Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Нетрудновидеть, что условие положительности всех коэффициентов выполняется всегда, есливыполнено условие К > 0, что будет при правильном согласовании направления вращениядвигателя со знаком рассогласования.Дополнительное условие, накладываемое на коэффициентыхарактеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентовк неравенствукоторое и является условием устойчивости рассматриваемой системы.Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждойпостоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как приэтом снижается предельное значение общего коэффициента усиления К, при которомсистема еще остается устойчивой.§ 6.3.
Критерий устойчивости МихайловаРассмотрим отдельно левую часть характеристического уравнения (6.9), котораяпредставляет собой характеристический полином:(6.16)Подставим в этот полином чисто мнимое значение, где представляетсобой угловую частоту колебаний, соответствующих чисто мнимому корнюхарактеристического уравнения. При этом получим характеристический комплекс(6.17)где вещественная часть будет содержать четные степени со:(6.18) а мнимая — нечетные степени :(6.19)представляют собой модуль и фазу (аргумент)Функциихарактеристического комплекса.Характеристический полином (6.16) не будет иметь корней в правой полуплоскости,если полное приращение фазы или аргументапри изменении от 0 до ∞ равно,где n — степень полинома D(р).
Следовательно, система регулирования будет устойчивой.Если полное приращение аргументаокажется меньше, то система неустойчива.Докажем это.Если все коэффициенты заданы и задано определенное значение частоты , товеличинаизобразится на комплексной плоскости в виде точки с координатами X иУ или в виде вектора, соединяющего эту точку с началом координат. Если же значениечастоты со менять непрерывно от нуля до бесконечности, то вектор будет изменяться повеличине и по направлению,описывая своим концом некоторую кривую (годограф), которая называется кривойМихайлова (рис.
6.5).Практически кривая Михайлова строится по точкам, причем задаются различныезначения частоты и по формулам (6.18) и (6.19) вычисляются X ( ) и У ( ). Результатырасчетов сводятся в таблицу, по которой и строится затем кривая.Выясним связь между видом крж-вой Михайлова и знаками вещественных корнейхарактеристического уравнения. Для этого определим, чему должен равняться уголповорота векторапри изменении от нуля до бесконечности. Для этогозапишем характеристический полином в виде произведения сомножителей(6.20)где р1, . .
., рn — корни характеристического уравнения.Характеристический вектор можно тогда представить в следующем виде:(6.21)Каждая из скобок представляет собой комплексное число. Следовательно,представляет собой произведение n комплексных чисел. При перемножении аргументыкомплексных чисел складываются. Поэтому результирующий угол поворота векторапри изменении от нуля до бесконечности будет равен сумме углов поворотаотдельных сомножителей (6.21):(6.22)Определим каждое слагаемое (6.22) в отдельности.1. Пусть какой-либо корень, например р1: является вещественным иотрицательным, т. е..
Сомножитель в выражении (6.21),.определяемый этим корнем, будет тогда иметь видПостроим годограф этого вектора на комплексной плоскости при изменении отнуля до бесконечности (рис. 6.6, а). При = 0 вещественная часть X = а1, а мнимая У = 0.Этому соответствует точка А, лежащая на оси вещественных. Привектор будетизменяться так, что его вещественная часть будет по-прежнему равна , а мнимая часть(точка В на графике). При увеличении частоты до бесконечности конец векторауходит в бесконечность, причем конец вектора все время остается на вертикальнойпрямой, проходящей через точку А, а вектор поворачивается против часовой стрелки.Результирующий угол поворота вектора2.
Пусть теперь корень р1 является вещественным и положительным, т. е.,причем. Тогда сомножитель в (6.21), определяемый этим корнем, будет иметь вид. Аналогичные построения (рис. 6.6, б) показывают, что результирующийугол поворота будет. Знак минус показывает, что вектор поворачивается почасовой стрелке.3.
Пусть два корня, например р2 и p3 представляют собой комплексные сопряженныевеличины с отрицательной вещественной частью, т. е. р2,3 =. Сомножители ввыражении (6.21), определяемые этими корнями, будут иметь вид.При = 0 начальные положения двух векторов определяются точками А1 и А2 (рис.6.7, а). Первый вектор повернут относительно оси вещественных по часовой стрелке наугол, второй вектор — на тот же угол против часовой стрелки.
Приувеличении от нуля до бесконечности концы обоих векторов уходят кверху вбесконечность и оба вектора в пределе сливаются с осью мнимых.Результирующий угол поворота первого вектораповорота второго вектора. Результирующий угол. Вектор, соответствующий произведению, повернется на угол4. Пусть те же комплексные корни имеют положительную вещественную часть, т.е.. Проводя построения, аналогичные предыдущим (рис. 6.7, б), можнополучить, что результирующий угол поворота вектора, соответствующего произведениюдвух сомножителей, будет.Таким образом, если характеристическое уравнение будет иметь I корней сположительной вещественной частью, то, каковы бы ни были эти корни (вещественные. Всемили комплексные), им будет соответствовать сумма угловповоротов, равнаяже остальным n — l корням характеристического уравнения, имеющим отрицательныевещественные части, будет соответствовать сумма углов поворотов, равная (n — l)при изменении со от нуля дорезультате общий угол поворота векторабесконечности, согласно формуле (6.22), будет.В(6.23)Этим выражением и определяется искомая связь между формой кривой Михайлова изнаками вещественных частей корней характеристического уравнения.
В 1936 году А. В.Михайловым был сформулирован следующий критерий устойчивости для линейныхсистем любого порядка.Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы вектор, описывающий кривую Михайлова, при изменении от нуля до бесконечностиимел угол поворотаЭта формулировка непосредственно вытекает из (6.23). Для устойчивости системынеобходимо, чтобы все корни лежали в левой полуплоскости, т. е. должно быть l=0.Отсюда определяется требуемый результирующий угол поворота вектора.Оказывается, что кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавнуюспиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в том квадрантекомплексной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения п(рис.
6.8). Число квадрантов, большее чем n, кривая Михайлова вообще не может пройти.Поэтому неустойчивость системы всегда связана с тем, что в кривой Михайлованарушается последовательность прохождения квадрантов, вследствие чего угол поворотаоказывается меньшим чем(рис. 6.9).вектораСказанное выше позволяет сформулировать критерий Михайлова в несколькоизмененном виде. Для устойчивой системы кривая Михайлова проходит последовательноп квадрантов.
Поэтому корни уравнений X ( ) = = 0 и У ( ) = 0 должны чередоваться. Таккак кривая Михайлова всегда начинается с точки, расположенной на оси вещественных(рис. 6.8), где мнимая часть обращается в нуль: У ( 1) = У (0) = 0, то при постепенномувеличении частоты от нуля до бесконечности должна обратиться в нуль сначалавещественная часть: X ( 2) — 0? затем мнимая: У ( 3) = 0, затем опять вещественная:X( 4) = 0 и т. д., причем 0 = < 2 < 3 < 4 < . . . .
... < n.По кривой Михайлова можно судить о том, сколько корней с положительнымивещественными частями содержит характеристическое уравнение данной неустойчивойсистемы. Для нахождения искомого числа l должна использоваться зависимость (6.23).и степеньЕсли известны результирующий угол поворота векторахарактеристического уравнения n, то в уравнении (6.23) неизвестным будет только l.При подсчете результирующего угла поворота следует иметь в виду, что причетной степени уравнения кривая Михайлова стремится к бесконечности параллельно осиX и при нечетной степени — параллельно оси У.
Это видно из выражений (6.18) и (6.19),так как при четной степени наивысшая степень будет стоять в выражении X, а. принечетной — в выражении У.Так, например, для кривой, показанной на рис. 6.9 и соответствующей n = 3,результирующий угол поворотаОтсюда имееми число корней в правой полуплоскости l = 2.Наличие границы устойчивости всех трех типов может быть определено по 'кривойМихайлова следующим образом.В случае границы устойчивости первого типа (нулевой корень) отсутствуетсвободный член характеристического полинома аn = 0 и кривая Михайлова идет из началакоординат (рис.
6.10, а).При границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости) леваячасть характеристического уравнения, т. е. характеристический полином, обращается внуль при подстановке:(6.24)откуда вытекают два равенства:(6.25)Это значит, что точка(рис. 6.10, б). При этом величинана кривой Михайлова попадает в начало координатесть частота незатухающих колебаний системы.Для границы устойчивости третьего типа (бесконечный корень) конец кривойМихайлова перебрасывается, как показано на рис. 6.10, в. При этом коэффициент а0характеристического полинома (6.16) будет проходить через нулевое значение, меняя знакплюс на минус.Необходимо помнить, что все остальные корни характеристического уравнениядолжны иметь отрицательные вещественные части.
Графически это выражается в том, чтов первых двух случаях после малой деформации кривой Михайлова около началакоординат (рис. 6.10), а в третьем случае при малом a0 > 0 кривая Михайлова должнаудовлетворять критерию устойчивости.Применим критерий Михайлова для определения устойчивости рассмотренной впредыдущем параграфе следящей системы (рис. 6.4). Из полученногохарактеристического уравнения определяем характеристический полиноми характеристический комплекс.Вещественная и мнимая части:Примерный вид кривой Михайлова для этого случая изображен на рис. 6.11.Найдем условие устойчивости из требования чередования корнейКорень 2 находится из уравнения X ( ) = 0:Отсюда имеем первое условие устойчивости К >0.
Кореньуравнения У ( ) = 0:3находится изПодставляя эти значения в требуемое условие, получаем второе условиеустойчивости системыкоторое, конечно, совпадает с полученным ранее условием устойчивости покритерию Гурвица.§ 6.4. Построение областей устойчивости. D-разбиениеПри расчете и проектировании системы автоматического регулирования иногдабывает необходимым исследовать влияние ее различных параметров на устойчивость. Длярешения этой задачи служит построение областей устойчивости, т.
е. определение такихобластей значений параметров, при которых система оказывается устойчивой.Различают построение областей устойчивости в плоскости одного параметра и вплоскости двух параметров. Ниже будет рассматриваться только построение областейустойчивости в плоскости двух параметров. Для построения таких областей на плоскостидвух параметров А и В необходимо нанести линии, соответствующие границеустойчивости. Тогда область, ограниченная этими линиями, будет представлять собойобласть устойчивости. Для того чтобы окончательно убедиться в этом, необходимо длялюбой точки, лежащей внутри полученной области, по какому-либо критерию проверитьустойчивость. Если устойчивость для этой точки будет иметь место, то она будетвыполняться и для всех других точек, лежащих в этой области.Для построения границ области устойчивости используются все три признакасуществующих типов границы устойчивости.
Для границы устойчивости первого типа этобудет равенство аn = 0. Для границы устойчивости третьего типа — равенство а0= 0.Для получения условия, соответствующего границе устойчивости второго типа(колебательной), можно использовать различные критерии устойчивости.Для систем, описываемых уравнением не выше четвертого порядка, можетприменяться критерий Гурвица. В этом случае колебательной границе устойчивостисоответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица:.Для уравнений любого порядка удобно использовать критерий Михайлова.Колебательной границе устойчивости в этом случае соответствует равенство нулюхарактеристического комплекса, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
