Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Заданное движение системы определяется некоторым законом изменения координат:х10 (t), х20 (t), . . ., хn0 (t).Аналогично случаю равновесия положения заданное движение можно назватьневозмущенным движением. Приложение внешних сил к рассматриваемой системевызовет отклонение действительного движения от заданного: x1(t) ≠ x10(t), х2(t) ≠ х20(t) и т.д. Это движение будет возмущенным.Заданное невозмущенное движение будет устойчивым, если в результатеприложения внешних сил, которые затем снимаются, возмущенное движение поистечении некоторого времени войдет в заданную область:.Рассмотрим вопрос устойчивости более подробно. Пусть система регулированияописывается нелинейными дифференциальными уравнениями в форме Коши(6.1)Если при t = t0 заданы начальные значения хi0 (i = 1, 2, .
. ., n), ( то решениеможет быть представлено в виде), где i = 1, 2, . . ., n.Пусть установившиеся процессы в системе характеризуются координатами. Введем также отклонения координат(i = 1, . . ., n),характеризующие отклонения процесса от установившегося.Систему уравнений (6.1) перепишем для отклонений:где fi — некоторые нелинейные функции. Эти уравнения называются уравнениямивозмущенного движения. Их тривиальные решениясоответствуютневозмущенному движению, так как при этом.Начальные значения отклоненийносят название возмущений. Решение системы(6.2) для некоторых начальных отклоненийпредставляетсобой возмущенное движение.А.
М. Ляпунов [82] дал следующее определение устойчивости.Невозмущенное движение (при) называется устойчивым по отношению кпеременным жг, если при всяком заданном положительном числе А2, как бы мало оно ни(А2) так, что для всех возмущенийбыло, можно выбрать другое положительное число, удовлетворяющих условию(6.3)возмущенное движение (6.2) будет для времениудовлетворять неравенству(6.4)Здесь , — некоторые весовые коэффициенты, необходимые для уравниванияфизических размерностей величин.Геометрическая интерпретация этого условия заключается в следующем. Впространстве координат; достроим две сферы с радиусами и А.
Система будетустойчивой, если при возмущениях, не выведших изображающую точку М() из пределов сферы , возмущенное движение будет таково, что, начинаяс некоторого времени, изображающая точка М () будет в пределахсферы А.Если с течением времени изображающая точка стремится к началу координат, т. е.то система асимптотически устойчива.Несколько другое изложение этой теоремы будет дано ниже в § 16.1.Перейдем теперь к вопросу устойчивости линейных, а точнее, линеаризованныхсистем регулирования.Рассмотрим дифференциальное уравнение движения линеаризованной системыавтоматического регулирования, записанное для регулируемой величины у (t) приналичии управляющего воздействия g (t) и при равенстве нулю возмущающихвоздействий:(6.5)Коэффициенты а0, . .
., аn и b0, . . ., bm представляют собой постоянные величины, аоператор.Дифференциальное уравнение движения системы регулирования можно записать идля возмущающего воздействия. В этом случае левая часть (6.5) останется без изменения,а правая часть будет иметь иной вид. В общем виде дифференциальное уравнение,определяющее изменение регулируемой величины, может быть записано так, что в правойего части будет находиться некоторая функция времени f (t).Характер переходных процессов в системе определяется видом левой частидифференциального уравнения (6.5). Поэтому для определения качественной картиныпереходных процессов является практически безразличным, записать ли исходноедифференциальное уравнение для управляющего или возмущающего воздействия.Уравнение (6.5) может с равным успехом быть записано для ошибки регулированиях (t). При этом левая часть уравнения (6.5) полностью сохраняет свой вид.Процесс регулирования определяется решением дифференциального уравнения каксумма двух решений — частного решения неоднородного уравнения (6.5) с правой частьюи общего решения уравнения (6.5) без правой части, т.
е. с правой частью, равной нулю:(6.6)В случае yчасти (t) = const это будет установившееся значение. II ервое слагаемое (6.6)называют также вынужденным решением ув (t), а второе слагаемое — переходнойсоставляющей yп (t). Тогда формула (6.6) может быть записана в видеСистема будет называться устойчивой, если с течением времени припереходная составляющая будет стремиться к нулю:. Найдем этусоставляющую из (6.5). Для этой цели необходимо решить дифференциальное уравнениебез правой части(6.7)Общее решение ищется в видеДифференцируя это выражение n раз и подставляя в (6.7), получаем послесокращения на общий множитель(6.8)Полученное алгебраическое уравнение называется характеристическим.
Корни егобудут определять характер переходного процесса в системе. Нетруднозаметить, что по своему виду левая часть (6.8) полностью совпадает с левой частью (6.5).Поэтому характеристическое уравнение получается приравниванием левой части (6.5)нулю:(6.9)Однако здесь букваозначает уже не символ дифференцирования, а некотороекомплексное число, которое является решением (корнем) характеристического уравнения.Так как в решении характеристического уравнения содержится п кор-, ней, топереходная составляющая может быть записана в виде(6.10)Сп —где— корни характеристического уравнения, С1,...,Cn . постоянныеинтегрирования, определяемые из начальных условий.Корни характеристического уравнения определяются только видом левой частиуравнения (6.5).
Постоянные интегрирования определяются также и видом правой егочасти. Поэтому быстрота затухания и форма переходного процесса определяются каклевой, так и правой частями исходного дифференциального уравнения. Однако посколькув понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затуханияпереходного процесса (независимо от быстроты затухания и формы переходногопроцесса), то устойчивость линейной системы не зависит от вида правой частидифференциального уравнения (6.5) и определяется только характеристическимуравнением (6.9).Чтобы определить, устойчива система или нет, нет необходимости решатьхарактеристическое уравнение и определять его корни. Выясним, какие свойства корнейнеобходимы и достаточны для того, чтобы система была устойчивой.Корни могут быть вещественными, комплексными и чисто мнимыми. Рассмотримэти случаи.1. Вещественный корень.
Пусть один из корней, например p1, являетсявещественным. Если он отрицательный (), то слагаемое, определяемое этим. Очевидно, что прикорнем в (6.10), будет представлять собой экспонентуэтот член будет затухать.Приполучится не затухающий, а расходящийся процесс (рис. 6.2, а).2. Комплексные корни. Комплексные корни бывают попарно сопряженными. Приотрицательной вещественной части два корня, например р1 и р2, будут иметь вид. В этом случае слагаемые, определяемые этими корнями в уравнении(6.8), могут быть представлены в виде— новые постоянные интегрирования.гдеНетрудно видеть, что в этом случае получаются затухающие колебания, причеммнимая часть корня представляет собой круговую частоту затухающих колебаний, а— показатель затухания, определяющий затухание огибающей к кривой переходногопроцесса (рис.
6.2, б).При положительной вещественной частиколебания будут незатухающими, а расходящимися (рис. 6.2, в).. Слагаемое,3. Чисто мнимые корни. В этом случаеопределяемое этими корнями в (6.10), будет представлять собой незатухающиеколебания, т. е. колебания с постоянной амплитудой:Такой процесс изображен на рис. 6.2, г.Следовательно, для затухания переходного процесса необходимо, чтобывещественные части корней были отрицательными. Это относится как к вещественным,так и к комплексным корням. Если хотя бы один ко рень характеристического уравнениябудет иметь положительную вещественную часть, то переходный процесс в целом будетрасходиться, т.е.
система окажется неустойчивой.Корни характеристического уравнения можно представить в виде точек накомплексной плоскости величины р (рис. 6.3).Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корнилежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хотя бы один корень окажетсясправа от мнимой оси, то система будет неустойчивой.
Таким образом, мнимая осьпредставляет собой граничную линию в плоскости корней, за которую не должныпереходить корни характеристического уравнения. Вся левая полуплоскость представляетсобой при этом область устойчивости.Превращение устойчивой системы в неустойчивую произойдет в том случае, еслихотя бы один вещественный или пара комплексных корней перейдет из левойполуплоскости в правую. Границей перехода будет так называемая граница устойчивостисистемы.
Система будет находиться на границе устойчивости при наличии:1) нулевого корня;2) пары чисто мнимых корней;3) бесконечного корня.Во всех трех случаях предполагается, что все остальные корни имеют отрицательныевещественные части.В первом случае вещественный корень попадает на границу устойчивости (осьмнимых) в начале координат, т. е. выполняется условие рk=0.
Это означает, что вхарактеристическом уравнении (6.9) будет отсутствовать свободный член аn = 0.Дифференциальное уравнение (6.5) в этом случае может быть записано в видеи система будет устойчивой не относительно регулируемой величины у, аотносительно ее скорости изменения ру. Величина же отклонения регули руемойвеличины может принимать произвольные значения. Такую систему называют нейтральноустойчивой, имея в виду ее безразличие к значению самой регулируемой величины.На границе устойчивости второго типа, которая называется колебательной границейустойчивости, два корня попадают на ось мнимых. Система в этом случае будет иметьнезатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой (рис.
6.2, г).Наконец, вещественный корень может попасть из левой полуплоскости в правую,проходя через бесконечность. В этом случае соответствующее слагаемоеввыражении (6.10) обращается в нуль, что соответствует понижению порядкадифференциального уравнения на единицу. Это будет при а0 = 0. Граница устойчивоститретьего типа встречается сравнительно редко, и в дальнейшем будут рассматриватьсяпрактически только первый и второй типы границы устойчивости.Как было сказано выше, ни одна реальная система автоматического регулированияне является строго линейной.
Линейные характеристики звеньев и линейныедифференциальные уравнения получаются путем линеаризации реальных характеристик иуравнений. При разложении в ряд Тейлора удерживались линейные члены иотбрасывались члены высших порядков, которые для малых отклонений считалисьпренебрежимо малыми.Обоснование законности такой линеаризации содержится в теоремах Ляпунова.1. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни сотрицательными вещественными частями, то реальная система будет также устойчивой, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
