Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Желательно располагать нули вблизи области расположения полюсов. Удаление нулей отобласти полюсов ведет к увеличению амплитуд собственных колебаний в переходном процессе.2. Для уменьшения отклонений в переходном процессе часто бывает выгодно удалятьполюсы друг от друга.3. Приближение друг к другу не представляет опасности для тех полюсов, которыерасположены далеко от мнимой оси.Кроме этих рекомендаций сохраняют свою силу ограничения на область расположенияполюсов, накладываемые в связи с требованиями обеспечения определенного запасаустойчивости и быстродействия (см.
рис. 8.14, б).§ 8.7. Диаграмма ВышнеградскогоРассмотрим характеристическое уравнение третьего порядка(8.47)Приведем его к нормированному виду. Для этого разделим все члены на а3 и введем новуюпеременную(8.48)Здесь использовано понятие среднегеометрического корня (8.26):В результате получим нормированное уравнение(8.49)где коэффициенты называются параметрами Вышнеградского.На плоскости параметров А и В нанесем границу устойчивости. Условия устойчивостисистемы третьего порядка были впервые сформулированы Вышнеградским еще в 1876 году, допоявления в 1895 году критерия Гур-вица.
Эти условия: А >0, В >0 и АВ >1. Уравнение границыустойчивости (колебательной): АВ = 1 при А>0 и В >0. Это есть равнобокая гипербола, длякоторой оси координат служат асимптотами (рис. 8.15). Область устойчивости системы, согласнонаписанным выше условиям, лежит выше этой кривой.Разобьем область устойчивости на отдельные части, соответствующие различномурасположению корней характеристического уравнения. Заметим, что в точке С, где А = 3 и В = 3,характеристическое уравнение (8.49) принимает вид. Следовательно, в этой точкевсе три корня равны:. При этом для исходного характеристического.уравнения согласно (8.48) получаемВ общем случае возможны два варианта: 1) все три корня вещественные; 2) один кореньвещественный и два комплексных.Граница между этими двумя случаями определяется равенством нулю дискриминантауравнения третьей степени (8.49), который может быть получен, например, из формулыКардана для решения кубического уравненияЭто уравнение дает на плоскости параметров А, В две кривые: СЕ и СF (рис.
8.15). Внутриобласти ЕСF дискриминант положителен. Следовательно, в этой области имеется тривещественных корня (область III). В остальной части плоскости дискриминант отрицателен, чтосоответствует наличию пары комплексных корней.Существенное значение имеет взаимное расположение вещественного и комплексныхкорней.
Будем различать здесь два случая: I — пара комплексных корней лежит ближе к мнимойоси, чем вещественный, и II — вещественный корень лежит ближе к мнимой оси, чем паракомплексных. Границей между этими двумя случаями является расположение всех трех корнейна одинаковом расстоянии от мнимой оси. Уравнение этой границы можно найти, положивзначения корнейи. Тогда характеристическое уравнение (8.49) будетУравнивание коэффициентов при одинаковых степенях даетВ результате совместного решения последних трех равенств получаем после исключения αи β искомое уравнение, соответствующее граничному случаю:Написанное равенство дает на плоскости параметров кривую СD.В результате область устойчивости разбивается на три части: I, II, III (см.
рис. 8.15). Этотграфик называется диаграммой Вышнеградского. Он построен им в 1876 году в работе, котораяположила начало развитию теории автоматического регулирования. На рисунке показан характеррасположения корней внутри каждой из этих частей области устойчивости.В области ///, где все корни вещественные, в зависимости от начальных условий получимапериодический переходный процесс в одной из форм, показанных на третьем графике рис. 8.16.Область /// носит название области апериодических процессов.В областях / и //, где имеется один вещественный корень и два комплексных, переходныйпроцесс будет иметь соответственно формы, показанные на первых двух графиках рис.
8.16. Вобласти /быстрее затухает экспонента и переходный процесс в основном будет определятьсяколебательной составляющей.Это будет область колебательных процессов. В области //, наоборот, быстрее затухаетколебательная составляющая. Это будет область монотонных процессов.Диаграмма Вышнеградского получила дальнейшее развитие. Для более точной оценкихарактера переходного процесса на ней можно нанести вспомогательные линии, разбивающиеобласти /, // и /// на еще более мелкие части, что позволяет при известных параметрахВышнеградского иметь более полное суждение о быстродействии и запасе устойчивости.
Нижебудут рассмотрены наиболее . распространенные способы уточнения диаграммыВышнеградского посредством нанесения линий равной степени устойчивости (для оценкибыстродействия) и линий равного затухания (для оценки запаса устойчивости).Для нанесения линий равной степени устойчивости обратимся к нормированномухарактеристическому уравнению (8.49). Для получения смещенного уравнения введем новуюпеременную, определяемую соотношениемобозначает степеньустойчивости для нормированного уравнения. Для исходного уравнения (8.47) согласно (8.48)степень устойчивости будетСмещенное уравнение имеет видКоэффициенты этого уравнения:(8.50)Применим к смещенному уравнению условие границы устойчивости.
Колебательнаяграница устойчивости, соответствующая чисто мнимым корням смещенного уравнения (8.50),будет при выполнении условия A1A2 = A3. Апериодическая граница устойчивости (нулевойкорень) будет при А3 = 0. Первое условие при подстановке значений коэффициентов приводит куравнению(8.51)а второе.На оновании полученных уравнений, задаваясь различными значениями η0=const, можнопостроить на диаграмме Вышнеградского линии одинаковых значений нормированной степениустойчивости (рис. 8.17). По уравнению (8.51) построены кривые η0=const в области I, так кактам согласно рис.8.15, ближайшими к мнимой оси являются комплексные корни.
Кривая η0=0совпадает с границей устойчивости. Уравнение (8.52) дает прямые которые нанесены в областяхII, III.Как видно из диаграммы, наибольшая степень устойчивости η0= 1 имеет место в точке С скоординатами А=3 и В=3. Следовательно, эта точка соответствует наилучшим значениямпараметров с точки зрения величины степени устойчивости. Однако, как уже отмечалось, степеньустойчивости является приближенной оценкой быстроты затухания переходного процесса.Поэтому при выборе параметров системы регулирования практически нет смысла попадатьименно в эту точку диаграммы.
Можно считать, что наилучшей областью параметров системыбудет область, прилегающая к точке С, например внутри замкнутой кривой η0=0,5.На рис. 8.18 приведена диаграмма Вышнеградского с нанесенными линиями равного затуханияξ=const. (Аналитические выкладки не приводятся ввиду громоздкости). Эти же линии являются,по существу, и линиями равной колебательности µ=const, так как колебательность и затуханиесвязаны между собой формулами (8.41) и (8.42).§ 8.8. Интегральные оценкиИнтегральные оценки имеют целью дать общую оценку быстроты затухания и величиныотклонения регулируемой величины в совокупности, без определения того и другого вотдельности.
Простейшей интегральной оценкой может служить величина(8.53) .где х (t) — отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения, котороеона будет иметь после завершения переходного процесса. В устойчивой системе х→0 при t→оо иэтот интеграл имеет конечную величину. Геометрически это будет площадь под кривойпереходного процесса, построенного для отклонения (рис. 8.19, а).Площадь будет тем меньше, чем быстрее затухает переходный процесс и чем меньшевеличина отклонения.
Поэтому параметры системы рекомендуется выбирать таким образом,чтобы добиваться минимума этой интегральной оценки.Для вычисления интеграла (8.53) нет необходимости в нахождении х (t), так как его можно легковычислить, используя изображение Лапласа или Хевисайда — Карсона. Действительно,изображение Лапласа определяется выражениемОтсюда следует, что интеграл (8.53) может быть найден посредством предельного перехода p→0:(8.54)Неудобством интегральной оценки вида (8.53) является то, что она годится толькодля монотонных процессов, когда не меняется знак отклонения х. Если же имеет местоколебательный процесс (рис.
8.19, б), то при вычислении интеграла (8.53) площади будутскладываться алгебраически м минимум этого интеграла может соответствовать колебаниям смалым затуханием или вообще без затухания. Так как форма переходного процесса при расчетесистем регулирования может быть неизвестна, то применять интегральную оценку вида (8.53)оказывается практически нецелесообразным. Поэтому предлагалась другая интегральная оценка:(8.55)т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
