Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 30
Текст из файла (страница 30)
6.3). Первое является более удобным, так как при этом всекорни знаменателя Тy (р) будут расположены в левой полуплоскости.Для выполнения сказанного поступают следующим образом. При изменении частотыотпроисходит движение на плоскости корней вдоль оси мнимых снизувверх (рис. 6.17).
В начале координат расположен нулевой корень. Обойдем этот кореньпо полуокружности бесконечно малого радиуса так, чтобы корень остался слева. Придвижении по этой полуокружности против часовой стрелки независимая переменная рменяется по законугдепредставляет собой радиус полуокружности, аменяющийся отпредставлена в виде— аргумент,. При этом передаточная функция Тy (р) может бытьгде, а аргумент () меняется в пределах от.Таким образом, во время движения по полуокружности бесконечно малого радиусапередаточная функция может быть представлена в виде вектора бесконечно большойдлины, поворачивающегося на комплексной плоскости по часовой стрелке на угол,равный, что соответствует полуокружности бесконечно большогорадиуса.На рис. 6.18 изображена амплитудно-фазовая характеристика абсолютно устойчивойсистемы с астатизмом первого порядка.
Характеристика начинается в начале координатприи затем уходит в бесконечность при(верхняя ветвь). Далеехарактеристика дополняется полуокружностью бесконечно большого радиуса так, чтобыповернулся по часовой стрелке на угол . Нижняя ветвь характеристикивекторсоответствует изменению частоты от 0 до.Нетрудно видеть, что характеристика не охватывает точку (—1, j0), и система взамкнутом состоянии будет устойчивой.Амплитудно-фазовые характеристики для условно устойчивой системы, для случаяколебательной границы устойчивости и случая неустойчивой системы будут похожими наизображенные на рис.
6.16, б, в и г кривые, за тем исключением, что прихарактеристика будет уходить в бесконечность в соответствии с нижней ветвьюхарактеристики, изображенной на рис. 6.18.Аналогичными рассуждениями можно показать, что для системы с астатизмомвторого порядка, имеющей передаточную функцию видапри обходе двойного нулевого корня в начале координат (см. рис. 6.17) передаточнаяфункция разомкнутой системы может быть представлена вектором бесконечно большойдлины, поворачивающимся по часовой стрелке на угол .На рис.
6.19 изображена амплитудно-фазовая характеристика абсолютно устойчивойсистемы при наличии астатизма второго порядка. Так же как и ранее, здесь можнополучить условную устойчивость (рис. 6.19), колебательную границу устойчивости, еслихарактеристика пройдет через точку (— 1, j0), и неустойчивость, если характеристикабудет охватывать точку (—1, j0).Обобщая проведенные рассуждения, получаем, что для определения устойчивостисистемы с астатизмом любого порядка достаточно построить только одну ветвьамплитудно-фазовой характеристики, соответствующую положительным частотам,которая должна быть дополнена окружностью бесконечно большого радиуса.
При этомдля устойчивой в замкнутом состоянии системы эта ветвь вместе с частью окружности,заключенной между положительной полуосью вещественных и амплитудно-фазовойхарактеристикой, соответствующей положительным частотам, не должна охватыватьточку (—1, j0) в соответствии с рис. 6.20.Из рис. 6.20 следует, что абсолютная устойчивость может быть получена пристепени астатизма.
При большей степени астатизма может быть получена толькоусловная устойчивость.Обратимся теперь к более общему случаю, когда знаменатель передаточной функцииразомкнутой системы с любой степенью астатизма содержит корни, лежащие в правойполуплоскости. Это соответствует неустойчивой в разомкнутом состоянии системе.Появление неустойчивости разомкнутой системы может вызываться двумяпричинами. Во-первых, это может быть следствием наличия неустойчивых звеньев,подобных рассмотренным в § 4.8.
Во-вторых, это может быть следствием потериустойчивости звеньев, охваченных положительными или отрицательными обратнымисвязями (см., например, рис. 5.5).Наличие неустойчивости системы в разомкнутом состоянии не означает, что системабудет неустойчивой в замкнутом состоянии. Она может быть как устойчивой, так инеустойчивой. Однако формулировка критерия устойчивости Найквиста при этомнесколько меняется.
Пусть знаменатель передаточной функции разомкнутой системы(6.28) содержит l корней в правой полуплоскости и n-l корней — в левой. Тогда приДля устойчивой в замкнутом состоянии системыизменении частоты отрезультирующий угол поворота годографа вектораотносительно точки ( — 1, j0)должен составитьт. е. амплитудно-фазовая характеристика должна охватить точку ( — 1, j0) столькораз, сколько корней в правой полуплоскости содержит знаменатель передаточнойфункции разомкнутой системы. При этом необходимо, чтобы при изменении частоты отконец вектораповорачивался вокруг точки ( — 1, j0) на уголпротив часовой стрелки. Нетрудно видеть, что формулировка критерия Найквиста дляслучая, когда l = 0, вытекает отсюда как частный случай.Таким образом, при использовании критерия Найквиста, вообще говоря, необходимоубедиться в том, имеются ли в знаменателе передаточной функции разомкнутой системыкорни, лежащие в правой полуплоскости, и сколько имеется таких корней.Если в системе имеются местные обратные связи, например, такого типа, как этоизображено на рис.
5.7, то необходимо убедиться в том, что по цепи местной обратнойсвязи не нарушена устойчивость при разомкнутой главной обратной связи. Проверкаустойчивости по цепи местной обратной связи может быть сделана посредствомиспользования любых критериев устойчивости, в том числе и посредством критерияНайквиста, который может применяться для разомкнутой местной обратной связиобычным путем построения для этой цели амплитудно-фазовой характеристики.В случае, если для местной обратной связи будет получено указание на еенеустойчивость, необходимо определить число корней, лежащих в правой полуплоскости.Следует заметить, что, хотя теоретически вся система в замкнутом состоянии можетбыть устойчивой при наличии неустойчивости по цепи местной обратной связи,практически такой случай является нежелательным и его надо избегать, стремясьиспользовать только устойчивые местные обратные связи.
Это объясняется наличиемнекоторых нежелательных свойств, в частности появлением условной устойчивости,которая при имеющихся обычно в системе нелинейностях может в некоторых режимахпривести к потере устойчивости и появлению автоколебаний. Поэтому, как правило,при расчете системы выбирают такие местные обратные связи, которые были быустойчивыми при разомкнутой главной обратной связи.Знаменатель передаточной функции разомкнутой системы (6.28) может иметь чистомнимые корни.
Пусть, например, имеется один нулевой корень p1 = 0, пара мнимыхкорней, а все остальные корни знаменателя Q (р) лежат в левойполуплоскости (рис. 6.21).Передаточную функцию разомкнутой системы в этом случае можно представитьв видеДля устранения неопределенности при изменении частоты отможноиспользовать изложенный выше прием и отнести три корня, .лежащих на мнимой оси, клевой полуплоскости, обойдя их справа по полуокружностям бесконечно малого радиуса.В этом случае на частотахмодульбудет стремиться кбесконечности, а аргумент W(р) при прохождении этих частот должен претерпеватьприращение —180°, т. е. разрывы а.
ф. х. должны дополняться полуокружностьюбесконечного радиуса в направлении по часовой стрелке.Это изображено на рис. 6.22. На рис. 6.22, а показана а. ф. х. разомкнутой системы,устойчивой в замкнутом состоянии. А. ф. х. построена только для положительных частот.При частотеа. ф. х. уходит в бесконечность, асимптотически приближаясь кпрямой, составляющей с осью вещественных угол, равный.Далее а. ф. х.
дополнена полуокружностью бесконечного радиуса, и при w > β онавозвращается на бесконечности вдоль той же асимптоты. Дальнейший ход а. ф. х. являетсяобычным.Из рисунка 6.22, а видно, что а. ф. х. разомкнутой системы не охватывает точку (-1,j0). В данном случае это должно соответствовать устойчивости замкнутой системы.На рисунке 6.22 б изображен другой случай, когда расположение а. ф. х. таково, чтов замкнутом состоянии система оказывается неустойчивой, так как а. ф.х. охватываетточку (-1, j0).Достоинством критерия Найквиста является возможность использования дляопределения устойчивости снятых экспериментально частотных характеристик.
Этооказывается особенно ценно в том случае, когда ввиду сложности исследуемой системытрудно получить исходные дифференциальные уравнения всей системы или ее отдельныхблоков.Большое практическое преимущество критерия Найквиста заключается в том, что онможет применяться при использовании логарифмических характеристик, которые вомногих случаях могут строиться почти без вычислительной работы. Этот вопрос будетрассмотрен в следующем параграфе.В качестве иллюстрирующего примера рассмотрим следящую систему,изображенную на рисунке 6.4.
для этой системы была получена передаточная функцияразомкнутой системыk.W ( p) =p (1 + T у p )(1 + TМ p )Нетрудно видеть, что все корни знаменателя, кроме одного нулевого корня, лежат влевой полуплоскости. Поэтому в устойчивой системе а. ф. х. не должна охватывать точку(-1, j0).Частотная передаточная функцияk.W ( jw) =jw(1 + jwT у )(1 + jwTМ )Модуль ееkA( w) =2 2w 1 + w T у ⋅ 1 + w 2TМ2и фазаψ ( w) = −90 D − arctg ( wT у ) − arctg ( wTМ ) = −90 D − arctgw(T у + TМ )1 − w 2TМ T у., можно вычислить модуль иЗадаваясь различными значениями частоты от 0 дофазу. По модулю и фазе легко строится вектор W( ) либо вычисляются предварительновещественная и мнимая части частотной передаточной функцииВвиду достаточно простого выражения для частотной передаточной функции вданном примере можно легко найти U ( ) и V ( ), разлагая непосредственно комплексW( ) на вещественную и мнимую части:Результаты расчетов сводятся в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
