Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Кроме того, метод Башкирова позволяет с одинаковойпростотой строить процессы регулирования при любых заданных внешних воздействиях,в том числе и заданных графически или в виде таблиц.Для получения переходных процессов с большим успехом и весьма широкоприменяются также вычислительные машины. Различаются вычислительные машинынепрерывного и дискретного (цифровые) действия. Они строятся на электронных,полупроводниковых и электромеханических элементах.Для сложных автоматических систем в настоящее время этому методу отдаетсяпредпочтение. Важно отметить, что при использовании вычислительных машин частоможно обходиться без составления дифференциальных уравнений тех звеньевавтоматической системы, для которых имеются действующие макеты.
Тогда дляостальной части звеньев набираются их дифференциальные уравнения на вычислительноймашине, к которой подключаются имеющиеся действующие макеты. Это свойство можноиспользовать для испытания и настройки регуляторов в лабораторных условиях.Ниже будет рассмотрена часть наиболее распространенных методов построениякривой переходного процесса. К ним относятся метод непосредственного решениялинейных дифференциальных уравнений или так называемый классический метод,использование преобразований Фурье, Лапласа и Карсона — Хевисайда, методтрапецеидальных вещественных частотных характеристик и использованиевычислительных машин.В дальнейшем изложении будем рассматривать построение переходного процессадля ошибки х (t). Однако методика остается единой и для других случаев построения.переходного процесса, например для отыскания у (t) при§ 7.2.
Непосредственное решение исходного дифференциального уравненияПусть система автоматического регулирования описывается линейнымдифференциальным уравнением с правой частью(7.4)Для отыскания полного решения этого дифференциального уравнения необходимонайти частное или вынужденное решение уравнения с правой частью хв (t) и определитькорни характеристического уравненияКак указывалось выше, полное решение будет иметь вид(7.5)Дальнейшим шагом является отыскание произвольных постоянных интегрированияС1,..., Сn. Для этой цели используются начальные условия: при. Начальные условия накладываютсяна основании физических соображений или находятся из дифференциального уравнения(7.4). Дифференцируя уравнение (7.5) по времени n — 1 раз и используя начальныеусловия, получают п алгебраических уравнений, куда входят п неизвестных постоянныхинтегрирования.
Совместное решение этих уравнений дает возможность определитьискомые постоянные интегрирования С1, . . ., Сn.Операции вычисления корней и совместного решения алгебраических уравненийявляются трудоемкими. Это особенно относится ко второй операции, так как вычислениекорней может быть сделано довольно быстро приближенными методами.
В связи с этимиспользование этого метода построения кривой переходного процесса ограничиваетсяслучаем сравнительно невысокого порядка дифференциального уравнения, обычно невыше третьего.Расчеты получаются более простыми в том случае, когда правая часть (7.4) равнанулю, т. е. имеется однородное дифференциальное уравнение. Тогда частное решениеравно нулю и полное решение (7.5) приобретает более простой вид:(7.6)В этом случае переходный процесс определяется только видом корней и начальнымиусловиями. В табл. 7.1 для этого случая приведены формулы для получающегосяпереходного процесса при различных степенях дифференциального уравнения п (от 1 до3) и корнях различного вида. В таблице приняты следующие обозначения:— абсолютные значения вещественных некратных корней;—абсолютные значения вещественной и мнимой частей комплексного корня; х0 —начальное значение исследуемой координаты; — начальное значения скоростиизменения исследуемой координаты;— начальное значение ускорения.§ 7.3.
Сведение неоднородного уравнения к однородномуДля типового входного воздействия вида единичной ступенчатой функции решениенеоднородного уравнения (7.4) может быть сведено к решению уравнения без правойчасти переходом к другой переменной. Примем, что f(t) = 1(t), причем единица имеетразмерность переменной, стоящей в правой части (7.4). Тогда установившееся значениеможно найти из (7.4), положив все производные равными нулю:переменной х приЭто установившееся значение представляет собой частное или вынужденное.решение неоднородного уравнения (7.4), т. е.Введем новую переменнуюРешение неоднородного уравнения (7.4) для z (t) может быть записано в виде(7.9)что подобно решению типа (7.6). Этому решению соответствует исходноедифференциальное уравнение без правой части(7101)Из уравнения (7.8) нетрудно определить связь между начальными условиями дляисходной переменной х и новой; переменной z при t = 0:После нахождения решения для переменной z по формуле (7.8) можно легковернуться к исходной переменной х смещением решения на величину xуст.Однако эти рассуждения пока справедливы для случая, когда степень операторногомногочлена в правой части (7.4) равна нулю (m = 0) и дифференциальное уравнение (7.4)имеет видЭто происходит потому, что, вообще говоря, необходимо различать начальныеусловия, которые существовали в системе до приложения возмущения, т.
е. при времениt=-0, и непосредственно сразу после его приложения, т. е. при времени t=+0. Остановимсяна этом вопросе более подробно в случае приложения возмущения типа ступенчатойфункции.Для простоты расчетов для времени t = — 0 почти всегда принимают нулевыеначальные условия, т.е.и т. д. В дальнейшем под нулевыминачальными условиями будем понимать именно эти равенства.Начальные условия, которые будут иметь место непосредственно после приложенияступенчатой функции, т.е. при t = + 0 (обозначим их x+0, х'+0, х"+0 и т.
д.), можноопределить из исходного дифференциального уравнения (7.4). Не останавливаясь надоказательстве, приведем конечные результаты. Для первых n-m начальных условийимеют место равенства(7.11)Таким образом, для самой координаты и первых (n-m-1) производных нулевыеначальные условия сохраняются и после приложения ступев-чатой функции.Для остальных начальных условий выполняются соотношения(7.12)Эти формулы показывают, что только при m = 0, т. е. для дифференциальногоуравненияпри скачке f (t), начальные условия при t = + 0соответствуют начальным условиям при t = — 0.
В формулах (7.12) множитель 1 имеетразмерность величины f (t). Если воздействие прикладывается в виде скачка, не равногоединице, то вместо 1 следует поставить величину скачка.Пример. Найдем реакцию системы на единичную ступенчатую функцию принулевых начальных условиях, т. е. переходную функцию, если дифференциальноеуравнение имеет видДля простоты примем, что переменная х является безразмерной величиной. Решаяхарактеристическое уравнение, находим корни:Согласно заданным условиям. Так как в данном случае n=2 иm=1, то начальные условия для t = + 0, в соответствии с (7.11) и (7.12), будутОпределяем установившееся значение искомой координаты:Введем новую переменную z(t) = х(t) — 1 .переменной:Начальные условия для новойНа основании табл. 7.1 для n =2 и случая комплексных корней имеемТаким образомВозвращаясь к исходной координате, получаем переходную функциюАналогичным образом можно осуществить переход от неоднородногодифференциального уравнения (7.4) к уравнению без правой части при воздействии типаимпульсной функции.
В этом случае установившееся значение xуст=0, так как в случае. Поэтому нет нужды вводить новую смещеннуювеличину z(t) и задача заключается только в отыскании начальных условий при t = + 0.Так как единичная импульсная функция является производной от единичного скачка, то формулы пересчета начальных условий можно получить из (7.11) и (7.12),если заменить в них m на m + 1 и положить bm+1 = 0. Тогда вместо (7.11) для первых n-m-2начальных условий получим(7.13)и вместо (7.12) для всех остальных начальных условий(7.14),В формулах (7.14) единица имеет размерность импульса величины f(t), т. е.размерность f(t), умноженную на время. Если воздействие поступает в виде неединичногоимпульса, то в эти формулы вместо единицы необходимо подставить заданную величинуимпульса.Как видно из (7.14), при воздействии в виде импульса, в отличие от скачка, даже длядифференциального уравнения видане будет равенства начальныхусловий для t=+0 и t =—0, так как будет скачок в значении (n—1)-й производной.
Скачокже первой производной х', т. е. перелом кривой, будет уже при m-n-2, а скачок самойвеличины х — при m=n—1.Пример. Найдем реакцию системы на единичный импульс при нулевых начальныхусловиях, т. е. функцию веса для дифференциального уравнения, приведенного впредыдущем примере (стр. 233).Так как в рассматриваемом примере m=n-1, то в соответствии с (7.14) получимВ соответствии с табл. 7.1 для n = 2 и комплексных корней,гдеОкончательно получаем функцию весаЭтот результат можно было получить также непосредственным путем для h(t),полученного в предыдущем примере, так как.§ 7.4.
Использование преобразований Фурье, Лапласа и Карсона — ХевисайдаКак известно, периодическая функция времени, подчиняющаяся условиям Дирихле,может быть разложена в ряд Фурье:,где k — порядок гармоники, а— основная круговая частота.Этот ряд может быть представлен также в комплексной форме:где комплексный коэффициент Сk определяется выражениемТаким образом, периодическая функция времени может быть представлена в видесовокупности дискретных гармоник с интервалом по частоте между соседнимигармониками, равным основной частоте .Непериодическая функция времени может рассматриваться как периодическая спериодом, стремящимся к бесконечности. В этом случае вместо приведенных формулполучаются два интегральных уравнения Фурье, связывающих оригинал, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
