Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 14
Текст из файла (страница 14)
ф. х.) строится на комплекснойплоскости. Она представляет собой геометрическое место концов векторов (годограф),соответствующих частотной передаточной функции W ( jw) = U ( jw) + jV ( w) приизменении частоты от нуля до бесконечности (рис. 4.7). По оси абсцисс откладываетсявещественная часть U ( w) = Re W ( jw) и по оси ординат — мнимая часть V ( w) = ImW ( jw) .Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка. Полученные точкисоединяются затем плавной кривой. Около нанесенных точек можно написатьсоответствующие им частоты w1 , w2 и т.
д.А. ф. х. может быть построена как для положительных, так и для отрицательныхчастот. При замене в частотной передаточной функции +w на —w получится сопряженнаякомплексная величина. Поэтому а. ф. х. для отрицательных частот может быть построенакак зеркальное изображение относительновещественнойоси а. ф. х.дляНа рис.
4.7 а. ф. х. для отрицательных частот показанаположительных частот.пунктирной линией..Отметим, в чем заключается смысл положительных и отрицательных частот. Припомощи преобразования Фурье∞X ( jw) = ∫ x(t )e − jwt dt0функция времени x(t) преобразуется в функцию частоты Х(jw). Это означает, чтофункция времени представляется в виде бесконечной суммы бесконечно малых повеличине векторов, вращающихся на комплексной плоскости с различными угловымискоростями (частотами) w. Эта сумма определяется формулой обратного преобразованияФурьеc +∞1x(t ) =X ( jw)e jwt dw,∫2π c −∞где с — абсцисса абсолютной сходимости.Так как функция времени является вещественной, то каждому элементарномувектору X ( jw)e jwt dw , вращающемуся против часовой стрелки (w >0), долженсоответствовать элементарный сопряженный вектор X (− jw)e − jwt dw , вращающийся почасовой стрелке (w< 0). В этом случае сумма таких векторов в любой момент временибудет всегда вещественной.
Поэтому интегрирование в формуле обратногопреобразования Фурье должно вестись по всем частотам от — ∞ до + ∞ .Примером представления функции времени в виде суммы сопряженных векторов,вращающихся в разные стороны, может служить изображение гармонических функций поформулам Эйлера, например (4.10).Таким образом, положительные и отрицательные частоты имеют определенныйсмысл, так как они соответствуют положительным и отрицательным угловым скоростямвращения векторов на комплексной плоскости.В принципе можно ограничиться рассмотрением только положительных частот.Однако при использовании всего диапазона частот от — ∞ до + ∞ многие формулыполучают более удобный и симметричный вид.Длина вектора, проведенного из начала координат в точку а.
ф. х., соответствующуюкакой-то выбранной частоте, равна модулю частотной передаточной функции. Уголмежду вектором и положительным направлением вещественной оси, отсчитываемыйпротив часовой стрелки, равен аргументу или фазе частотной передаточной функции.Таким образом, а. ф. х. дает возможность наглядно представить для каждой частотывходного воздействия звена отношение амплитуд выходной и входной величин и сдвигфаз между ними..Построение а.
ф. х. по вещественной и мнимой частям частотной передаточнойфункции, как правило, является трудоемкой работой, так как умножение частотнойпередаточной функции на комплексную величину, сопряженную ее знаменателю,повышает в два раза степень частоты в знаменателе. Обычно гораздо проще строить а. ф.х., используя полярные координаты, т.
е. вычисляя непосредственно модуль и фазу. Знаямодуль и фазу, можно легко построить соответствующую точку на комплекснойплоскости. В случае необходимости при известных модуле и фазе легко вычислитьвещественную и мнимую части умножением модуля на направляющий косинус междувектором и соответствующей осью.Вместо а. ф.
х. можно построить отдельно амплитудную частотную характеристику(а. ч. х.) и фазовую частотную характеристику (ф. ч. х.). Это построение показано на рис.4.8.Амплитудная частотная характеристика показывает, как пропускает звено сигналразличной частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной ивходной величин.Фазовая частотная характеристика показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном наразличных частотах.Как следует из сказанного выше, модуль частотной передаточной функциипредставляет собой четную функцию частоты, а фаза — нечетную функцию частоты.Поэтому по результатам вычисления модуля и фазы для положительных частот можносразу построить а. ч.
х. и ф. ч. х. для всего диапазона частот — ∞ < w < + ∞ .Можно построить также отдельно вещественную и мнимую частотныехарактеристики по функциям U (w) и V (со). Это построение показано на рис. 4.9. Какследует из сказанного выше, вещественная характеристика представляет собой четнуюфункцию частоты, а мнимая характеристика — нечетную функцию частоты.Минимально-фазовые звенья и системы. В случае, если корни числителя изнаменателя передаточной функции W (р) звена лежат в левой полуплоскости (при этомкорни числителя и знаменателя частотной передаточной функции W (jw) лежат в верхнейполуплоскости), такое звено называется минимально- фазовым.
Как будет показано ниже(см. § 4.8), этим звеньям присущи меньшие по абсолютной величине фазовые сдвиги посравнению со звеньями, у которых это условие не выполняется.Можно показать [121], что для минимально-фазовых звеньев существуют следующиезависимости:⎫⎪π −∞⎪+∞⎪⎪1 U ( w)V ( w) = ∫du ,⎬ (4.17)π −∞ u − w⎪+∞1 dLλ ⎪ln cth dλ ⎪U ( w) = ∫2 ⎪⎭π − ∞ dλuгде L(u) =ln A(u), λ = ln , а u — переменная интегрирования.wПриведенные зависимости являются чрезвычайно важными, так как показывают, чточастотная передаточная функция минимально-фазового звена или системы полностьюопределяется заданием ее вещественной части U (w), или мнимой части V (w), или модуляА (w). Это позволяет упростить задачи анализа и синтеза минимально-фазовых систем,ограничиваясь, например, рассмотрением их вещественных или амплитудных частотныххарактеристик.U ( w) = −1+∞V ( w)∫ u − wdu,§ 4.4.
Логарифмические частотныехарактеристикиПрологарифмируем выражение частотной передаточной функции (4.16):ln W ( jw) = ln A( w) + jψ ( w). (4.18)Как видно из этого выражения, логарифм частотной передаточной функции равенкомплексному выражению, вещественной частью которого является логарифм модуля, амнимой — фаза.Для практических целей удобнее пользоваться десятичными логарифмами и строитьотдельно логарифмическую амплитудную частотную характеристику (л. а. х.) илогарифмическую фазовую частотную характеристику (л. ф.
х.). Для построения л. а. х.находится величинаL(w) = 20 ln | W (jw) | = 20 lgА (w). (4.19)Эта величина выражается в децибелах. Бел представляет собой логарифмическуюединицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один белсоответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 бела — в 100 раз, 3 бела — в 1000 раз и т.д.Децибел равен одной десятой части бела. Если бы А (w) было отношениеммощностей, то перед логарифмом в правой части (4.19) должен был бы стоять множитель10. Так как А (w) представляет собой отношение не мощностей, а выходной и входнойвеличин (перемещений, скоростей, напряжений, токов и т.
п.), то увеличение этогоотношения в десять раз будет соответствовать увеличению отношения мощностей в стораз, что соответствует двум белам или двадцати децибелам. Поэтому в правой части (4.19)стоит множитель 20.20.10 раз, т. е. представляетОдин децибел соответствует изменению амплитуды всравнительно малую величину.Необходимость логарифмировать модуль частотной передаточной функции (4.19)приводит к тому, что, строго говоря, л. а. х. может быть построенатолько для тех звеньев, у которых передаточная функция представляет собойбезразмерную величину. Это возможно при одинаковых размерностях входной ивыходной величин звена. В дальнейшем изложении будет подразумеваться именно этотслучай.Однако л.
а. х. может условно строиться и для тех звеньев, у которых передаточнаяфункция имеет какую-либо размерность. В этом случае некоторая исходная величина,соответствующая размерности передаточной функции, принимается за единицу(например, 1 гсм/град, 1 сек-1 , 1 в/рад и т. п.) и под значением А (w) понимаетсяотношение модуля частотной передаточной функции к этой исходной единице.Это же замечание относится и к угловой частоте w, которая имеет размерность [сек-1]и которую приходится логарифмировать в соответствии с изложенным.Для построения л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
