Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Тогда можно говорить о векторе регулируемыхвеличин.Если регулируемые величины имеют разную физическую размерность, то переход отматрицы-столбца к вектору в принципе может быть сделан ив этом случае, если ввести вматрицу-столбец весовые коэффициенты, уравнивающие размерности отдельныхсоставляющих. Однако такой переход не является единственным, а имеет бесчисленноеколичество вариантов.Аналогичным образом при равенстве физических размерностей отдельныхсоставляющих матриц-столбцов управляющих величин и возмущений может быть введенвектор управления и вектор возмущения. При разных физических размерностяхотдельных составляющих матриц-столбцов переход к вектору возможен, но не будетединственным.Линеаризованные уравнения движения многомерного объекта могут быть записаныв матричном виде:(5.67)Здесь введена квадратная матрица операторных коэффициентов(5.68)и прямоугольные матрицы операторных коэффициентов(5.69)(5.70)Если в выражениях (5.64) — (5.70) перейти к изображениям Лапласа при нулевыхначальных условиях, то матричное уравнение (5.67) может быть записано дляизображений в следующем виде:(5.71)Здесь Y(р), U(р) и F(р) — матрицы-столбцы изображений регулируемых величин,управляющих величин и возмущений.В уравнение (5.71) входят также квадратная матрица Q( p ) = q ij ( p )иm× nпрямоугольные матрицы R ( p ) = rij ( p )m× kи S ( p ) = s ij ( p )m×lЕсли матрица Q(р) неособая, т.
е. определитель Q ( p ) ≠ 0 , то, умножив левую иправую части (5.71) слева на обратную матрицу Q-1 (р), получим(5.72)Здесь введены матрицы передаточных функций объекта для управляющих величин(5.73)и для возмущении~В (5,74) символом Q ( p ) = Qij ( p )m× m(5.74)обозначена матрица, присоединенная дляматрицы Q(р), а Qij - алгебраическое дополнение определителя Q ( p ) .Формулы (5.72) — (5.74) позволяют получить связь между регулируемымивеличинами и управляющими и возмущающими воздействиями. Так, например, если m=3, k = 2 и l = 0, то из (5.72) и (5.73) можно получить для изображений(5.75)Если в матрице передаточных функций объекта (5.73) или (5.74) для каждогоэлемента матрицы (частной передаточной функции) найти обратное преобразованиеЛапласа (оригинал), то будет получена так называемая матрица Коши (матрица весовыхфункций).
Запишем ее, например, для управляющих воздействий:(5.76)Если в момент времени t= 0 на все входы поступают управляющие воздействия ui (t),где i= 1, 2, . . ., k, то изменение j-и регулируемой величины может быть записанопосредством интеграла Дюамеля — Карсона (4.9) на основании принципа суперпозиции:На рис. 5.13 изображена условная структурная схема замкнутой многомернойсистемы регулирования.
На схеме все указанные символы соответствуют матрицам: g(t)— задающих воздействий, у(t) — регулируемых величин, х (t) — ошибок для каждойрегулируемой величины, u(t) — управляющих воздействий, f(t) — возмущений, Wо (р) —передаточных функций для управлений, Wf (р) — передаточных функций длявозмущений. Кроме того, введена прямоугольная матрица передаточных функцийрегулирующего устройства W рег ( p ) = k ij ( p )которая определяет используемые законыk ×mрегулирования.
Она дает связь между изображениями управляющих величин и ошибок:(5.77)Уравнения многомерной системы (рис. 5.13) могут быть получены действиями,аналогичными одномерному случаю (§ 5.2).Матрица передаточных функций разомкнутой по всем каналам системы(5.78)Характеристическая матрица системы представляет собой квадратную матрицуразмером т х т:(5.79)Здесь I — единичная матрица размером та х т, т.
е. квадратная матрица, у которойвсе элементы главной диагонали равны единице, а остальные — нулю.Характеристическое уравнение системы получается приравниванием нулюопределителя характеристической матрицы:(5.80)Заметим, что в случае, когда многомерная система представляет совокупность тнезависимых одномерных систем, характеристическая матрицабудет диагональной и определитель системы тогда равен произведению частныхопределителей каждой из систем, т. е. D ( p ) = D1 ( p ) × ... × Dm ( p ) , В этом случае общеехарактеристическое уравнение распадается на т независимых характеристическихуравнений Di ( p ) = 0 , i=1,2,...
m.Матрицы передаточных функций замкнутой системы, замкнутой системы по ошибкеи замкнутой системы по возмущениям при условии, что матрица Q(р) неособая, чтоозначает независимость исходных дифференциальных уравнений, могут быть определеныиз выражений(5.81)(5.82)~Здесь D ( p ) = Dij ( p )m× m(5.83)— матрица, присоединеннаядля матрицы D(р), а Dij(р) — алгебраическое дополнение определителя D ( p ) .Полученные выражения для матриц передаточных функций замкнутой системыпозволяют использовать формулы, аналогичные формулам § 5.2, но записанные уже дляматриц-столбцов ошибок и регулируемых величин. Так, например, для матрицыизображений ошибок имеем(5.84)На рис.
5.14 изображены для иллюстрации некоторые структурные схемы двумерныхсистем регулирования. Схема на рис. 5.14, а соответствует так называемому сепаратномурегулированию объекта с двумя входами и двумя выходами. Матрица передаточныхфункций регулирующего устройства в этом случае получается диагональной.
Матрицуизображений управляющих величин для этого случая можно представить в виде(5.85)Схемы на рис. 5.14, б и в соответствуют комбинированному регулированию. В этомслучае(5.86)Исходные дифференциальные уравнения многомерной системы регулированиямогут быть также представлены в форме Коши в матричной записи:(5.87)— матрица-столбец фазовых координат системы,В этих выражениях—матрица-столбецn— порядок дифференциального уравнения,регулируемых величин,— матрица-столбец управляющих величин,— матрица-столбец возмущающих и задающих воздействий,—иквадратная матрица коэффициентов,— прямоугольные матрицы коэффициентов.Величины xi (i = 1, 2, .
. ., n) представляют собой некоторые абстрактныевеличины, задание которых полностью определяет текущее состояние системы- Этивеличины называются фазовыми координатами системы. Состояние системы может бытьтакже отождествлено с положением изображающей точки в n-мерном пространстве,которое носит название пространства состояния.При переходе к изображениям и совместном решении система уравнений можетбыть приведена, например, к виду (5.84).Характеристическое уравнение, соответствующее системе (5.87), имеет вид(5.88)где I — единичная матрица n x n.Векторная запись исходных уравнений. Введем в рассмотрение «-мерное векторноепространство состояния, которое определяется базисом (набором векторов)так, что с матрицей-столбцом фазовых координатможет быть отождествлен вектор состояния(5.89)играют роль весовых коэффициентов вДлины векторов базисапереходе от матрицы-столбца фазовых координат к вектору состояния.
Заметим, что вобщем случае, когда рассматриваются абсолютные, а не относительные значения фазовыхкоординат, их физические размерности не совпадают и длины векторов базиса не могутсчитаться единичными.Аналогичным образом может быть введено векторное пространство управления,возмущения и выходных величин.При введении векторовзаписаны в векторной форме:исходные уравнения системы могут быть(5.90)Фазовые координаты, а также составляющие управления, возмущения и выходныхкоординат могут быть получены как проекции соответствующих векторов на оси,определяющие выбранные векторные пространства.При использовании относительных (безразмерных) величин в качестве базиса можетприниматься совокупность ортогональных векторов единичной длины, т.
е. обычное nмерное евклидово пространство.§ 5.6. Управляемость и наблюдаемостьРассмотрим n-мерное пространство состояния X, в котором каждому состояниюсистемы соответствует некоторое положение изображающей точки, определяемоезначениями фазовых координат xi (i = 1, . . ., n).и.Пусть в пространстве состояния X заданы два множестваРассматриваемая система будет управляемой, если существует такое управление, определенное на конечном интервале времени, котороепереводит изображающую точку в пространстве X из подобласти Г1 в подобласть Г2.Можно сузить определение управляемости и понимать под ней возможностьперевода изображающей точки из любой области пространства состояния X в началокоординат.
Система будет полностью управляемой, если каждое состояние управляемо вэтом смысле.От пространства состояния X перейдем к другому пространствупосредством, причем, где R — матрица коэффициентовнеособого преобразованияn x n.Тогда вместо (5.87) будем иметь(5.91),Здесь использованы преобразованные матрицы коэффициентов:,.Введение новых фазовых координат посредством неособого преобразованияприводит к эквивалентным системам различной структуры.При некотором преобразовании может оказаться, что часть управляющих величин невходит в некоторые дифференциальные уравнения (5.91) или часть фазовых координат неучаствует в формировании выхода у. В первом случае система будет не полностьюуправляемой, а во втором — не полностью наблюдаемой.В случае не полностью управляемой системы ее исходные уравнения (5.87) могутбыть представлены в виде(5.92)Ох.Это иллюстрирует рис.
5.15. Набор фазовых координат х1 соответствуетуправляемой части фазовых координат, а набор ж2 — неуправляемой части.Р. Калманом [50] был доказан критерий управляемости, который гласит, чторазмерность V управляемой части системы, то есть порядок первой группы уравнений(5.91), совпадает с рангом матрицы(5.93)При v = n система полностью управляема, при 0 < v < n не полностью управляема ипри v = 0 полностью неуправляема.На рис. 5.16, а изображен простейший пример.
Если рассматривать выходнуювеличину у (t) при ненулевых начальных условиях, то можно записать(5.94)определяются начальными условиями догдеприложения входного сигнала u1 (t), а ув (t) — вынужденная составляющая. Системаустойчива при а>0, b>0 и с>0.Если начальные условия до приложения u1 (t) были нулевыми, то поведение системыможет быть рассчитано по передаточной функции(5.95)В этом случае по интегралу Дюамеля — Карсона(5.96)Как следует из выражений (5.95) и (5.96), система во втором случае-описываетсядифференциальным уравнением не третьего, а второго порядка.
Система будетустойчивой даже при а. < 0.Рассмотренная система будет не полностью управляемой. В ней оказывается, что n =3, а v = 2.При введении второй составляющей управления u2 (t) система оказываетсяполностью управляемой, и ей будет соответствовать матрица-строка передаточныхфункций по управлениюВ случае не полностью наблюдаемой системы ее уравнения могут быть,представлены в виде(5.97),Эти уравнения отличаются от (5.87) тем, что фазовые координаты группы x2 невходят ни в выражения для у и u, ни в первое уравнение, куда входят только фазовыекоординаты группы x1.
Группа фазовых координат x2 относится к ненаблюдаемым. Этоиллюстрирует рис. 5.17.Р. Калманом [50] показано, что порядок первой группы уравнений v совпадает срангом: матрицы(5.98)При v = n система полностью наблюдаема, при 0 < v <n — не полностью наблюдаемаж при v = 0 полностью ненаблюдаема.На рис. 5.16, б изображен простейший пример. Для него легко показать, что вформировании выхода участвуют только две фазовые координаты из трех.В общем случае система может содержать четыре группы фазовых координат:управляемую, но ненаблюдаемую часть x1, управляемую и наблюдаемую часть x2,неуправляемую и ненаблюдаемую часть x3 и неуправляемую, но наблюдаемую часть x4.Исходные уравнения системы (5.87) в этом случае можно для самого, общего случаязаписать следующим образом:(5.99)Левая часть характеристического уравнения системы в этом случае содержит четыресомножителя:Управляемость и наблюдаемость системы в изложенном смысле не всегда совпадаетс практическими представлениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
