Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 31
Текст из файла (страница 31)
6.2.Примерный вид амплитудно-фазовой характеристики в случае устойчивойзамкнутой системы изображен на рис. 6.23. Поскольку исходная передаточная функцияимеет простой вид, задача получения устойчивости в рассматриваемой системе можетбыть решена в общем виде.
Из рис. 6.23 следует, что для получения устойчивоститочка пересечения амплитудно-фазовой характеристики с осью" вещественных (точка а)должна лежать правее точки (—1, j0). Это условие можно записать следующим образом:.илиНайдем частоту в точке а. Это можно сделать, взяв одно из условий, откуда получаемПодстановкаэтой частотывзаписанноевышенеравенство даетили, после преобразования,Таким образом, получено условие, совпадающее с найденным ранее условием,вытекающим из критериев Гурвица и Михайлова.Сделаем теперь два замечания, касающихся использования для определенияустойчивости замкнутой системы передаточной функции разомкнутой системы.Замечание 1. В случае многоконтурной системы регулирования размыкание ее дляполучения передаточной функции разомкнутой системы можно делать, вообще говоря, впроизвольном месте.
Рассмотрим, например, систему, структурная схема которойизображена на рис. 6.24.Разомкнем систему на входе первого звена. Тогда, рассматривая точку а как вход, аточку b как выход, получаем передаточную функцию разомкнутой системыРазомкнем теперь ту же систему не на входе первого звена, а в цепи обратной связивторого звена (точка с соответствует входу, а точка d — выходу).Передаточная "функция разомкнутой системы в этом случаеПередаточные функции W(р) и W’(р) получились различными. Однако имсоответствует одно и то же характеристическое уравнение замкнутой системы, которое имеет вид.Поэтому для определения устойчивости можно пользоваться передаточнойфункцией разомкнутой системы, полученной размыканием исходной системы впроизвольной точке, в которой выполняется условие детектирования.Однако^передаточные функции W(р) и W’(р) имеют различие.
Только передаточнаяфункция W(р) связывает между собой изображения регулируемой величины и ошибки итолько она связана с передаточной функцией замкнутой системы Ф (р) известнымсоотношением (5.26):Передаточную функцию при размыкании на входе первого звена в дальнейшембудем считать главной передаточной функцией разомкнутой системы и именно ее иметь ввиду при рассмотрении методов определения качества регулирования и синтеза системрегулирования.Замечание 2.
При определении устойчивости в используемой передаточной функцииразомкнутой системы можно перемещать члены знаменателя в числитель и наоборот, заисключением старшего члена знаменателя. Так, например, если имеется передаточнаяфункциято для расчета устойчивости она может быть заменена функциейВ справедливости этого нетрудно убедиться на основании того, чтохарактеристическое уравнение замкнутой системы 1 + W(р) = 1+W' (р) = 0 сохраняет приэтом свой вид:§ 6.6.
Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикамДля определения устойчивости по критерию Найквиста можно строить неамплитудно-фазовую характеристику, а логарифмическую амплитудную частотнуюхарактеристику (л.а.х.) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (л.ф.х.)разомкнутой системы.Построение л.а.х. производится по выражению,где А ( ) — модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы (6.29).Построение л.ф.х.
производится по значениючастотной передаточнойфункции (6.29). Для построения л.а.х. и л.ф.х. удобно использовать стандартную сетку,изображенную на рис. 4.10.Наиболее простое построение получается, если передаточную функцию разомкнутойсистемы можно свести к видуПри подстановкеполучаем(6.34)Фаза (аргумент) частотной передаточной функции(6.35)На основании (6.34) и (6.35) можно легко, без дополнительных вычисленийпостроить асимптотическую л.а.х., для чего на стандартной сетк& (рис. 6.25) наносятсявертикальные прямые при сопрягающих частотах. Для определенности построения возьмем передаточнуюфункцию разомкнутой системы с астатизмом первого порядка в видекоторой соответствует выражение для модуля в логарифмических единицах(6.36)Примем, что выполняется условие T1 > T2 > Т3.
Тогда для сопрягающих частот (рис.6.25) будет выполнено условие ω1 < ω 2 < ω 3.Построение асимптотической л.а.х. начинается с области низких частот. Есличастота меньше первой сопрягающей частоты: ω < ω 1, то выражение (6.36) приобретаетвидкоторому соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дб/сек, проходящаячерез точку А с координатамии через точку Е скоординатами.
Эту прямую (первую асимптоту) необходимо провестив низкочастотной области до первой сопрягающей частоты (точка В). Если этасопрягающая частота соответствует постоянной времени, находящейся в знаменателе(6.34), то необходимо «изломать» л.а.х. на 20 дб/дек вниз, т. е. провести следующуюасимптоту с наклоном, большим на 20 дб/дек. Если эта сопрягающая частотасоответствует постоянной времени, находящейся в числителе (6.34), то соответственнонеобходимо «изломать» л.а.х. на 20 дб/дек вверх.В соответствии с выражением (6.36) для рассматриваемого примера в точке Внеобходимо «изломать» л.а.х.
на 20 дб/дек вниз, в точке С — на 20 дб/дек вверх и в точкеВ — на 40 дб/дек вниз. Таким образом, последняя высокочастотная асимптота врассматриваемом примере будет иметь отрицательный наклон 60 дб/дек.Аналогичное построение л.а.х. может быть сделано при любом порядке астатизма.Разница будет заключаться в наклоне первой низкочастотной асимптоты, который долженбыть равен r·20 дб/дек. Эта асимптота может быть построена по одной точке скоординатамиили по точке пересечения асимптоты с осьючастот (осью нуля децибел), которая имеет координаты.Выражение для фазового сдвига (6.35) в рассматриваемом примере приобретает вид(6.37)Каждый из угловпредставляет, по сути дела, одну и ту же зависимостьфазового сдвига апериодического звена первого порядка от частоты.
Поэтому достаточнопостроить, например, только зависимость(см. рис. 6.25). Все остальныеслагаемые получаются простым сдвигом этой фазовой характеристики так, чтобы присоответствующей сопрягающей частоте иметь фазовый сдвиг 45°. При этом необходимоучитывать знак каждого слагаемого (6.37).Логарифмическая характеристика разомкнутой системы может не сводиться квыражению (6.34).
Если числитель или знаменатель передаточной функции разомкнутойсистемы содержит комплексные корни, то в выражениях (6.34) и (6.35) появятся члены,имеющие соответственно види. В этом случаедля построения л.а.х. удобно выделить члены, соответствующие комплексным корням.Так, например, если в простой последовательной цепи звеньев содержится колебательноезвено, то вместо выражения (6.34) можно записатьПервое слагаемое последнего выражения строится описанным выше путем.
Дляпостроения второго слагаемого можно использовать кривые, приведенные на рис. 4.18.Аналогичным образом строится л.ф.х. Для построения фазовой характеристикиколебательного звена можно использовать графики, приведенные на рис. 4.18.В более сложных случаях, когда выражение для передаточной функции разомкнутойсистемы трудно представить в виде произведения простых сомножителей и оно имеетобщий вид, построение л.а.х. и л.ф.х. можно производить обычным вычислением модуля иаргумента частотной передаточной функции при различных частотах, лежащих в пределахот 0 до.Обратимся теперь к определению устойчивости по построенным л.а.х. и л.ф.х.Ограничимся вначале случаем, когда разомкнутая система устойчива или нейтральна.Кроме того, будем пока рассматривать системы с астатизмом не выше второго порядка.Как следует из рис.
6.16, 6.18 и 6.19, в абсолютно устойчивых системах фазовыйсдвиг может достигать значениятолько при модулях, меньших чем единица,а в условно устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать —180° четное число раз(два, четыре и т. д.).Это позволяет легко определить устойчивость по виду л.а.х. и л.ф.х. разомкнутойсистемы. На рис. 6.26, а изображен случай абсолютно устойчивой системы. Точкапересечения л.а.х.
с осью децибел (точка 1) лежит левее точки, где фазовый сдвигдостигает значения = — 180° (точка 2).На рис. 6.26, б изображен случай условно устойчивой системы. Точка 1 по-прежнемулежит левее точки 2, но фазовый сдвиг достигает значения = — 180° дважды примодулях, больших чем единица (точки 3 и 4).На рис. 6.26, в изображен случай колебательной границы устойчивости я на рис.6.26, г — случай неустойчивой системы.Л.а.х.
и л.ф.х., построенные в качестве примера на рис. 6.25, соответствуютустойчивой системе.Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, а также для систем, имеющихастатизм любого порядка, требования к л.ф.х. всегда можно сформулировать на основаниивида амплитудно-фазовой характеристики, соответствующей устойчивой системе.Так, например, для системы с астатизмом третьего порядка в случае устойчивой вразомкнутом состоянии системы (см. рис.
6.20) л.ф.х. должна проходить так, как этоизображено на рис. 6.27. Фазовая характеристика при низких частотах начинается созначения фазового сдвига = — 270°. Затем фазовый сдвиг уменьшается по абсолютномузначению так, чтобы > — 180°. Фазовая характеристика должна затем «обогнуть» точкупересечения л.а.х. с осью нуля децибел (точку I), после чего фазовые сдвиги могутбыть любыми по величине.Аналогичным образом можно сформулировать требования к л.ф.х. и в другихслучаях.Иногда для определения устойчивости пользуются не л.а.х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
