдаться, если в решении характеристическогоуравнения будут присутствовать комплексные корни вида.
Эта склонность можетхарактеризоваться отношением мнимой части корня (угловой частоты колебаний) квещественной (коэффициенту затухания), которое называется колебательностью:(8.39)Колебательность связана с другим корневым показателем запаса устойчивости — с такназываемым затуханием. Комплексные сопряженные корни дают в выражении для переходногопроцесса член видаНайдем затухание амплитуды синусоидального колебания за один период. При некоторомвремени t=t1 эта амплитуда равнаЧерез один периодЗатуханием за период называют величину(8.40)Эта величина обычно выражается в процентах. Подставляя значение амплитуды С2,получаем(8.41)или(8.42)Обычно в системах автоматического регулирования допускается затухание за один периодне менее чем 90-98%.
Так, например, если ξ% = 98%, то допустимая колебательность при этомсоставитCоответственно при ξ = 90% получаем.Задание определенной колебательности заставляет ограничивать область расположениякорней двумя лучами (рис. 8.14, а), которые составляют с осью вещественных уголКолебательность системы можно определить без нахождения корней характеристическогоуравнения подобно тому, как это было сделано выше по отношению к степени устойчивости.Идея метода заключается в том, что используется подстановка, которая соответствуетповороту координатных осей (рис. 8.14, б) против часовой стрелки на угол. При этом покрайней мере один корень попадает на ось мнимых и затем он отыскивается. Ввиду громоздкостиэтот метод почти не имеет практического значения.При' задании допустимых значений колебательности и степени устойчивости областьрасположения корней должна ограничиваться также вертикальной прямой, проходящейпараллельно оси мнимых на расстоянии η (рис.
8.14, б). Расположению корней в этой областисоответствует выдерживание требуемого запаса устойчивости, определяемого величинойколебательности р, или затуханием, и требуемой степени устойчивости η, характеризующейбыстродействие системы.Для определения параметров системы, при которых обеспечивается нахождениекорней характеристического уравнения в заданной области, можно воспользоваться Dразбиением. В этом случае в плоскости двух параметров системы может быть построена область,аналогично построению области устойчивости (см.
§6.4). Напомним, что при построенииобласти устойчивости комплексная величина р = jω изменялась от —∞ до +∞, что соответствуетдвижению по мнимой оси снизу вверх. В рассматриваемом случае комплексная величина рдолжна перемещаться по границе допустимого расположения корней edabc (рис. 8.14, б). В силусимметрии области достаточно рассмотреть участок abc.Методика построения допустимой области изменения двух параметров системы А и В,входящих линейно в характеристический полиномостается аналогичной, за тем исключением, что для участка аb делается подстановка p=-η+jω, азатем частота изменяется в пределах. Для участка bс делается подстановкаи частота изменяется в пределах.Использование корней характеристического уравнения для оценки качества регулированияявляется не совсем полным, так как вид переходного процесса определяется не только левой, нои правой частью дифференциального уравнения. Для того чтобы учесть это обстоятельство,рассмотрим, например, зависимость между регулируемой величиной и управляющимвоздействием, записанную посредством передаточной функции замкнутой системы (5.18):Передаточная функция замкнутой системы представляет собой дробно-рациональнуюфункцию(8.44)Раскладывая числитель и знаменатель (8.44) на множители, получим(8.45)Корни числителя р 1, .
. ., Р m называются нулями передаточной функции, так как в точкепередаточная функция обращается в нуль. Корни знаменателя p1, ..., pn являются корнямихарактеристического уравнения, и они называются полюсами передаточной функции. В полюсе,т. е. при p = pi, передаточная функция обращается в бесконечность.00Полюсы передаточной функции характеризуют левую часть дифференциального уравнения,а нули — правую.
В частном случае, когда передаточная функция (8.44) не имеет нулей, праваяи формула (8.45) сводится кчасть дифференциального уравнения имеет видвыражению(8-46)В этом случае вид переходного процесса определяется только расположением полюсов.Задание области расположения полюсов и нулей позволяет более полно оценить видпереходного процесса. Не останавливаясь на подробном анализе, приведем без доказательстваобщие рекомендации, которых желательно придерживаться при выборе расположения полюсов инулей передаточных функций [98].1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
