Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Для построения истинной л. а. х. необходимо выбрать нормированную л. а. х.,соответствующую данному значению ξ поднять ее параллельно самой себе на 20 lgk и пооси частот от относительной частоты перейти к действительной умножением на q..В функции той же относительной частоты на рис. 4.18 нанесены нормированные л.ф.
х., построенные по выражениюw2ξqψ = − arctg(4.41)w21− 2qПостроение л. а. х. колебательного звена можно делать также посредствомпроведения двух асимптот с наклонами 0 и 40 дб/дек, пересекающихся в точке w = 1/q , споследующим введением поправки, которая приведена на рис. 4.19..Нормированные переходные характеристики колебательного звена для случая k = 1приведены на рис. 4.20 в функции относительного времени qt. Сравнение рис. 4.18 и 4.20показывает, что снижение параметра затухания ξ , приводит к повышениюколебательности переходного процесса и росту резонансного пика амплитуднойчастотной характеристики.5.
Консервативное звено. Консервативное звено является частным случаемколебательного при ξ = 0. Тогда передаточная функция (4.35) будет иметь видkkW ( p) = 2 2(4.42)= 2T p +1 p+1q2.Консервативное звено представляет собой идеализированный случай, когда можнопренебречь влиянием рассеяния энергии в звене. Для изображенных на рис. 4.17 примеровмы получим консервативные звенья, если в случаях а) и б) положить R = 0, в случае в)положить S = 0 и в случае г) положить F = 0.Временные характеристики соответствуют незатухающим колебаниям (табл. 4.2) сугловой частотой q.Частотные характеристики приведены в табл. 4.3. При частоте w = q модульчастотной передаточной функции обращается в бесконечность, а фаза делает скачок на180°.Амплитудно-фазовая характеристика совпадает с вещественной осью.
При 0 < w <qхарактеристика совпадает с положительной полуосью, а при w > q — с отрицательнойполуосью.§ 4.6. Интегрирующие звенья1. Идеальное интегрирующее звено. Звено описывается дифференциальнымуравнениемdx 2= kx1dtПередаточная функция звенаkW ( p) = .pТакое звено является идеализацией реальных интегрирующих звеньев, часть которыхбудет рассмотрена ниже. Примеры интегрирующих звеньев приведены на рис. 4.21. Частов качестве такого звена используется операционный усилитель в режиме интегрирования(рис.
4.21, а). Интегрирующим звеном является также обычный гидравлический демпфер'(рис. 4.21,6). Входной величиной здесь является сила F, действующая на поршень, авыходной — перемещение поршня х2. Так как скорость движения поршняпропорциональна приложенной силе (без учета инерционных сил):dx Fϑ== ,dt SРис.где S — коэффициент скоростного сопротивления, то его перемещение будетпропорциональным интегралу от приложенной силы:1x = ∫ ϑdt = ∫ FdtSЧасто в качестве интегрирующего звена используется интегрирующий привод (рис.4.21, г).
Это особенно удобно делать при необходимости длительного интегрирования(часы, дни и даже месяцы), например в автоматических путепрокладчиках инавигационных системах.Интегрирующим звеном является также гироскоп (рис. 4.17, г), если в качестве входнойвеличины рассматривать момент М на оси α , а в качестве выходной — угол поворота осипрецессии β (в зоне линейности)..Из уравнений гироскопа, приведенных в предыдущем параграфе, можно получить:M⎞⎛ AB 2 FBp + 1⎟ pβ = − ,⎜ 2 p +HH⎠⎝Hоткуда передаточная функция для угла прецессии11W ( p) = −,Hp AB 2 FBp +p +1HH2В случае пренебрежения влиянием нутационных колебаний передаточная функциягироскопа будет равнаk1W ( p) = −= .Hp pВременные характеристики звена приведены в табл. 4.4, а частотные — в табл.
4.5.Амплитудная частотная характеристика показывает, что звено пропускает сигнал темсильнее, чем меньше его частота. При w = 0 модуль частотной передаточной функциистремится к бесконечности, а при w ⎯⎯→ ∞ A( w) → 0 .Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот сливается сотрицательной частью мнимой оси.Построение л.
а. х. делается по выражениюkL( w) = 20 lg (4.45)wЛ. а. х. представляет собой прямую с отрицательным наклоном 20 дб/дек,пересекающую ось нуля децибел при частоте среза wср = k. Л. ф. х. представляет собойпрямую ψ = -90°, параллельную оси частот.2. Интегрирующее звено с замедлением. Звено описывается дифференциальнымуравнениемd 2xdxT 2 +T= kx1 (4.46)dtdtПередаточная функция звенаkW ( p) =. (4.47)p (1 + Tp )Примером такого звена является двигатель (рис.
4.13, а), если в качестве выходнойвеличины рассматривать не угловую скорость, а угол поворота, являющийся интеграломот угловой скорости. К такому же типу звена сводятся демпфер (рис. 4.21, б),серводвигатель (рис. 4.21, в), интегрирующий привод (рис. 4.21, г), если более точнорассматривать их уравнения движения, и др.Интегрирующее звено с замедлением можно представить как совокупность двухвключенных последовательно звеньев — идеального интегрирующего и апериодическогопервого порядка.Для нахождения временных характеристик удобно передаточную функциюпредставить в виде алгебраической суммыkkkTW ( p) == −,p(1 + Tp ) p 1 + Tpчто позволяет представить решение дифференциального уравнения (4.46) в видесуммы решений для идеального интегрирующего звена и апериодического звена первогопорядка.Временные характеристики приведены в табл.
4.4, а частотные — в табл. 4.5.Л. а. х. строится по выражениюk(4.48)L( w) = 20 lgw 1 + w 2T 2Асимптотическая л. а. х. представляет собой две прямые с отрицательныминаклонами -20 дб/дек (при w<1/T) и -40 дб/дек (при w >1/T).3. Изодромное звено. Звено описывается уравнениемdx 2dx= kx1 + k1 1 (4.49)dtdtПередаточная функция звенаkk (1 + Tp )W ( p ) = + k1 =, (4.50)ppгде T=k1/k — постоянная времени изодромного звена.Из этих выражений видно, что звено можно условно представить в видесовокупности двух звеньев, действующих параллельно,— идеального интегрирующего скоэффициентом передачи k и безынерционного с коэффициентом передачи k1..Примеры изодромных звеньев изображены на рис.
4.22. Таким звеном может бытькомбинация пружины с демпфером (рис. 4.22, б). В качестве входной величины здесьрассматривается прикладываемая сила F, а в качестве выходной — перемещение х точкиа, в которой приложена сила. Это перемещение складывается из деформации пружиныFcгде с — жесткость пружины, и перемещения поршня1Fdt ,S∫где S — коэффициент скоростного сопротивления демпфера.Результирующее перемещение точкиF 1x = + ∫ Fdt ,c SПри использовании операционного усилителя (рис. 4.22, а) изодромное звено можетбыть получено посредством применения RС-цепи в обратной связи.В системах управления часто находят применение изодромные звенья, построенныена базе интегрирующего привода (рис.
4.22, в). В этом случае входное напряжение u1поступает непосредственно на выход. Кроме того, это же напряжение поступает на входинтегрирующего привода. Угол поворота валика последнего, в соответствии сизложенным выше, пропорционален интегралу от входного напряжения u1. На выходномвалике устанавливается какой-либо датчик (Д) представляющий собой линейныйпреобразователь угла поворота в напряжение, например потенциометр или линейныйвращающийся трансформатор. Напряжение этого преобразователя u3 суммируется снапряжением u1. Эта сумма и представляет собой выходное напряжение u2.РисТаким образом, для схемы, изображенной на рис.
4.22, в,11 + TpU 2 ( p ) = (1 + )U 1 ( p) =U 1 ( p ),TpTpгде Т —.коэффициент пропорциональности между скоростью изменениявыходного напряжения датчика интегрирующего привода и напряжением на его входе.Коэффициент передачи идеального интегрирующего звена в этом случае равен k=1/T .Временные характеристики звена представлены в табл. 4.4, а частотные — в табл.4.5.Л. а.
х. строится по выражениюk 1 + w 2T 2wАсимптотическая л. а. х. представляет собой две прямые: с отрицательным наклоном20 дб/дек (при w <1/T) и параллельную оси частот (при w >1/T).L( w) = 20 lg.Из рассмотрения л. а. х. и л. ф. х. видно, что в области малых частот (меньших, чемсопрягающая частота) звено ведет себя как идеальное интегрирующее и тем точнее, чемменьше частота.В области больших частот (больших, чем сопрягающая частота) звено ведет себя какбезынерционное с коэффициентом передачи k1.Свойство звена вводить интегрирующее действие в области малых частотиспользуется для улучшения качественных показателей систем автоматическогорегулирования (см. главу 9).§ 4.7.
Дифференцирующие звенья1. Идеальное дифференцирующее звено. Звено описывается уравнениемdxx 2 = k 1 (4-51)dtПередаточная функция звенаW ( p ) = kp (4.52)Примеры идеальных дифференцирующих звеньев изображены на рис. 4.23.Единственным идеальным дифференцирующим звеном, которое точно описываетсяуравнением (4.51), является тахогенератор постоянного тока (рис.
4.23, а), а если вкачестве входной величины рассматривать угол поворота его ротора α , а в качествевыходной — э. д. с. якоря e. В тахогенераторе постоянного тока при неизменном потокевозбуждения э. д. с. в якоре пропорциональна скорости вращения: e = kΩ . Скоростьdα. Следовательно,вращения есть производная по времени от угла поворота: Ω =dtdαe=k.В режиме, близком к холостому ходу (сопротивление нагрузки велико),dtdα.можно считать, что напряжение якоря равно э. д. с.: u = е. Тогда u = kdt.Приближенно в качестве идеального дифференцирующего звена можетрассматриваться операционный усилитель в режиме дифференцирования (рис. 4.23, б).Временные характеристики приведены в табл. 4.6, а частотные — в табл.
4.7.2. Дифференцирующее звено с замедлением. Звено описывается уравнениемdxdxT 2 + x 2 = k 1 (4.53)dtdtПередаточная функция звенаkp(4.54)W ( p) =1 + TpЗвено условно можно представить в виде двух включенных последовательно звеньев— идеального дифференцирующего и апериодического первого порядка.На рис. 4.24 изображены примеры дифференцирующих звеньев с замедлением.Наиболее часто употребляются электрические цепи (рис.
4.24, а, б и в). В некоторыхслучаях используются дифференцирующие устройства, состоящие из гидравлическогодемпфера и пружины (рис. 4.24, г)..Составим, например, уравнение для дифференцирующего конденсатора (рис. 4.24, а).Ток в рассматриваемой цепи определяется уравнением1Ri + ∫ idt = u1 .CПереходя к изображениям и решая это уравнение относительно тока, получаем:U ( p)pCI ( p) = 1=U 1 ( p ).11 + RCpR+pCРис.Напряжение на выходе цепиTpU 2 ( p) = RI ( p) =U 1 ( p)1 + Tpгде Т = RС — постоянная времени цепи.Временные характеристики звена приведены в табл. 4.6, а частотные — в табл. 4.7.Амплитудная частотная характеристика имеет иной вид, чем у идеального звена.Характеристики совпадают в области низких частот. В области высоких частот реальноезвено пропускает сигнал хуже, чем идеальное звено. Коэффициент передачи стремится кзначению k/T при w → ∞ . Для звеньев, представляющих собой RС- или RL-цепь (рис.4.24, а и б), k = Т и на высоких частотах коэффициент передачи стремится к единице.Фазовые сдвиги, вносимые звеном, являются наибольшими при низких частотах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
