Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 29
Текст из файла (страница 29)
е. прохождение кривой Михайлова черезначало координат.Предположим, что два рассматриваемых параметра системы регулирования А и Ввходят линейно в характеристический комплекс. Тогда для границы устойчивостиколебательного типа уравнениераспадается на два уравнения:(6.26)Здесь величина ю дает значение чисто мнимого корня, т. е. частоту гармоническихколебаний системы.Два последних выражения представляют собой параметрические уравнения границыустойчивости при соблюдении дополнительного условия отрицательности вещественныхчастей всех остальных корней, кроме чисто мнимых. Полная же совокупность всехкривых на плоскости параметров, разбивающая всю плоскость на области с определеннымраспределением корней, называется D-разбиением плоскости параметров.
Обычнопрактическое значение имеет лишь часть кривых D-разбиения, соответствующая границеустойчивости.Для упрощения выделения границ области устойчивости из всего комплекса кривыхD-разбиения на плоскости двух параметров вводится штриховка этих кривых,производимая по правилу, которое будет приведено без доказательства.
Перемещаясьвдоль кривой в сторону увеличения со, надо штриховать ее с левой стороны, если будетположительным определитель, составленный из частных производных (6.26):(6.27)Если же определитель отрицателен, то кривую надо штриховать справа. Присоблюдении этого правила штриховка будет направлена внутрь области устойчивости,если параметр А отложен по оси абсцисс вправо, а параметр В — по оси ординат вверх.В качестве иллюстрации рассмотрим следящую систему, схема которой изображенана рис.
6.4. Для этой системы было получено характеристическое уравнениеПредположим, что электромеханическая постоянная времени двигателя Тм являетсязаданной величиной и требуется построить область устойчивости в плоскости двухпараметров: общего коэффициента усиления К и постоянной времени усилителя Ту.Характеристический комплекс.Уравнения, определяющие границу устойчивости,Решая их совместно относительно параметров К и Tу, получимЗадаваясь затем различными значениями ω в пределах от нуля до бесконечности, поэтим формулам можно вычислить значения искомых параметрови составить табл.
6.1, одинаковую для положительных и отрицательных частот.По полученным данным строим кривую D-разбиения (рис. 6.12). Кривая имеетгиперболический вид с асимптотамипри ω = 0 и Ту =0, при.Для нанесения штриховки найдем знак определителя (6.27). Необходимые для этогочастные производные будут при А = К и В = Tу:Определитель получается равнымДля отрицательных частот, т.
в. при изменении частоты в пределах отдо 0,полученный определитель будет положительным. Поэтому при движении по полученнойкривой снизу вверх (отдо 0) необходимо штриховать область, лежащую слева откривой.,Для положительных частот, т. е. при изменении частоты в пределах от 0 дополученный определитель будет отрицательным. Поэтому при движении по полученнойкривой сверху вниз (от 0 до) необходимо штриховать область, лежащую справа откривой. Снизу полученной кривой получится двойная штриховка.Область устойчивости практически уже сформировалась.
Так как параметры К и Тудолжны быть положительными, область устойчивости будет ограничиваться полученнойкривой и положительными направлениями осей К и Tу.Это можно показать и на основе использования двух оставшихся условийустойчивости. Граница устойчивости первого типа будет получена, если приравнять нулюсвободный член, аn = 0, что дает условие К = 0. Это условие выполняется на оси ординат.Граница устойчивости третьего типа получается при а0 = 0, что дает условие Ту = 0. Этоусловие выполняется на оси абсцисс.Таким образом, область устойчивости в плоскости параметров К и Ту полученаокончательно. Для любых значений К и Tу можно сразу ответить, устойчива илинеустойчива система, смотря по тому, попадает или не попадает точка, определяемаяэтими значениями параметров, в область устойчивости.§ 6.5. Критерий устойчивости НайквистаВ главе 5 было введено понятие передаточной функции разомкнутой системы.
Этафункция может быть представлена в виде(6.28). Припричем степень числителя не может быть выше степени знаменателя,подстановкеполучается частотная передаточная функция разомкнутой системы(6.29)Частотная передаточная функция разомкнутой системы представляет собойкомплексное число. На основании рассмотренных в главе 4 частотных характеристиксмысл ее можно объяснить следующим образом (рис. 6.13). Представим себе системурегулирования в разомкнутом состоянии в виде некоторого звена с передаточнойфункцией W(р). Если на вход этого звена подавать сигнал ошибки в виде гармоническихс амплитудой Xmах и частотой ω, то в установившемся режимеколебанийна выходе регулируемая величина будет изменяться также по гармоническому законус амплитудой Уmах той же частотой со и фазовым сдвигом .Модуль частотной передаточной функции представляет собой отношение амплитудвыходной и входной величин:а аргумент — сдвиг фаз.Если изменять частоту входного воздействия оти откладывать накомплексной плоскости точки, соответствующие получающимся комплексным числам, тогеометрическое место этих точек образует амплитудно-фазовую характеристикуразомкнутой системы (рис.
6.14).Ветвь этой характеристики, соответствующая отрицательным частотам, являетсязеркальным отражением ветви, соответствующей положительным частотам, относительновещественной оси.На амплитудно-фазовой характеристике для удобства могут отмечаться точки,соответствующие определенным частотам, например ω1, ω 2, ω3 и т.д. Вдоль кривойиногда рисуют стрелки, которые показывают направление возрастания частоты ω (рис.6.14).В реальных системах всегда удовлетворяется условие m < n. Поэтому при частоте,стремящейся к бесконечности, модуль частотной передаточной функции стремится кпопадает в начало координат.нулю и точка с частотойСформулируем достаточные и необходимые требования к амплитудно-фазовойхарактеристике разомкнутой системы, при выполнении которых система автоматическогорегулирования в замкнутом состоянии будет устойчивой.Ограничим вначале задачу и будем рассматривать только такие передаточныефункции (6.28), которые соответствуют статическим системам.
Это значит, чтознаменатель (6.28) не будет иметь в качестве множителя оператор р. Кроме того, будемпока рассматривать только устойчивые в разомкнутом состоянии системы. Это значит,что полюсы выражения (6.28), т. е. корни уравнения(6.30)лежат в левой полуплоскости.Введем в рассмотрение вспомогательную функцию(6.31)где числитель(6.32)представляет собой характеристический полином системы. Сделаем подстановкуи найдем комплекс(6.33)и изобразим получившуюсяБудем теперь изменять частоту отамплитудно-фазовую характеристикуна комплексной плоскости (рис.
6.15, а).Рассмотрим результирующий угол поворота векторапри изменении частоты от. Этот угол представляет собой изменение аргумента (6.33), который поправилу деления комплексных чисел равен разности аргументов числителяизнаменателя :.Числитель (6.33) представляет собой характеристический комплекс. Если все корнихарактеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, то при изменении частотыотаргументизменится на величину, где n — степеньхарактеристического полинома.
При построении кривой Михайлова результирующийугол поворота был равен, но там частота изменялась от 0 до.Знаменатель (6.33) представляет собой комплекс той же степени n, причем попредположению все корни (6.30) лежат в левой полуплоскости.Поэтому результирующий угол поворота векторапри изменении частоты отбудет равен.Отсюда следует, что в рассматриваемом случае результирующий угол поворотавекторабудет равен нулю:. Это означает, что для устойчивой вне должен охватывать началазамкнутом состоянии системы годограф векторакоординат (рис.
6.15, а).Частотная передаточная функцияотличается от вспомогательной функциина единицу. Поэтому можно строить амплитудно-фазовую характеристикуразомкнутой системы по выражению (6.29), что проще. Но в этом случае амплитуднофазовая характеристика не должна охватывать точку с координатами (— 1, j0). Этоявляется достаточным и необходимым условием того, чтобы система была устойчивой взамкнутом состоянии (рис. 6.15, б).При определении устойчивости достаточно построить амплитудно-фазовуюхарактеристику только для положительных частот, так как ее ветвь, соответствующаяотрицательным частотам, может^быть легко получена зеркальным отображениемотносительно оси вещественных.На рис.
6.16, а изображен случай так называемой абсолютно устойчивой системы.Этот термин означает, что система остается устойчивой при любом уменьшениикоэффициента усиления разомкнутой цепи. Напомним, что передаточная функцияразомкнутой статической системы может быть представлена в видеНетрудно видеть, что уменьшение общего коэффициента усиления К приводит куменьшению модуля (6.29), а это в случае, изображенном на рис.
6.16, а, не можетпривести к охвату годографом точки (—1, j0).На рис. 6.16, б изображен случай так называемой условно устойчивой системы. Здесьсистема будет устойчивой при значении общего коэффициента усиления, лежащем внекоторых пределах. Как увеличение, так и уменьшение общего коэффициента усиленияК может привести к охвату годографом точки (—1, j0), что будет соответствоватьнеустойчивости системы в замкнутом состоянии.На рис. 6.16, в изображен случай, когда система находится на границе устойчивости.Граница устойчивости будет колебательного типа. Это вытекает из того, что принекоторой частоте, при которой годограф пересекает точку (—1, jО), имеет месторавенство, что может быть записано в виде.Последнее выражение представляет собой характеристическое уравнение, котороеобращается в нуль при подстановке.
Таким образом, чисто мнимый кореньявляется решением характеристического уравнения.На рис. 6.16, г изображен случай неустойчивой системы.Обратимся теперь к передаточной функции разомкнутой системы, соответствующейастатизму первого порядка. В этом случае передаточная функция может быть изображенав видеБудем предполагать, что все корни знаменателя передаточной функции (кроменулевого корня р = 0) лежат в левой полуплоскости, т.е. в разомкнутом состояниисистема является нейтрально устойчивой.Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы будет иметь разрывнепрерывности в точке.В этой точке модуль, а фаза делает скачок на 180°. Для полученияопределенности в ходе амплитудно-фазовой характеристики необходимо отнести нулевойкорень знаменателя передаточной функции Тy (р) либо к левой, либо к правойполуплоскости корней (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
