Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Что касается определения произвольныхпостоянных интегрирования, то эта операция отпадает, потому что начальные условияавтоматически учитываются в процессе решения с самого начала (при нахожденииизображения искомой величины). Поэтому этот метод оказывается удобным и его частоприменяют в задачах теории регулирования.Практически важной для отыскания оригинала решения является еще теоремасвертывания. Она гласит следующее. Если изображение представляет собой произведение(7.42)то оригинал выражается формулой(7.43)где т представляет собой вспомогательное время интегрирования.В частности, пусть для некоторой системы с передаточной функциейW(р) известна реакция на единичную импульсную функцию,представляющую собой функцию веса и связанную W(р) преобразованием -ЛапласаЕсли на вход этой системы поступает некоторая функция времени f(t), изображениекоторой F(р), то изображение выходной величины будетТогда функция времени на выходе может быть найдена по интегралу •свертывания(7.43), который совпадает с интегралом Дюамеля (4.9):(7.44)л^ооЕсли входная функция определена только для положительного времени(прикладывается на вход в момент времени t = 0), то функцияотлична от нулятолько при.
В этом случае верхний предел интеграла в формуле (7.44) может бытьзаменен на бесконечность и она приобретает вид(7.44')§ 7.5. Использование вещественных частотных характеристикОпишем метод приближенного построения кривой переходного процесса вавтоматической системе (при воздействиях в виде скачка и импульса) по заданнойвещественной частотной характеристике замкнутой системы, разработанный В. В.Солодовниковым в 1948 году [121].
Этот способ полезен тогда, когда расчет системыведется с самого начала, частотными методами. Он совершенно необходим, если известныуравнения не всех звеньев системы, а часть из них задается экспериментально снятымичастотными характеристиками.На основании интеграла Фурье (7.16) оригинал искомой величины может бытьпредставлен в виде(7.45)где—изображение Фурье искомой функции времени х (t), а(7.46)— частотное изображение искомой величины, полученное из изображения Карсона— Хевисайда(р) подстановкой р = jω.Однако использовать интегральную зависимость (7.45) можно только в том случае,когда все полюсы функции X (jω) лежат в левой полуплоскости.Тогда интегрирование может вестись по мнимой оси.
Это значит, что дляпреобразования Лапласа (7.18) абсцисса абсолютной сходимости с = 0 и р = jω.В действительности изображение Фурье X (jω) даже для устойчивой системы, когдавсе полюсы передаточной функции системы лежат в левой полуплоскости, может иметьполюсы на мнимой оси за счет входного воздействия. Так, например, пусть передаточнаяфункция системы имеет вид.причем а > 0 и b > 0 Полюсы этой передаточной функции лежат в левойполуплоскости.Если на вход поступает сигнал типа единичной ступенчатой функцииx1 (t) = 1(t), изображение которого по Лапласу равновыходной величины будет, то изображениеЭто изображение имеет однократный полюс в начале координат (р1 = 0). Если на, изображение которого,вход системы поступает сигнал типато изображение выходной величины будет иметь в начале координат двукратный полюс(р1 = р2 = 0).В связи с этим для использования интегральной зависимости (7.45) необходимоотделить от изображения Фурье искомой функции времени члены, содержащие полюсына мнимой оси.Рассмотрим частный случай, когда изображение Карсона — Хевисайдане имеет полюсов на мнимой оси.
К этому случаю сводится например,задача нахождения переходной функции в устойчивой системе, если даны ее передаточнаяфункция Ф (р), не имеющая полюсов на мнимой оси, и входное воздействие типаединичной ступенчатой функциивеличины будет. Тогда изображение по Лапласу выходнойи соответственно.Тогда оказывается, что частотное изображениесовпадает с частотнойи мнимаяпередаточной функцией замкнутой системы Ф (jω), а вещественнаячасти в формуле (7.46) совпадают с вещественной Р (ω) и мнимой S(ω) частотнымихарактеристиками замкнутой системы.
К аналогичному результату можно прийти, еслирассматривать реакцию системы на скачок внешнего возмущения. Тогда вещественная имнимая части в формуле (7.46) будут совпадать с вещественной и мнимой частямичастотной передаточной функции по возмущению.К тому же частному случаю могут сводиться и другие задачи исследованияпереходных процессов в системах регулирования, например нахождение' ошибки системыпри приложении скачкообразного внешнего возмущения, нахождение функции весасистемы и др.В этом случае существует ограниченное установившееся значение искомой функциизначение р = 0.времени х (t), которое можно получить, подставляя вУчитывая, что, получаем. Тогда подынтегральнаяфункция (7.45) может иметь однократный полюс в начале координат.
Его можноустранить, рассматривая не саму величину х (t), а разность,которой соответствует разность изображений.Врезультате приходим к следующей интегральной зависимости:(7.47)Используем формулу ЭйлераПодставляя последнее выражение в (7.47), используя формулу (7.46) и отбрасываямнимую часть, которая должна быть равной нулю, так как функция х (t) является,конечно, вещественной, получаем(7.48)Подынтегральное выражение представляет -собой четную функцию частоты.Поэтому интегрирование по всем частотам можно заменить интегрированием только поположительным частотам, а затем удвоить результат.Так както в результате имеем(7.49)Если принять нулевые начальные условия, то до приложения внешнего воздействия(при t<0).
Заменив в (7.49) время t на —t, получим(7.50)Совместное решение (7.49) и (7.50) дает два выражения для нахождения искомойфункции времени:(7.51)(7.52).причемТаким образом, можно отыскать оригинал х (t) по известной вещественнойили известной мнимойчастям частотного изображения. Обычно.для этих целей используется вещественная часть изображенияЕсли входное воздействие представляет собой единичный скачок, то, какуказывалось выше, частотное изображениесовпадает с частотной передаточнойфункцией замкнутой системы. Тогда в формулы (7.51) и (7.52) будут входитьвещественная и мнимая части частотной передаточной функции замкнутой системы. Следовательно, в этом случае для построения переходногопроцесса, который будет представлять собой переходную функцию системы h(t),— вещественнаянеобходимо в формуле (7.52) положитьхарактеристика системы.
В результате получим(7.53)Аналогичным образом, при нахождении реакции системы на единичный •скачоквозмущающего воздействия необходимо использовать вещественнуючасть частотной передаточной функции по возмущению.В дальнейшем изложении будем иметь в виду случай, определяемый формулой(7.53), хотя методика построения переходного процесса остается единой и для общегослучая (7.52).Интегрирование выражения (7.53) представляет большие трудности. Поэтомуобычно исполь зуется приближенное решение задачи. Для этой цели вводится понятиетиповой единичной трапецеидальной вещественной характеристики, (рис. 7.3).Единичная трапеция имеет высоту, равную единице и частоту среза, также-1равную единице, точнее, 1 сек .Единичная трапеция характеризуется частотой излома, которая может быть задана ввиде коэффициента наклона трапецииДля единичных трапеций с различными коэффициентами наклона по выражению(7.53) может быть вычислен оригинал, т.е.
функция времени. Эта функция получиланазвание h.-функции. В настоящее время составлены подробные таблицы h-функции дляразличных коэффициентов наклона, лежащих в пределах 0 < χ < 1 (см. приложение 1).По такой таблице для каждого коэффициента наклона единичной трапеции можетбыть построена функция времени— безразмерное время, соответствующееединичной трапецеидальной характеристике.Метод построения кривой переходного процесса заключается в том, чтопостроенную вещественную характеристику исследуемой системы (рис. 7.4) разбивают наряд трапеций, заменяя приближенно кривые линии прямолинейными отрезками так,чтобы при сложении ординат всех трапеций получилась исходная характеристика.
Затемдля каждой трапеции определяется коэффициент наклона. При известном коэффициентенаклона по таблицам могут быть построены h-функции для каждой трапеции.Кривая переходного процесса может быть получена суммированием построенных hфункций с учетом правил масштабов. Правила масштабов заключаются в следующем.1. Перед сложением ординаты каждой h-функции необходимо умножить на высотусоответствующей трапеции (см. рис. 7.4), так как h-функция построена для трапеции,имеющей единичную высоту.
При этом необходимо учитывать знак высоты, считаявысоту положительной для трапеций, расположенных выше абсцисс.3. Перед сложением необходимо изменить масштаб времени каждой h-функции, таккак h-функции построены для единичной трапеции, имеющей частоту среза= 1 сек-1.Изменение масштаба времени делается в соответствии с теоремой подобия (табл. 7.2).Действительное время равно времени приведенному в таблице h-функций,деленному на частоту среза соответствующей трапецеидальной характеристики:При нахождении реакции системы на единичную импульсную входную функцию,т.е. функции веса, можно пользоваться общей формулой (7.52). При этомдолжно быть вещественной частью частотного изображения искомой функции, где 1 представляет собой.
Однако можноизображение единичной импульсной функциипреобразовать формулу (7.53) так, что и при нахождении функции веса можно будетисходить из вещественной частотной характеристики замкнутой системы Р (ω). Для этойцели продифференцируем выражение (7.53) по времени:(7.54)Если разбить исходную вещественную характеристику на трапецеидальныехарактеристики (рис. 7.4), то аналогично построению переходной функции выражение(7.54) можно представить в видегде n — число трапеций, на которые разбита вещественная характеристика Р(ω).Можно показать, что это выражение приводится к виду(7.55)где введены обозначенияСледовательно, в данном случае искомая функция времениприближенноопределяется простым подсчетом ее ординат по формуле (7.55) для разных t ипоследующим построением по точкам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
