Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 27
Текст из файла (страница 27)
малые нелинейные члены не могут в этом случае нарушить устойчивость системы.2. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет1 хотя быодин корень с положительной вещественной частью, то реальная система будет такженеустойчивой, т.
е. малые нелинейные члены не могут сделать ее устойчивой.3. При наличии нулевых и чисто мнимых корней поведение реальной системы невсегда даже качественно определяется ее линеаризованными уравнениями. При этом дажемалые нелинейные члены могут коренным образом изменить вид переходного процесса,сделав систему устойчивой или неустойчивой.Опираясь в своих линейных расчетах на эти теоремы Ляпунова, необходимо всегдаиметь в виду, что они, во-первых, относятся к исследованию устойчивости в малом, т. е. вмалой окрестности данного состояния равновесия, когда кривая СВ мало отличается отпрямой СD (см.
рис. 3.2) и, соответственно, отбрасываемые в формуле члены малы. Вовторых, все это относится только к описанному выше способу линеаризации уравнений—разложению нелинейных функций в степенные ряды, что геометрически соответствуетзамене кривой отрезком касательной, а не к какому-либо другому способу линеаризации.К сильно выраженным нелинейностям на больших участках, в том числе и кнелинейностям релейного типа, эти теоремы, вообще говоря, неприменимы. Дляисследования устойчивости нелинейных систем общего вида имеются другие теоремыЛяпунова, так называемый прямой метод Ляпунова или, по старой терминологии, «втораяметода» Ляпунова, которые будут изложены ниже, в главе 17.Далеко не всегда бывает удобно вычислять корни характеристического уравнения.Поэтому желательно иметь такие критерии, с помощью которых можно было бы судитьоб устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристическогоуравнения, без вычисления корней.
Эти критерии называются критериями устойчивости.Покажем, что необходимым (но не достаточным) условием устойчивости системыявляется положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Этозначит, что при положительности всех коэффициентов система может быть устойчивой,но не исключена возможность неустойчивости системы. Если же не все коэффициентыхарактеристического уравнения положительны, то система наверняка неустойчива иникаких дополнительных исследований устойчивости не требуется.Заметим, что вместо того, чтобы быть положительными, все коэффициентыхарактеристического уравнения могут быть отрицательными. Умножая все членыхарактеристического уравнения на минус единицу, можно сделать все коэффициентыположительными, т.
е. в этом случае выполнить указанное выше требование.Для доказательства сформулированного необходимого условия устойчивости будемвначале предполагать, что все корни вещественные. Представим левую частьхарактеристического уравнения (6.9) в виде произведения,где p1, . . ., рn — корни характеристического уравнения. При этом будем считать, чтоа0 > 0. Это всегда можно выполнить умножением уравнения на минус единицу.В устойчивой системе все корни должны быть отрицательными, т.
е.и т. д. При этом получимЕсли теперь раскрыть скобки и вернуться к уравнению вида (6.9), то всекоэффициенты уравнения получатся положительными, так как, перемножая и складываяположительные величиныи т. д., нельзя получить отрицательныхвеличин.При наличии в решении характеристического уравнения комплексных корней сотрицательной вещественной частью, например, результат неизменится, так как множители, соответствующие этим корням, будут иметь вид.Очевидно, что появление такого множителя не может изменить вывод оположительности всех коэффициентов характеристического уравнения.Имея в виду рассмотренное необходимое условие устойчивости, далее будем всегдапредполагать, что все коэффициенты характеристического уравнения положительны.Необходимое условие устойчивости становится достаточным только для уравненийпервого и второго порядков.
В этом случае система будет устойчивой приположительности всех коэффициентов характеристического уравнения, в чем нетрудноубедиться прямым нахождением корней уравнения.§ 6.2. Критерий устойчивости Гурийца.Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемыхдифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 годудля уравнений четвертой и пятой степени и в. 1877 году — полностью.Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющегопоследовательность математических операций, необходимых для решения задачи,использование его в практике является неудобным.
Поэтому большее распространениеполучил алгебраический критерий устойчивости, сфор купированный в 1895 годуматематиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкогопрофессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу)коэффициентов, содержащую n строк и n столбцов:(6.11)Эта таблица составляется следующим образом.По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются всекоэффициенты по порядку от а1 до аn. Каждая строка дополняется коэффициентами свозрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными ичетными индексами.
В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс егоменьше нуля или больше п, на месте его пишется нуль.Критерий устойчивости сводится к тому, что при а0 > 0 должны быть больше нулявсе п определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.Определители Гурвица составляются по следующему правилу (см.
(6.11)):(6.12)(6.13)(6.14)Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнемстолбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определительГурвица выражается через предпоследний следующим образом:(6.15)Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен бытьположительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится кусловию аn >0, т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить,приравнивая нулю последний определитель:, при положительности всехостальных определителей.
Как следует из (6.15), это условие распадается на два условия:аn = 0 и. Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа(апериодическая граница устойчивости) и второе — границе устойчивости второго типа(колебательная граница устойчивости).Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерияустойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивостидля системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.1.
Уравнение первого порядкаДля этого уравнения критерий Гурвица даетт. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.2. Уравнение второго порядкаДля этого уравнения критерий Гурвица требуетПоследний определитель, как отмечалось выше, сводится к условиюположительности последнего коэффициента: а2 > 0.Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточнымусловием устойчивости является положительность всех коэффициентовхарактеристического уравнения.3. Уравнение третьего порядкаДля этого уравнения получаем условияТретий (последний) определительдает условие а3 > 0.
Условиепри а0 > 0,а4 > 0 и а3 > 0 может выполняться только при а2 > 0.Следовательно, для уравнения третьего порядка уже недостаточно положительностивсех коэффициентов характеристического уравнения. Требуется еще выполнениеопределенного соотношения между коэффициентами.4. Уравнение четвертого порядкаНа основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертогопорядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия5. Уравнение пятого порядкаДля уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов,должны выполняться еще два условия:Как видно, уже для уравнения пятой степени условия устойчивости по критериюГурвица получаются достаточно громоздкими.
Поэтому использование этого критерияпрактически ограничивается уравнениями четвертого порядка.Существенным недостатком критерия Гурвица является также то, что для уравненийвысоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива илинеустойчива система автоматического регулирования. При этом в случае неустойчивойсистемы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы,чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев,которые были бы более удобными в инженерной практике. Для иллюстрации применениякритерия Гурвица рассмотрим пример наопределение устойчивости дистанционной следящей системы.
Принципиальная иструктурная схемы изображены на рис. 6.4. В качестве чувствительного элементаиспользованы два сельсина (СД и СП), включенные по трансформаторной схеме.Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи схемы:где— ошибка, равная разности углов поворота командной иисполнительной осей.Передаточная функция усилителя:где k2 — коэффициент усиления и Ту — постоянная времени усилителя.Передаточная функция двигателя (Д):— коэффициент передачи двигателя по скорости, а Тм —гдеэлектромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каскадомусилителя.Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи,определяемому передаточным отношением:Так как цепь регулирования состоит из включенных последовательно звеньев, топередаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению передаточныхфункций отдельных звеньев:где— общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.Характеристическое уравнение:1 + W (р) = 0.После подстановки W(р) получаемВ данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
