Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 34
Текст из файла (страница 34)
е. функциювремени f(t), и ее частотное изображение, которое называется такжепреобразованием Фурье:В отличие от разложения в ряд Фурье здесь получается разложение в непрерывныйспектр частот с интервалом по частоте между соседними гармониками, равнымбесконечно малой величине.Недостатком интеграла Фурье является то, что он принадлежит к числунесобственных интегралов и может применяться для так называемых абсолютноинтегрируемых функций времени, т. е. для функций времени, удовлетворяющихнеравенствуОт этого недостатка свободно преобразование Лапласа, связывающееоригинал и изображение следующими интегральными уравнениями:(7.17)(7.18)причем функция времени должна быть равна нулю (f (t) = 0) при t < 0. В отличие отпреобразования Фурье здесь изображение функции времени является функцией нечастоты, а некоторой комплексной величины s = с + jω. Вещественная часть еепредставляет собой так называемую абсциссу абсолютной сходимости, котораявыбирается так, чтобы удовлетворялось неравенствоДля большинства функций, с которыми приходится иметь дело в регулировании,абсцисса абсолютной сходимости равна нулю, т.
е. с = 0. Поэтому для этих функцийпреобразование Лапласа переходит в преобразование Фурье, если произвести подстановкуs = jωУравнения (7.17) и (7.18) часто записывают в сокращенном виде:(7.19)Иногда вместо буквы 5 применяется буква р, т. е. изображение Лапласа записываетсяв виде Р (р), но в этом случае р представляет собой не оператор дифференцирования, акомплексную величину: р = с + ω [В дальнейшем изложении при использованииизображений функции времени комплексная величина будет обозначаться буквой р.Однако при этом необходимо не путать эту величину с оператором дифференцирования, который применяется при использовании функции времени (оригиналов)].В связи с этим формулы (7.19) и (7.20) могут быть записаны в виде(7.20)В некоторых случаях, особенно в задачах электротехники, используетсяпреобразование Карсона — Хевисайда, которое отличается от преобразования Лапласадополнительным умножением на величину р:(7.21)(7.22);Таким образом, между преобразованиями Лапласа и Карсона — Хевисайдасуществует соотношение(7.23)Преобразование Карсона — Хевисайда нашло распространение наряду спреобразованием Лапласа.
Это объясняется тем, что исторически первым для решениядифференциальных уравнений был использован так называемый операторный методХевисайда, который, по сути дела, использовал преобразования (7.21) и (7.22).Кроме того, удобство преобразования Карсона — Хевисайда заключается в том, чтоизображение постоянной величины А, точнее, ступенчатой функции А·1(t), равно самойпостоянной величине, что легко доказывается использованием выражения (7.21). Поэтомуво многих случаях преобразование Карсона — Хевисайда сливается с операторнойзаписью дифференциальных уравнений.Основное достоинство преобразований Фурье, Лапласа и Карсона — Хевисайдазаключается в том, что операции дифференцирования и интегрирования оригиналазаменяются алгебраическими действиями по отношению к изображениям.В табл.
7.2 приведены основные формулы и свойства изображений Лапласа иКарсона — Хевисайда. Изображение Фурье может быть получено из= изображенияЛапласа подстановкой.Формулы для дифференцирования и интегрирования оригинала даны для случаянулевых начальных условий.Для ненулевых начальных условий из (7.17) можно получить изображение поЛапласу производной оригинала (s заменено на р):(7.24)где F (р) — изображение самой функции.Аналогично для второй производной(7.25)и для производной любого порядка(7.26)При нулевых начальных условиях(7.27) или(7.28)т. е.
операция дифференцирования оригинала заменяется для изображенияумножением на комплексную величину р.Аналогичным образом можно найти изображение интеграла от функции времени:(7.31)гдепри t = 0:представляет собой значение интеграла, находящегося в левой части (7.31),Для нулевых начальных условий выражение (7.31) упрощется:т. е.
интегрированию по времени оригинала соответствует деление на изображениена комплексную величину р.Рассмотрим теперь использование изображений для решения дифференциальногоуравнения(7.32)на примере преобразования Лапласа.Перейдем в левой и правой частях (7.32) к изображениям Лапласа.При этом оператор дифференцированияв полиномах D (р) и N (р)заменяется на комплексную величину, а вместо оригиналов х (t) и f(t)появляются их изображения X (р) и F (р). В результате получаемгде D0 (р) обозначает сумму всех членов, содержащих начальные условия. Отсюданаходится изображение искомой величины:(7.33)Последнее выражение требует некоторых пояснений в связи с различнымивозможными трактовками понятия начальных условий.
Интегральное преобразованиеЛапласа (7.17) следует, вообще говоря, записать в более строгом виде (при замене s на р):(7.34)Это дает возможность введения двух несколько отличающихся понятийпреобразования Лапласа (и соответственно преобразования Карсона — Хевисайда).1. Преобразование Лапласа по начальным условиям справа. Если в выражении (7.34)нижний предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь положительным (а >0), то визображении производной (7.26) следует брать начальные условия при t = + 0, т. е.
длямомента времени, который будет сразу после приложения к системе внешнихвоздействий. В этом случаеДля использования последней формулы необходимо знание начальных условийсправа, что оказывается не всегда удобным и требует расчета по формулам § 7.3. Заметим,что даже в тех случаях, когда до приложения воздействия система находилась в покое,начальные условия справа могут быть ненулевыми и полином D0 (р), как правило, отличенот нуля.Кроме того, если рассматриваемая функция времени f(t) имеет при t = 0 особенноститипа -функции, то это обстоятельство не будет учтено в найденном изображении. Так,например, изображение самой -функции и ее производных оказывается при этом равнымнулю:2. Преобразование Лапласа по начальным условиям слева.
Если в формуле (7.34)нижний предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь отрицательным (а < 0), то ввыражении для изображения производной (7.26) следует брать начальные условия при t=0, т. е. для момента времени, который будет непосредственно предшествовать моментуприложения воздействия. Такие начальные условия называются также предначалъными. Вэтом случаеРасчет получается более простым, так как предначальные условия должны бытьизвестны всегда и никаких дополнительных операций здесь не требуется. В частномслучае, когда до приложения воздействия система находилась в покое, предначальныеусловия нулевые и выражение (7.33) приобретает вид(7.35)Только это выражение и позволяет строго сформулировать понятие передаточнойфункции ТУ(р) как отношение изображений входной и выходной величин при нулевыхпредначальных условиях.Кроме того, преобразование Лапласа в случае, когда нижний предел интегрированиястремится к нулю, оставаясь отрицательным (а < 0), позволяет учитывать наличие врассматриваемой функции при 2 = 0 особенностей типа -функции.
Так, например,изображение единичной -функции оказывается равным единице;а изображение ее производной n-го порядкаВлияние особенностей f (t) и ее первых m производных, где m — порядок полиномаN(р) , на изображение N(р)f(t) в этом случае и проявляется в виде автоматического учетаначальных условий, которые будут иметь место справа (при t = + 0) в самом изображенииN (р) Р (р) без введения дополнительного члена D0 (р) при нулевых предначальныхусловиях или без его изменения при ненулевых предначальных условиях.
В связи с этим-функция иногда называется также функцией начальных условий.В дальнейшем изложении под преобразованием Лапласа будет пониматься именноэтот случай (а < 0).Зная изображение искомой величины X (р) в виде (7.33) или (7.35), можно найтиоригинал х (t). Это и будет решением исходного дифференциального уравнения (7.32).Для отыскания оригинала х (t) по его изображению X (р) можно пользоватьсятаблицами изображений и существующими теоремами, в частности теоремой разложения,которая устанавливает следующее. Если изображение Лапласа имеет вид отношения двухмногочленов(7.36)то при отсутствии нулевых корней знаменателя(7.37)где рk — некратные корни знаменателя (7.36).Если знаменатель изображения Лапласа (7.36) имеет нулевой корень (p0 = 0), тоизображение надо представить в виде(7.38)Тогда оригинал может быть найден по формуле(7.39)Аналогичным образом теорема разложения может быть записана и дляпреобразований Карсона — Хевисайда.
Так, например, если изображение искомойвеличины может быть представлено в виде отношения двух полиномов(7.40)то при отсутствии нулевых и кратных корней знаменателя оригинал будетопределяться выражением(7.41)Это выражение полностью совпадает с формулой (7.39), так как изображенияЛапласа (7.38) и Карсона — Хевисайда (7.40) отличаются на множитель р.Использование изображений часто называют также операторным методом, хотя вдействительности операторному методу, разработанному Хеви-сайдом, оказываетсяполностью аналогичным использование только преобразований Карсона — Хевисайда(7.21) и (7.22).Метод использования |изображений обладает тем преимуществом, что в немполностью сохраняется лишь одна операция — вычисление корней характеристическогоуравнения (знаменателя изображения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
