Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 21
Текст из файла (страница 21)
., k)— задающие и возмущающие воздействия, акоэффициенты aij и bij суть вещественные числа.Если в (5.6) ввести алгебраизированный оператор и обозначить x j = px j , то этасовокупность уравнений может быть разрешена относительно любой из фазовыхкоординат хi.§ 5.2. Передаточные функции систем автоматического регулированияЗаписанные выше дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования(5.2) и (5.5) могут быть получены также на основании понятия передаточной функции,которое было введено в главе 3.
Рассмотрим рис. 5.1, где изображена системаавтоматического регулирования по замкнутому циклу.Предположим вначале, что чувствительный элемент (ЧЭ) отсоединен от регулируемогообъекта (РО), и рассмотрим так называемую разомкнутую систему автоматическогорегулирования.Управляющее (или регулирующее) воздействие, которое прикладывает исполнительныйэлемент (ИЭ) к регулируемому объекту, определяется выражениемu (t ) = W рег ( p) x(t ) (5.7)де х — рассогласование на выходе чувствительного элемента, передаточная функция цепирегулирования.Регулируемая величина может быть найдена из выраженияy (t ) = W0 ( p )u (t ) − W f ( p ) f (t ) (5.8)где W0 ( p) — передаточная функция регулируемого объекта по регулирующемувоздействию, W f ( p) — передаточная функция регулируемого объекта по возмущающемувоздействию f(t).Как и ранее, предполагается, что на объект регулирования (или на системурегулирования) действует одно возмущающее воздействие f(t).
При наличии несколькихвозмущений на основании принципа суперпозиции необходимо будет просуммироватьчлены вида Wk ( p) f k (t ) , где Wk ( p ) и f k (t ) — возмущение и соответствующая емупередаточная функция по возмущению.Подставляя (5.7) в (5.8), получаемy (t ) = W ( p) x(t ) − W f ( p) f (t ) (5.9)Здесь введена так называемая передаточная функция разомкнутой системыR( p)W ( p) = W0 ( p)W рег ( p) =(5.10)Q( p)где R(р) и Q(р) представляют собой некоторые полиномы от р.Передаточную функцию, разомкнутой системы можно определить как отношениеизображений регулируемой величины и ошибки при нулевых начальных условиях ивозмущающих воздействиях, равных нулю:Y ( p)W ( p) =(5.11)X ( p)где р = с +jw — комплексная величина.Применительно к функциям времени, которые использовались в формулах (5.7) — (5.9),передаточная функция разомкнутой системы дает возможность в символической илиоператорной форме записать дифференциальное уравнение, связывающее регулируемуювеличину у(t) с ошибкой х(t) в разомкнутой системе:y (t ) = W ( p ) x(t ) (5.12)dгде p = — алгебраизированный оператор дифференцирования.
Учитывая (5.10),dtформулу (5.12) можно также записать в видеQ( p) y (t ) = R( p) x(t ) (5.13)Передаточная функция разомкнутой системы имеет весьма большое значение в теорииавтоматического регулирования, так как многие методы анализа и синтеза основаны наиспользовании именно этой функции.Рассмотрим теперь замкнутую систему, т. е. предположим, что чувствительный элементсоединен с регулируемым объектом. При этом можно записать так называемое уравнениезамыкания:x(t ) = g (t ) − y (t ) (5.14)Решая (5.9) и (5.14) совместно, получаем для регулируемой величиныW f ( p)W ( p)y (t ) =g (t ) +f (t ) (5.15)1 + W ( p)1 + W ( p)и для ошибкиW f ( p)g (t )−f (t ) (5.16)x(t ) =1 + W ( p) 1 + W ( p)ВыражениеW ( p)R( p)Ф( p ) =(5.17)=1 + W ( p) R( p) + Q( p)называется передаточной функцией замкнутой системы или главным оператором.Передаточная функция замкнутой системы дает связь между регулируемой величиной изадающим воздействием при равенстве нулю возмущающих воздействий:W ( p)y (t ) = Ф( p ) g (t ) =g (t ) (5.18)1 + W ( p)ВыражениеR( p)1=1 + W ( p) R( p) + Q( p)называют передаточной функцией замкнутой системы по ошибке.
Оно дает связь междуошибкой и задающим воздействием в замкнутой системе при равенстве нулювозмущающих воздействий:g (t )x(t ) = Ф x ( p) g (t ) =(5-20)1 + W ( p)Как и ранее, формулы (5.15), (5.16), (5.18) и (5.20) представляют собой символическую(операторную) запись дифференциальных уравнений. Более строго передаточнуюфункцию замкнутой системы можно определить как отношение изображенийрегулируемой величины У(р) и управляющего воздействия G(р) при нулевых начальныхусловиях и отсутствии внешних возмущений:Y ( p)Ф( p ) =(5.21)G ( p)а передаточную функцию по ошибке — как отношение изображений ошибки X (р) иуправляющего воздействия G(р):Y ( p)Фx ( p) =(5.22)G( p)также при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущении.Из формул (5.15) и (5.16) видно, что введение автоматического регулирования«уменьшает» отклонение регулируемой величины под действием возмущающихвоздействий в [1 + W(р)] раз по сравнению с отклонением в разомкнутой системе (5.9),когда цепь регулирования разорвана и автоматическое регулирование отсутствует.Передаточная функция разомкнутой системы, может быть представлена в виде дробнорациональной функции от оператора р.
В результате сравнения формул (5.2) и (5.16), атакже (5.5) и (5.15) видно, что полиномы R(р) и Q(р) в выражении (5.10) совпадают саналогичными полиномами в дифференциальных уравнениях, приведенных впредыдущем параграфе.ПолиномD ( p ) = R( p ) + Q( p) (5.23)называется характеристическим.Приравнивание нулю характеристического полинома дает характеристическое уравнениесистемы:D ( p ) = R( p ) + Q( p ) = 0 (5.24)Оно может быть записано в более удобной форме, которая непосредственно получается из(5.15) или (5.16):1 + W ( p ) = 0 (5.25)так как характеристическое уравнение системы есть знаменатель операторного, решения,приравненный нулю.Из рассмотренного видно, что знание передаточной функции разомкнутой системыпозволяет найти выражение для ошибки и регулируемой величины в функции задающегои возмущающих воздействий, а также характеристическое уравнение системы.Передаточная функция разомкнутой .системы может находиться непосредственно поструктурной схеме и передаточным функциям входящих в нее звеньев (см.
ниже, § 5.4)или по какому-либо соотношению, связывающему передаточную функцию разомкнутойсистемы с другими функциями:по передаточной функции замкнутой системы (5.17)Ф( p )Ф( p ) =(5.26)1 − Ф( p )по передаточной функции для ошибки (5.19)Ф x ( p ) = 1 − Ф( p ) =1 − Фx ( p)(5.27)Фx ( p)по дифференциальному уравнению для ошибки (5.2) или по дифференциальномууравнению для регулируемой величины (5.5)D( p) − Q( p) D( p)R( p)Ф( p ) =(5-28)=−1 =Q( p)Q( p)D( p) − R( p)Ф( p ) =§ 5.3. Законы регулированияПод законом регулирования или — в более общем случае — законом управленияпонимается алгоритм или функциональная зависимость, в соответствии с которымиуправляющее устройство формирует управляющее воздействие u(t).
Эта зависимостьможет быть представлена в видеu (t ) = F ( x, g , f ) (5.29)где F — некоторая, в общем случае нелинейная, функция от ошибки х задающеговоздействия g и возмущающего воздействия f, а также от их производных и интегралов повремени.Формула (5.29) обычно может быть записана следующим образом:u (t ) = F1 ( x) + F2 ( g ) + F3 ( f ) (5.30)Первое слагаемое (5.30) соответствует регулированию по отклонению (принцип Ползунова— Уатта), второе и третье — регулированию по внешнему воздействию (принципПонселе).Здесь мы рассмотрим только линейные законы, когда управляющее устройствовырабатывает величину u(t) в функции ошибки в соответствии с линейной формойu (t ) = k1 x + k 2 ∫ xdt + k 3 ∫∫ xdt 2 + ...
+ k 4 x + k 5 x + ... (5.31)или в операторной записиkku (t ) = k1 x + 2 x + 32 x + .... + k 4 px + k 5 p 2 x + ... (5.32)ppРегулирование по внешнему воздействию будет рассмотрено в § 9.2.Предположим вначале, что регулируемый объект представляет собой звено статическоготипа. Это означает, что в установившемся состоянии между регулируемой величиной иуправляющим воздействием существует пропорциональная зависимость, вытекающая из(5.8) при равенстве нулю возмущающих воздействий:y уст = k 0 u устгде k 0 = W0 (0) — коэффициент передачи объекта.1.
Пропорциональное регулирование. В случае пропорционального регулированиявыражение (5.7) для простейшей безынерционной цепи регулирования (см. рис. 5.1)приобретает видu (t ) = W рег ( p ) x(t ) = k1 x(t ) (5.33)Передаточная функцияW рег ( p) может иметь более сложный вид, например:A( p)B( p)где А(р) и В(р) — некоторые полиномы от оператора р.Однако существенным здесь является то обстоятельство, что цепь регулированияпредставляет собой позиционное (статическое) звено и при p → 0 передаточная функцияW рег ( p ) → k1 , где k1 — коэффициент передачи цепи регулирования.W рег ( p) = k1В связи с изложенным здесь и далее ради облегчения анализа рассматриваетсяупрощенное выражение (5.33), которое является справедливым, по крайней мере, длямедленных изменений величины х.Передаточная функция разомкнутой системыW ( p ) = W рег ( p )W0 ( p ) = k1W0 ( p ) .В установившемся состоянии передаточная функция стремится к значениюlim W ( p ) = k1 k 0 = K (5.34}p →0Эта величина называется общим коэффициентом усиления разомкнутой системы.Коэффициент усиления является безразмерной величиной, так же как и передаточнаяфункция разомкнутой системы.
Это вытекает из соотношения (5.11).Коэффициент усиления разомкнутой цепи (рис. 5.1) физически представляет (собойотношение установившегося значения регулируемой величины к постоянному значениюошибки х = х0, если цепь регулирования совместно с регулируемым объектомрассматривать как некоторый усилитель, на входе которого действует сигнал в видеошибки х, а на выходе — усиленный сигнал у. Таким образом, для коэффициентаусиления можно записатьy устK=x0Для установившегося состояния замкнутой системы при постоянном задающемвоздействии g=g0 формулы (5.16) может быть получено следующее соотношение:x fуусgx уст = 0 +(5.35)1+ K 1+ Kгде x уст — установившаяся (статическая) ошибка, а x fуус — установившееся значениеошибки от возмущающих воздействий в объекте без регулирования.Таким образом, пропорциональное регулирование позволяет уменьшить установившиесяошибки в объекте в 1+К раз.
Регулирование в этом случае получается статическим, таккак при любом конечном значении коэффициента усиления цепи установившаяся ошибкабудет отличной от нуля.Передаточная функция разомкнутой системы (5.10) для этого случая может бытьпредставлена в видеR( p ) bm + bm −1 p + ... + b0 p m K (1 + Bm −1 p + ... + B0 p m )W ( p) ===(5.36)Q( p) c n + c n −1 p + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
