Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Так,например, ограничившись при подаче ступенчатого воздействия g (t) или f (t) отклонением х,первой производной и второй производной , получим интегральную оценку в виде(8.76)Эта оценка будет характеризовать приближение переходного процесса к экстремали,определяемой решением дифференциального уравненияЭкстремаль в данном случае будет соответствовать более сложной кривой, чем экспонента,что позволяет точнее задать желаемый вид переходного процесса.Однако нахождение интегральных оценок вида, к которым сводится вычисление интеграла (8.76), сопряжено созначительными трудностями, что ограничивает их применение.Определение минимума интегральной оценки.
Пусть требуется, исходя из минимума какойнибудь интегральной оценки, выбрать два каких-нибудь параметра α и β заданнойавтоматической системы. Указанные два параметра входят в коэффициенты дифференциальногоуравнения системы. Прежде всего по вышеприведенным формулам находится выражениесоответствующей интегральной оценки. Это выражение, если все параметры системы заданы,кроме α и β, имеет видДля определения значений α и β, соответствующих минимуму /, вычис-.ляем частныепроизводные по α и β и приравниваем их нулю. В результате получаем два уравнения:с двумя неизвестными α и β. Отсюда и определяются искомые значения параметров α и β. Чтобыубедиться в том, что это действительно минимум, а не максимум, можно вычислить значение /при полученных значениях α и β, ,а затем при каких-нибудь соседних. Последние должныоказаться больше.
Аналогично можно поступить и при выборе нескольких параметров поминимуму интегральной оценки.Функция / (α, β) не всегда обладает минимумом по рассматриваемым (параметрам. Тогданужно выбирать их по наименьшему значению интегральной оценки / внутри области,назначаемой из других соображений.;Важно также иметь в виду, что выражение интегральной оценки через выбираемыепараметры системы в буквенном виде может в ряде случаев оказаться сложным для исследованияв общем виде.
В таких случаях можно поступить иначе: задавать несколько числовых значенийодного из выбираемых параметров (при жестко заданных всех остальных) и вычислять длякаждого из них значения I (или Ik). В результате будет видно, при каких значениях данногопараметра получается Imin (можно для наглядности построить график величины I в зависимостиот выбираемого параметра). Аналогично нужно поступить и с другими выбираемымипараметрами системы.В конкретных расчетах всегда надо учитывать, что одновременно с таким выборомпараметров нужно, во-первых, обеспечить хорошие статические свойства системы и, во-вторых,проследить, чтобы оптимальная точка не оказалась слишком близкой к границе устойчивости,так как всегда надо иметь некоторый запас устойчивости.Рассмотрим в качестве примера дифференциальное уравнение третьего «порядка(8.77)где ψ(t) — входное задающее или возмущающее воздействие.
Пусть входное воздействиеψ(t) = 1(t). Тогда изображение по Лапласу регулируемой величины будетУстановившееся значение регулируемой величины здесь будет у (∞) =.Вычислим для этого случая интегральную оценку I. Так как n = 3, а m = 0, то всоответствии с формулой (8.61) имеемДалее по выражению (8.62) находим определительДля нахождения ∆0 необходимо первый столбец определителя ∆ заменить на (8.63):По формуле (8.64) находим единственный коэффициентВ результате получаем значение интегральной квадратичной оценки:(8.78)Это выражение и служит для выбора параметров системы, входящих в коэффициенты а0, а1,а2, а3, из условия минимума величины I.Построим диаграмму квадратичной интегральной оценки на плоскости параметровВышнеградского А и В.
Согласно § 8.7,Подставив это выражение в (8.78), получимНайдем безразмерную оценку I0 в соответствии с формулой (8.57). Подставляязначение среднегеометрического корня, получаем(8.79)При I0 = const это дает на плоскости параметров Вышнеградского кривую(8.80)Построенные по этому уравнению кривые постоянных значений оценки 7 о нанесены надиаграмме (рис. 8.23). Там же пунктиром нанесены кривые, взятые из диаграммыВышнеградского (рис.
8.15), показывающие области колебательного (I), монотонного (II) иапериодического (III) процессов.Минимум интегральной оценки находим, приравнивая нулю частные производные:,что дает, откуда находим А = 1, В = 2. Следовательно,минимум квадратичной интегральной оценки I0 = 1,5 имеет место в точке D (рис. 8.23). Этаточка лежит, однако, слишком близко к границе устойчивости, что может не обеспечитьнеобходимого запаса устойчивости (см., например, рис.
8.18). Практически лучше братьпараметры системы не точно в точкеD, а несколько правее и выше. Этот результат имеет смысл,однако, только в тех случаях, когда b0, а3, а0 остаются постоянными, а выбираемыепараметры системы входят только в коэффициенты a1 и а2 уравнения (8.77).§ 8.9. Частотные критерии качестваПод частотными критериями качества будем понимать такие критерии, которые нерассматривают вида переходного процесса, а базируются на некоторых частотных свойствахсистемы.
Частотные критерии качества особенно удобно применять при использованиичастотных методов расчета, так как при этом получается наиболее простое решение задачи.Частотные критерии наиболее разработаны в отношении оценки запаса устойчивости. Запасустойчивости можно определять по удалению амплитудно-фазовой характеристики разомкнутойсистемы (рис. 8.24, а) от точки (—1, j0). Для этой цели вводятся понятия запаса устойчивости поамплитуде (модулю) и запаса устойчивости по фазе.Для общего случая условной устойчивости, изображенного на рис.
8.24, а, запасустойчивости по амплитуде определяется двумя точками а и с, и. соответственно, двумявеличинами, выраженными обычно в децибелах:Запас устойчивости по амплитуде тем больше, чем больше L1 и L2. В хорошодемпфированных системах эти величины составляют примерно 6-20 дб, что соответствует 2-10 влинейном масштабе.В случае абсолютной устойчивости смысл имеет только величина L1, так как L2→∞.Запасом устойчивости по фазе называется запас по фазе, где ψ — аргументчастотной передаточной функции разомкнутой системы, соответствующий модулю, равномуединице (точка b на рис. 8.24, а):сдвиг по фазе ψ1 определяется условием.В хорошо демпфированных системах запас по фазе составляет около 30-60°.В некоторых случаях вместо задания дискретных точек, определяющих запас устойчивостисистемы регулирования (точки а, b и с на рис. 8.24, а), задают некоторую запретную область дляамплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.
Эта запретная область окружаетточку ( — 1, j0) и может быть построена по заданным значениям запаса устойчивости по фазе µ1и запаса устойчивости по модулю β (рис. 8.24, б).Недостатком рассмотренного критерия является то, что для определения запасаустойчивости необходимо задать два числа: β и µ1. В этом отношении более удобно определятьзапас устойчивости по показателю колебательности. Показателем колебательности называетсямаксимальное значение ординаты Mmax амплитудной характеристики замкнутой системы (см.рис. 8.25) при начальной ординате, равной единице, т.
е. относительная высота резонансногопика. Физически эта характеристика представляет собой следующее. Если управляющий сигнална входе системы регулирования меняется по закону g = gmax·sinωt, то регулируемая величина врежиме установившихся вынужденных колебаний будет меняться по закону y = ymax·sin(ωt+ψ).Отношение амплитуд ymax и gmax определяется модулем частотной передаточной функциизамкнутой системы:(8.81)где W(jω) — частотная передаточная функция разомкнутой системы.Максимальное значение этого модуля и представляет собой показатель колебательности(имеется в виду наибольший максимум)(8.82)Как видно из этих рассуждений, показатель колебательности определяется посредствомзадания задающего воздействия g = gmax·sinωt.
В принципе возможно определение показателяколебательности системы посредством задания возмущающего воздействия f = fmax·sinωt иотыскания относительной величины резонансного пика.Чем меньше запас устойчивости, тем больше склонность системы к колебаниям и тем вышерезонансный пик. Допустимое значение показателя колебательности определяется на основанииопыта эксплуатации систем регулирования.
Считается, что в хорошо демпфированных системахрегулирования показатель колебательности не должен превосходить значений 1,1-1,5, хотя внекоторых случаях можно допускать величины до 2-2,5.Для отыскания показателя колебательности системы регулирования нет необходимостистроить амплитудную частотную характеристику (рис.
8.25) или отыскивать максимум (8.82).Существуют приемы, позволяющие найти показатель колебательности по виду амплитуднофазовой характеристики разомкнутой системы. Возьмем на амплитудной характеристике (рис.8.25) некоторую точку в, которой соответствует ордината М, и отобразим эту точку накомплексную плоскость частотной передаточной функции разомкнутой системы.
Для этогорассмотрим уравнениеСделаем подстановки. ТогдаВозводя в квадрат правую и левую части и освобождаясь от знаменателя, после алгебраическихпреобразований получим(8.83)где(8.84)(8.85)Это есть уравнение окружности с радиусом R с центром, смещенным влево от началакоординат на величину С.Задаваясь различными значениями M от 1 до ∞, можно построить семейство такихокружностей (рис. 8.26). На каждой окружности написано значение ординаты амплитуднойчастотной характеристики.
При М = 1 окружность вырождается в прямую линию, параллельнуюоси ординат и проходящую слева от нее на расстоянии 0,5. При М→∞ окружность вырождается вточку, совпадающую с точкой (—1, j0).Для значений ординат амплитудной характеристики, лежащих в пределах 0 < М < 1,получается семейство окружностей, расположенных справа от линии М = 1, симметрично спервым семейством. При М = 0 окружность вырождается в точку, совпадающую с началомкоординат.Для построения амплитудной характеристики (рис. 8.25) достаточно в тех же координатах,где построены окружности М = const, нанести амплитудно-фазовую характеристику разомкнутойсистемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
