Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Этой системе соответствует так .называемое основноедвижение.Варьированной системой называют такую систему, у которой произошли вариациипараметров. Движение ее называют варьированным движением.Дополнительным движением называют разность между варьированным и основнымдвижением.Пусть исходная система описывается совокупностью нелинейных уравнений первогопорядка(8.96)Рассмотрим мгновенные вариации параметров, так что параметрыприняли значения.
Если изменения параметров не вызывают изменения порядкадифференциального уравнения, то варьированное движение будет описываться совокупностьюуравнений(8.97)Для дополнительного движения можно записать(8.98)При условии дифференцируемостипо параметрамдополнительное движение можно разложить в ряд Тейлора. Для малых вариаций параметровдопустимо ограничиться линейными членами разложения. Тогда получим уравнения первогоприближения для дополнительного движения(8.99)Частные производные, находящиеся в скобках, должны быть равны их значениям при.Таким образом, первое приближение для дополнительного движения может быть найденопри известных функциях чувствительности.
Заметим, что использование функцийчувствительности удобнее для нахождения дополнительного движения по сравнению с прямойформулой (8.98), так как последняя во многих случаях может дать большие ошибки вследствиенеобходимости вычитать две близкие величины.может оказаться необходимым использование второгоПри значительных вариацияхприближения с удерживанием в ряде Тейлора, кроме линейных, также и квадратичных членов.Дифференцирование исходных уравнений (8.96) по aj приводит к так называемымуравнениям чувствительностиРешение этих уравнений дает функции чувствительности uij. Однако уравнения (8.100)оказываются сложными и решение их затруднительно, Более целесообразен путь структурногопостроения модели, используемой для нахождения функций чувствительности [21, 53, 111]Обратимся теперь к линейным системам.
Не снижая общности рассуждений, можнорассматривать случай изменения одного j-го параметра.В некоторых случаях функции чувствительности получаются дифференцированиемизвестной функции времени на выходе системы. Так, если передаточная функция системысоответствует апериодическому звену второго порядка, то (см. табл. 4.2)При поступлении на вход ступенчатой функциина выходе будетПусть, например, вариацию претерпевает постоянная времени Т3.
Тогдадифференцирование последнего выражения по Т3 даст функцию чувствительности по этомупараметруДополнительное движение при этом будет- вариацияпостоянной времени Т3.Пусть рассматриваемая система описывается совокупностью уравнений первого порядка(8.101)где- постоянные коэффициенты, xi — фазовые координаты, а fq(t) — внешниевоздействия. Начальные условия в системе: при t=0. Уравнениячувствительности получаются из (8.1.01) дифференцированием по варьируемому параметру аj, откоторого могут зависеть коэффициенты аik и bik:(8.102)где- частные производные от коэффициентов системыуравнений (8.101) по варьируемому параметру аj.
Уравнениям (8.102) соответствуют начальныеусловия. Если начальные условия не зависят от параметра aj, тоуравнениям (8.102) соответствуют нулевые начальные условия.Для решения (8.102) необходимо предварительно решить совокупность уравнений (8.101) иопределить исходное движение.Для нахождения функций чувствительности и дополнительного движения удобноиспользовать передаточные функции системы. Пусть, например, регулируемая величинасвязана с задающим воздействием зависимостью(8.103)где G(р) — изображение задающего воздействия.Функция чувствительности может быть получена из (8.103) дифференцированием попараметру aj:(8.104)Здесь введена функция чувствительности передаточной функции(8.105)которая определяет первое приближение дополнительной-передаточной функции, равнойразности варьируемой и исходной передаточных функций при вариации параметра aj.(8.106)Эти зависимости справедливы в том случае, когда вариация параметра aj - не меняетпорядка характеристического уравнения системы.Может также использоваться так называемая логарифмическая функция чувствительностиФормула (8.107), строго говоря, может использоваться в тех случаях, когда Ф (р, аj) и ajпредставляют собой безразмерные величины.
Если эти величины размерны, то ихлогарифмирование возможно, если использовать прием, указанный в § 4.4.Найдем дополнительную передаточную функцию для случая, когда исходная передаточнаяфункция может быть представлена в виде отношения двух полиномов:гдефункции.(8.108)- вариации полиномов числителя и знаменателя передаточнойФормула (8.108) позволяет составить структурную схему модели чувствительности в виде,изображенном на рис. 8.32. Эта схема может быть использована для нахождения функциидополнительного движенияили функции чувствительности и; расчетнымпутем или моделированием на ЭВМ.Составим, например, модель чувствительности для передаточной функции замкнутойсистемы(8.109)при вариации параметра τ. В соответствии с изложенным находим.Равенство приращений числителя и знаменателя Ф (р) позволяет упростить схему модели. Онаизображена на рис.
8.33, а в исходном, а на рис. 8.33, б — в преобразованном виде.В общем случае, когда передаточная функция зависит от ряда варьируемых параметров,дополнительная передаточная функция(8.110), тоЕсли к системе приложено несколько внешних воздействийследует найти дополнительные передаточные функции для всех исходных передаточныхфункций, определенных для каждого внешнего воздействия.Функции чувствительности критериев качества. Если в системе произошли изменения рядапараметров, то результирующее изменение некоторой используемой оценкикачества(8.111)где — варьированное значение оценки качества, а I — ее исходное значение, можноподсчитать по формуле полного дифференциала(8-112), тоТак как в большинстве случаев известны только вероятностные оценки вариацийцелесообразно использование вероятностных методов.
Так, если известны максимальные, то при их независимости друг от друга можно найтивозможные отклонениясреднеквадратичный максимум отклонения оценки качества(8.113)и среднеквадратичный относительный максимум(8.114)Если заданы дисперсии отклонений параметровто можно найти дисперсию оценки качестваи отклонения независимы,(8.115).В качестве критериев оценки качества системы могут использоваться, например, максимумошибки, коэффициенты ошибок, оценки запаса устойчивости и быстродействия, интегральныеоценки и т. п.Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет видТребуется определить среднеквадратичный максимум отклонения показателяколебательности, еслисек, причем измененияпараметров независимы.Определим вначале исходное значение показателя колебательности. Для этого необходимонайти максимум модуля частотной передаточной функции замкнутой системыИсследование на максимум дает: припоказатель колебательностиФункции чувствительности, еслипоказатель колебательности M= 1, при КТ > 2,Среднеквадратичный максимум отклонения (8.113)Таким образом, в рассматриваемой системе показатель .колебательности.ГЛАВА 9ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ§ 9.1.
Общие методыК числу общих методов повышения точности систем автоматического регулированияотносятся:1) увеличение коэффициента усиления разомкнутой цепи;2) повышение степени астатизма;3) применение регулирования по производным от ошибки.Увеличение общего коэффициента усиления разомкнутой цепи является наиболееуниверсальным и эффективным методом. Увеличить общий коэффициент усиления можнообычно за счет введения в систему регулирования усилителей.
Однако в некоторых случаяхудается достичь этого увеличения за счет повышения коэффициентов передачи отдельныхзвеньев, например чувствительных элементов, редукторов и т. д.Увеличение общего коэффициента усиления благоприятно сказывается в смыслеуменьшения ошибок практически во всех типовых режимах. Это вытекает, в частности, из того,что общий коэффициент усиления разомкнутой цепи входит в качестве делителя во всекоэффициенты ошибок (см. пример, рассмотренный в § 8.3).Однако увеличение общего коэффициента усиления ограничивается устойчивостьюсистемы регулирования.
При повышении коэффициента усиления, как правило, системаприближается к колебательной границе устойчивости. При некотором предельном его значении всистеме возникают незатухающие колебания. В этом сказывается противоречие междутребованиями к точности и требованиями к устойчивости системы регулирования.В связи с этим повышение общего коэффициента усиления до значения, при которомобеспечивается выполнение требований к точности, обычно может производиться только приодновременном повышении запаса устойчивости системы, что осуществляется при помощи такназываемых корректирующих средств, рассматриваемых в следующей главе.Повышение порядка астатизма.
Повышение порядка астатизма используется для устраненияустановившихся ошибок в различных типовых режимах: в неподвижном положении, придвижении с постоянной скоростью, при движении с постоянным ускорением и т. д. Формальноэто сводится к тому, чтобы сделать равными нулю первые коэффициенты ошибки системы,например, с0 = 0 при астатизме первого порядка, или с0 = с1 = 0 при астатизме второго порядка,или с0 = с1 = с2 = 0 при астатизме третьего порядка и т. д. Физически повышение порядкаастатизма осуществляется за счет введения в канал регулирования интегрирующих звеньев.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
