Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 32
Текст из файла (страница 32)
и л.ф.х., алогарифмической амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы,построенной в координатах «модуль в децибелах — фаза» или «модуль в децибелах —запас по фазе» (см. рис. 4.12). Для устойчивой системы эта характеристика должнаобогнуть справа точку с координатами L(ω) = 0 и = — 180° (или = 0). На рис. 4.12изображена характеристика, соответствующая устойчивой системе.§ 6.7. Устойчивость двумерных систем с антисимметричными связямиВ практике встречаются двумерные системы регулирования с антисимметричнымисвязями. Структурная схема такой системы изображена на рис.
6.28. Она содержит дваидентичных канала с одинаковыми передаточными функциямииантисимметричные связи. К такому виду сводятся некоторые гироскопическиеустройства, двухканальные системы слежения и др.Матрица-столбец выходных (регулируемых) величин связана с матрицей-столбцомошибок выражением(6.38)Характеристическое уравнение замкнутой системы:(6.39)Здесь I — единичная матрица 2x2.Уравнение (6.39) можно представить в другом виде:(6.40)где корни уравнения (6.39)(6-41)Исследование (6.40) сводится к рассмотрению двух уравнений: W0- = 0 и W0=0.
Формально здесь может быть использован, например, критерий Найквиста, новместо точки комплексной плоскости (—1, j0), которая соответствует обычной записихарактеристического уравнения W0 + 1 = 0, необходимо рассматривать две точки,соответствующие комплексным числам.На рис. 6.29 изображена комплексная плоскость, на которой построены а.ф.х.частотной передаточной функциии комплексные числа, соот ветствующие. Замкнутая система будет устойчивой, если а. ф.
х. устойчивого или нейтральноустойчивого в разомкнутом состоянии одного изолированного канала не будет охватыватьточек комплексной плоскости, соответствующих.Колебательная граница устойчивости будет иметь место, если выполняется одно изравенств:.Из (6.41) нетрудно видеть, что при а = 0 обе точки стягиваются в одну точку, что соответствует обычной формулировке критерия Найквиста.Другой метод расчета устойчивости заключается в том, что вводятся в рассмотрениекомплексные величины(6.42)Матричная зависимость (6.38) дает два равенства:(6.43)Умножая второе равенство на / и складывая, получаем для комплексных величин(6.44)Здесь введена эквивалентная передаточная функция разомкнутой двумернойсистемы(6.45)Для дальнейшего расчета может использоваться критерий Найквиста в своейобычной формулировке.
Однако при построении а. ф. х. частотной передаточнойфункцииона оказывается повернутой по сравнению с исходной а. ф. х. величиныпочасовой стрелке на угол. Это соответствует введениюдополнительного фазового сдвига, что приближает а. ф. х. к точке (—1, j0) и снижаетоказывается враззапас устойчивости (рис. 6.30, а). Кроме того,больше, что также способствует снижению запаса устойчивости.При а<0 поворот а. ф. х.
будет против часовой стрелки и к точке (—1, j0) будетприближаться верхняя ветвь а. ф. х., соответствующая отрицательным частотам (рис. 6.30,б). Это также соответствует снижению запаса устойчивости.Заметим, что и в случае перехода к комплексным величинам у* и х* можнопроизвести расчет по а.
ф. х. исходной одноканальной системы. В этом случаеколебательная граница устойчивости будет при выполнении условия(6.46)Условие (6.46) сводится к равенству(6.47)что согласуется с первым методом расчета устойчивости.Рассмотренные методы позволяют упростить определение устойчивости двумернойсистемы по сравнению с использованием результирующего характеристическогоуравнения (6.39), так как требуют рассмотрения передаточной функцииодногоизолированного канала.Г ЛАВ А 7ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В СИСТЕМАХАВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ§ 7.1. Общие соображенияДифференциальное уравнение обыкновенной линейной системы автоматическогорегулирования, записанное для ошибки регулирования, согласно (5.2) имеет вид(7.1)где— алгебраизированный оператор дифференцирования, g(t) —задающее воздействие и f(t) — возмущающее воздействие.Решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами(7.1) будет(7.2)где хп (t) — общее решение однородного уравнения, имеющее вид(7.3)причем С1, .
. ., Сn — произвольные постоянные, определяемые из начальныхусловий процесса, а р1,..., рn — корни характеристического уравнения D(р) = 0.Выражение (7.3) записано для случая отсутствия нулевых и кратных корней.Частное, или вынужденное решение xв (t) определяется правой частью уравнения(7.1), и оно соответствует некоторому установившемуся режиму в системе, который будетсуществовать после затухания хп (t).Полным решением (7.2) описывается процесс регулирования в линейной системе(общий случай возмущенного движения системы). Первая часть этого решения хп (?) ввиде (7.3) представляет собой собственное движение системы, наложенное на частноерешение хй (?).Исходное дифференциальное уравнение системы может быть записано также для.
В системах стабилизации g(t) = 0 и поэтомурегулируемой величиныy(t) = — х (t).Необходимо обратить внимание на следующее важное обстоятельство. Частноерешение хв (t) складывается из отдельных слагаемых, отвечающих отдельным членамправой части дифференциального уравнения (7.1). Если действует нескольковозмущающих воздействий, то в решении будет соответственно и несколько слагаемых.При этом каждое слагаемое частного решения хв (t) может определяться по отдельностидля каждого возмущающего или задающего воздействия независимо от других, а затем ихможно складывать. В этом состоит так называемый принцип суперпозиции.Следовательно, если имеется дифференциальное уравнение,то частное решение, определяющее установившийся процесс в системе, будет иметьтри слагаемых, каждое из которых определяется частным решением одного из уравнений:Несколько иначе обстоит дело с определением переходной составляющей.
Врешении для переходной составляющей (7.3) произвольные постоянные С1,..., Сn должнывычисляться по начальным условиям обязательно с использованием полного выражениярешения (7.2), т. е. при исследовании переходных процессов в системах автоматическогорегулирования всегда надо оговаривать соответствующие внешние условия — задаватьg(t) и f(t).Если переходный процесс ищется как решение однородного уравненияпри заданных начальных условиях системы, то результат такого решенияотвечает случаю отсутствия задающих и возмущающих воздействий, причем системасовершает свободное движение с какого-то смещенного начального положения.
Если жепереходный процесс происходит в результате изменения внешних условий(возмущающих сил, изменения нагрузки, перенастройки, изменения режима слежения и т.п.), то этот переходный процесс надо исследовать иначе, с определением произвольныхпостоянных из полного решения, включающего в себя установившуюся составляющую.Вид воздействияи стоящих перед ними операторных многочленов оказываетсущественное влияние на вид переходного процесса.При нахождении кривой переходного процесса в системе автоматическогорегулирования возникают две трудности. Первая трудность — принципиальногохарактера — заключается в том, что в реальных системах регулирования управляющие ивозмущающие воздействия не являются известными функциями времени, а носятслучайный характер.
В связи с этим приходится рассматривать некоторые типовыевходные воздействия. Типовые входные воздействия стремятся выбирать так, чтобы онибыли по возможности близкими к реальным воздействиям в системе автоматическогорегулирования.Для следящих систем при g (t) = 0 и систем стабилизации переходный процесс можетстроиться для случая приложения возмущающего воздействия. В качестве типовыхиспользуются возмущающие воздействия в виде единичной ступенчатой функции f(t) =1(t) и в виде единичной импульсной функции. Эти типовые возмущенияизображены на рис.
7.1.Входная функция первого типа часто встречается в системах автоматическогорегулирования и представляет собой внезапный скачок возмущающего воздействия нанекоторую постоянную величину, например увеличение тока нагрузки генератора,увеличение момента нагрузки двигателя и т. п. Реакция системы на такое воздействие,построенная для регулируемой величины или для ошибки, отличающихся только знаками, представляет собой переходную функцию системы для данноговозмущения.Входная функция второго типа также встречается в системах автоматическогорегулирования в виде кратковременного удара нагрузки, например при короткомзамыкании электрического генератора, которое прекращается через небольшойпромежуток времени системой защиты (плавкие предохранители, максимальные автоматыи т.
п.), при кратковременном возрастании момента нагрузки двигателя и т. д. Реакциясистемы на воздействие этого типа представляет ее функцию веса.В следящих системах для построения переходного процесса могут приниматьсятиповые задающие воздействия (рис. 7.2) в виде единичной ступенчатой функции g(t) =1(t) или в виде воздействия, изменяющегося по линейному закону g(t) = a·1(t).Воздействие первого типа соответствует, например, в следящих системахвоспроизведения угла быстрому повороту командной оси на некоторый угол. Реакциясистемы у (t) на такое управляющее воздействие представляет собой ее переходнуюфункцию для задающего воздействия.
Воздействие второго типа является характернымдля следящих систем воспроизведения угла, когда командная ось внезапно начинаетдвигаться с постоянной скоростью.Возможно изучение поведения системы регулирования и в том случае, когда входноевоздействие представляет собой не детерминированную (определенную), а случайнуюфункцию времени. Этот вопрос будет рассмотрен в главе 11.Вторая трудность — непринципиальногохарактера — заключается в том, чтообычно системы регулирования описываются дифференциальными уравнениямисравнительно высокого порядка.
Это усложняет практические расчеты; поэтому дляоблегчения задачи построения кривой переходного процесса во многих случаяхприходится пользоваться приближенными методами, а также применять вычислительныеустройства непрерывного и дискретного действия.Для построения кривой переходного процесса часто используют численные играфические методы решения дифференциальных уравнений. Таких методов существуетмного. Применительно к задачам теории автоматического регулирования наиболееудобным оказывается Численно-графический метод, разработанный Д. А. Башкировым[98, 121]. Важным достоинством этого метода является то, что он без заметныхусложнений может применяться к уравнениям с переменными во времени параметрами ик нелинейным уравнениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
