Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Точки пересечения этой характеристики с окружностями будут .определять точкиамплитудной характеристики с соответствующими значениями ординат, равными М. Дляопределения показателя колебательности можно не строить амплитудную характеристику, таккак достаточно знать одно максимальное значение ординаты Mmax, определяемое по наименьшейокружности М = const, которой коснется амплитудно-фазовая характеристика.Если при проектировании системы ставится условие, чтобы ее показатель колебательностибыл не больше некоторого заданного значения, например Мmax = 1,5, то для выполнения этогонеобходимо, чтобы амплитудно-фазовая характеристика не заходила внутрь окружности,соответствующейэтому значению М (рис.
8.27). Амплитудно-фазовая характеристика может толькокоснуться этой окружности. В этом случае показатель колебательности будет как раз равензаданному значению Мmax.Таким образом, окружность Мшах является запретной зоной для амплитудно-фазовойхарактеристики разомкнутой системы. Эта зона охватывает точку (-1, j0) и обеспечиваетполучение заданного запаса устойчивости.Величина показателя колебательности может быть определена и в случае использованиялогарифмических частотных характеристик. Для этого отобразим запретную зону (рис.
8.27) налогарифмическую сетку. Рассмотрим отдельно окружность заданного показателяколебательности (рис. 8.28). На окружности возьмем произвольную точку В и построим вектор,соединяющий эту точку с началом координат. Установим для этого вектора связь между егомодулем А и запасом по фазе µ. Из треугольника ОВО1 по теореме косинусов находимДалее можно найтии окончательно(8.86)Из рис. 8.28 нетрудно видеть, что зависимость (8.86) существует только длямодулей, лежащих в пределах(8.87)В случае, когдазапас по фазе может быть любым, так как вэтом случае конец вектора не может попасть в запретную зону (рис.
8.28).Задаваясь различными значениями показателя М = const, а следовательно и С = const (8.84),по выражению (8.86) можно построить графикиµ = f(A), которые носят название µ -кривых. Эти графики строятся обычно таким образом,что модуль А откладывается в децибелах (рис. 8.29). ,Из выражения (8.86) можно найти, в частности, максимальный запас по фазе обычнымметодом отыскания максимума:(8.88)Этот максимум получается, когда модуль. Если имеется построенная л.а.х.
(рис.8.30), то по имеющимся (µ -кривым и при заданном значении М можно построить требуемоезначение запаса по фазе для каждого значения .модуля. Это -построение должно делаться длямодулей, лежащих в пределах (8.87). В результате будет получена запретная область для фазовойхарактеристики. Чтобы показатель колебательности был не больше заданного значения, фазоваяхарактеристика не должна заходить в эту область.Нетрудно видеть, что определение качественного показателя, характеризующего запасустойчивости, делается здесь одновременно с определением устойчивости.Удобство показателя колебательности определяется также тем, что запас" устойчивостихарактеризуется здесь одним числом, имеющим для сравнительно широкого класса системрегулирования сравнительно узкие пределы (1,1-1,5).Оценка быстродействия может производиться по частотным характеристикам замкнутой иразомкнутой системы.
При рассмотрении замкнутой системы обычно используется амплитуднаячастотная характеристика (рис. 8.25) или вещественная характеристика (рис. 8.6). Использованиевещественной характеристики было рассмотрено выше (см. § 8.5).Для оценки быстродействия по амплитудной частотной характеристике (рис. 8.25) могутиспользоваться следующие величины:ωр — резонансная частота, соответствующая пику а.ч.х.;ωп — частота, соответствующая полосе пропускания замкнутой системы и определяемаяиз условия А(ωп) = 0,707; ,ωс — частота среза, соответствующая условию А(ωс) = 1;ωэ — эквивалентная полоса пропускания замкнутой системы, определяемая по выражению(8.89).где.Эквивалентная полоса пропускания представляет собой основание прямоугольника (рис.8.25), высота которого равна единице, а площадь равна площади под кривой квадратов модуляФ(jω).
Понятие эквивалентной полосы пропускания тесно связано с вопросом пропусканиясистемой помех, что будет рассмотрено в главе 11.В отличие от показателя колебательности, который является некоторой безразмернойхарактеристикой и лежит в сравнительно узких пределах, приведенные выше характерныечастоты, определяющие быстродействие-системы, имеют размерность и их допустимые значениямогут сильно меняться в зависимости от типа и назначения системы регулирования.
Здесьнаблюдается полная аналогия с критериями качества, основанными на рассмотрении кривыхпереходного процесса. Допустимое значение перерегулирования σ% (рис. 8.3) лежит всравнительно узких пределах для систем самого различного назначения, а допустимое времяпереходного процесса tп может меняться от долей секунды до нескольких часов и более.Допустимые для данной системы регулирования значения ωр, ωп, ωс или ωэ должныустанавливаться для каждой конкретной системы на основе изучения условий ее эксплуатации.При этом характеризовать быстродействие системы может как вся совокупность указанных вышевеличин, так и каждая из них в отдельности.При определении быстродействия по частотной передаточной функции; W(jω) разомкнутойсистемы может использоваться частота среза ωср, которая определяется из условия равенствамодуля единицеили.
Эта частота показана, например, на рис. 8.2 и8.30.Определение частоты среза разомкнутой системы может быть сделано-на диаграмме,изображенной на рис. 8.26, по точке пересечения а.ф.х. с окружностью единичного радиуса,центр которой расположен в начале координат.Резонансная частота замкнутой системы ωр близка к частоте колебаний, системы впереходном процессе. Значение ωр может быть приближенно определено по точке а. ф.
х. (рис.8.26), которая ближе всего расположена' к точке (—1, j0).Частота среза ωср во многих случаях близка к резонансной частоте системы ωр.Удобной и наглядной мерой быстродействия системы является также частота сак (рис. 8.2),при которой задающее воздействие вида g = gmax·sinωkt отрабатывается системой с амплитудойошибки не более хmах.Хотя приведенные выше частотные критерии запаса устойчивости и быстродействия могутрассматриваться независимо от свойств системы регулирования во временной области,представляется полезным провести некоторое приближенное сопоставление частотных ивременных характеристик.Если показатель колебательности М > 1, то замкнутую систему регулирования можноаппроксимировать колебательным звеном (см.
§ 4.5). Тогда передаточная функция замкнутойсистемы может быть представлена в виде(8.90)Для этой передаточной функции сравнительно просто найти, как зависят величины, которыеопределяют запас устойчивости: перерегулирование σ%, показатель колебательности М и запасустойчивости по фазе µ1, от параметра затухания ξ. Соответствующие кривые приведены на рис.8.31, а. На рис. 8.31, б дается зависимость между перерегулированием σ % и показателемколебательности М для той же передаточной функции (8.90).Кривые, приведенные на рис.
8.31, в некоторой мере характеризуют связь междупоказателями качества и в более сложных случаях, чем выражение (8.90).Так как резонансная частота ωр приблизительно соответствует частоте колебаний замкнутойсистемы в переходном процессе, то время достижения первого максимума tм на переходнойхарактеристике (рис. 8.3) может быть определено по приближенной зависимости(8.91)Если переходный процесс в системе заканчивается за 1—2 колебания, то время переходногопроцесса можно определить по приближенной зависимости(8.92)Сравнение формул (8.71) и (8.89) показывает, что эквивалентная полоса пропускания ωэсовпадает с точностью до постоянного множителя с интегральной квадратичной оценкой /',определяемой формулами(8.67) и (8.68).
Совпадение будет полным, если рассматривать всюэквивалентную полосу пропускания оти измерять ее в герцах.Тогда получаем(8.93)§ 8.10. Чувствительность систем регулированияДействительные значения параметров системы регулирования практически всегдаотличаются от расчетных. Это может вызываться неточностью изготовления отдельныхэлементов, изменением параметров в процессе хранения и эксплуатации, изменением внешнихусловий и т. д.Изменение параметров может привести к изменению статических и динамических свойствсистемы регулирования.
Это обстоятельство желательно учесть заранее в процессепроектирования и настройки системы.Степень влияния изменения отдельных параметров на различные характеристики системыоценивается посредством чувствительности. Чувствительностью называется некоторыйпоказатель, характеризующий свойство системы изменять режим работы при отклонении тогоили иного ее параметра от номинального,'или исходного, значения. В качестве оценкичувствительности используются так называемые функции чувствительности, представляющиесобой частные производные i-й координаты системы по вариации j-го параметра,(8.94)или частные производные от используемого критерия качества / по j-му параметру,(8.95)Нулевым индексом сверху отмечено то обстоятельство, что частные производные должныприниматься равными значениям, соответствующим номинальным (расчетным) параметрам.Функции чувствительности временных характеристик.
Посредством этих функцийчувствительности оценивается влияние малых отклонений параметров системы от расчетныхзначений на временные характеристики системы (переходную функцию, функцию веса и др.).Исходной системой называют систему, у которой все параметры равны расчетнымзначениям и не имеют вариаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
