Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

е. между величинами, представляющимивоздействие данного звена на последующее по схеме звено и воздействие предыдущегозвена на данное. Динамическое уравнение отдельного звена составляется по правиламсоответствующей технической науки (звено может представлять собой тепловойдвигатель,электрическую машину, механическую передачу, электрическую цепь,ламповую схему и т. п.).Звено может иметь иногда не одну входную величину, а несколько (например, приналичии дополнительных обратных связей). Кроме входной и выходной величин звена,которые выражают собой внутренние связи между звеньями данной системы, можетучитываться также внешнее воздействие..Пусть, например, звено (рис. 3.1, а) какой-нибудь автоматической системы имеетвходные величины х1, х2, выходную — х3 и внешнее воздействие f, а динамическоеуравнение звена имеет произвольный нелинейный видF ( x1 , x 2 , x 2 , x3 , x 3 , x3 , x3 ) = ϕ ( f , f ) (3.1)(для примера взят определенный порядок входящих в уравнение производных х2, х3,f; вообще же здесь могут быть любые другие варианты).Допустим, что установившийся процесс в системе имеет место при некоторыхпостоянных значениях x1 = x10 , x 2 = x 20 , x3 = x30 ,f = f 0 .

Тогда уравнениеустановившегося состояния для данного звена согласно (3.1) будетF ( x10 , x 20 ,0, x30 ,0,0,0) = ϕ ( f 0 ,0) (3.2).В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение о том, что висследуемом динамическом процессе переменные (в данном случае х1, x2, х3) изменяютсятак, что их отклонения от установившихся значений (х10, х20, x30) остаются все времядостаточно малыми (рис. 3.1, б).Обозначим указанные отклонения через ∆x1 , ∆x 2 , ∆x3 . Тогда в динамическомпроцессе⎫⎪x1 (t ) = x10 + ∆x1 , x 2 (t ) = x 20 + ∆x 2 , x 2 = ∆x 2 ,⎬ (3.3}x3 (t ) = x30 + ∆x3 , x 3 = ∆x 3 , x3 = ∆x3 , , x3 = ∆x3 . ⎪⎭Условие достаточной малости динамических отклонений переменных от некоторыхустановившихся значений для системы автоматического регулирование и следящихсистем обычно выполняется.

Этого требует сама идея работы замкнутой автоматическойсистемы.Внешнее же воздействие f не зависит от работы автоматической системы, изменениеего может быть произвольным, и поэтому правая часть уравнения (3.1) обычнолинеаризации не подлежит (в отдельных случаях и она может быть линеаризована).Первый способ линеаризации. Разложим функцию F, стоящую в левой частиуравнения (3.1), в ряд по степеням указанных выше малых отклонений, рассматривая всепроизводные тоже как самостоятельные переменные.

Тогда уравнение (3.1) примет вид⎛ ∂FF(x , x ,0, x ,0,0,0) + ⎜⎜⎝ ∂x10102⎛ ∂F+ ⎜⎜⎝ ∂x3030⎞⎛ ∂F⎟ ∆x3 + ⎜⎟⎜ ∂x⎠⎝ 30⎞⎛ ∂F⎟ ∆x1 + ⎜⎟⎜ ∂x⎠⎝ 20⎞⎛ ∂F⎟ ∆x3 + ⎜⎟⎜ ∂x⎠⎝ 30⎞⎛ ∂F⎟ ∆x2 + ⎜⎟⎜ ∂x⎠⎝ 20⎞⎛ ∂F⎟ ∆x2 + ⎜⎟⎜ ∂x⎠⎝ 30⎞⎟ ∆x3 +⎟⎠0⎞⎟ ∆x3 + (ччленвысшегопорядкамалости)= ϕ( f 0 , f )⎟⎠(3.4)0⎛ ∂F ⎞dF⎟ для краткости обозначена величинагде через ⎜⎜, взятая при x1 = x10 ,⎟dx1⎝ ∂x1 ⎠x 2 = x 20 , x3 = x30 … x3 = 0 . (т. е. сперва берется в общем виде частная производная отфункции F по х1, после чего в нее вместо всех переменных подставляются их постоянныезначения x10 , x 20 ,0, x30 ...,0 ).Следовательно, все частные производные в полученном уравнении (3.4)представляют собой некоторые постоянные коэффициенты. Они будут переменными вовремени, если функция F содержит t в явном виде или если установившийся процесс всистеме определяется переменными значениями x10 (t ) , x 20 (t ) , x30 (t ) .Члены высшего порядка малости, указанные в уравнении (3.4), состоят изпроизведений и степеней малых отклонений ∆x1 , ∆x 2 , ...

с коэффициентами в видесмешанных частных производных и частных производных второго и высших порядков отфункции F по всем переменным.Вычтя из уравнения (3.4) почленно уравнение установившегося состояния (3.2) иотбросив члены высшего порядка малости, получим искомое линеаризованное уравнениединамики данного звена в виде⎛ ∂F⎜⎜ ∂x⎝ 10⎛ ∂F⎞⎟ ∆x1 + ⎜⎜ ∂x⎟⎝ 2⎠0⎛ ∂F⎞⎟ ∆x 2 + ⎜⎜ ∂x⎟⎝ 2⎠0⎛ ∂F⎞⎟ ∆x 2 + ⎜⎜ ∂x⎟⎝ 3⎠0⎛ ∂F⎞⎟ ∆x3 + ⎜⎜ ∂x⎟⎝ 3⎠0⎞⎟ ∆x 3 +⎟⎠(3.5)00⎛ ∂F ⎞⎛ ∂F ⎞⎟ ∆x3 = ϕ ( f , f ) − ϕ ( f 0 ,0)⎟ ∆x3 + ⎜+ ⎜⎜⎜⎟⎟⎝ ∂x3 ⎠⎝ ∂x3 ⎠Это дифференциальное уравнение, так же как и (3.1), описывает тот жединамический процесс в том же звене автоматической системы. Отличие этого уравненияот прежнего состоит в следующем:1) это уравнение является более приближенным, ибо в процессе его вывода былиотброшены малые высшего порядка;2) неизвестными функциями времени в этом уравнении являются не прежние полныевеличины х1, х2, х3, а их отклонения ∆x1 , ∆x 2 , ∆x3 от некоторых установившихсязначений x10 , x 20 , x30 ,3) полученное уравнение является линейным относительно отклонений ∆x1 ,∂F ∂F,....

(или с переменными∂x1 ∂x2коэффициентами, если F содержит t в явном процесс определяется переменнымив программномвиде, а также величинами x10 (t ) , x 20 (t ) , x30 (t ) (напримеррегулировании).∆x 2 , ∆x 2 , ∆x3 , … ∆x3 , с постоянными коэффициентами.Таким образом, цель получения линейного дифференциального уравнения взаменпрежнего нелинейного достигнута. Уравнение (3.5) называется дифференциальнымуравнением звена в отклонениях.

Проделав то же самое для всех звеньев систе-мы,получим в результателинеаризованные уравнения процесса регулирования в отклонениях как называютеще, уравнения «в вариациях»).В дальнейшем можно будет проводить линеаризацию нелинейных уравненийнепосредственно по аналогии с формулой (3.5), не производя предварительных выкладок.Приведем геометрическую трактовку этого способа линеаризации. Изобразимграфически зависимость F от х1 при постоянных значениях всех остальных переменных:x 2 = x 20 , x 2 = x 20 , x3 = x30 , x 3 = x3 = x3 = 0Пусть эта зависимость имеет вид кривой, представленной на рис.

3.2, а. Отметимзначение x10 и проведем в точке С касательную. Тогда0⎛ ∂F ⎞⎜⎜⎟⎟ = tga , (3.6)⎝ ∂x1 ⎠где a — угол наклона касательной в точке С( x10 ,F0), для которойx1 = x10F = F 0 = F ( x10 , x 20 ,0, x30 ,0,0,0) (3.7)Замена х1 = x10 + ∆x1 и сокращение члена (3.7), производившиеся раньшеаналитически, здесь эквивалентны переносу начала координат в точку С (рис. 3.2, а), врезультате чего получается график рис. 3.2, б.Первый член линейного уравнения (3.5) согласно (3.6) означает, что линеаризацияуравнения геометрически может трактоваться как замена первоначальной кривой СВ накасательную к ней прямую СD.

Из графика рис. 3.2, б очевидно, что эта замена темточнее, чем меньшие величины отклонения ∆x1 возникают в исследуемом динамическомпроцессе (основная предпосылка для линеаризации); границы отклонений ∆x1 , длякоторых допустима линеаризация, тем шире, чем ближе кривая СВ к прямой СD.Последним обстоятельством и определяются практически в каждой задаче те границы,внутри которых отклонения можно считать «достаточно малыми».В ряде задач отличие от линейности, показанное на рис.

3.2, б, бывает стольнезначительным, что даже в сравнительно большом диапазоне отклонений ∆x1 можносчитать систему линейной. В случае же ярко выраженной нелинейной зависимостилинеаризация будет справедлива лишь на соответствующем более узком участкеотклонений ∆x1 . Линеаризация может быть совершенно недопустимой прискачкообразных зависимостях (релейные характеристики, сухое трение). Такого родазависимости называются существенно нелинейными.Важно отметить следующее. Если по указанным причинам не может бытьподвергнуто линеаризации уравнение только одного звена системы или даже только частьфункции F для данного звена, то производят линеаризацию всех остальных нелинейныхзависимостей, оставляя только одну или несколько существенно нелинейных.Второй способ линеаризации.

Из приведенной геометрической иллюстрациивытекает другой способ линеаризации уравнений системы автоматическогорегулирования, который весьма часто применяется на практике. Этот способ заключаетсяв том, что с самого начала все криволинейные зависимости, используемые присоставлении уравнений звеньев, заменяются прямолинейными (по касательной всоответствующей точке кривой). Тогда уравнения звеньев сразу будут получатьсялинейными.В последующих главах разделов II и III будут использоваться линеаризованныеуравнения динамических звеньев.

Однако для упрощения записи значок ∆ передпеременными x1 (t ) , x 2 (t ) , x3 (t ) и т. д. будет опускаться в предположении, что этипеременные представляют собой малые отклонения от некоторого установившегосясостояния и линеаризация уравнений уже проделана.§ 3.2. О записи линеаризованных уравнений звеньевВ теории автоматического регулирования в настоящее время принято записыватьдифференциальные уравнения звеньев в двух стандартных формах.Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобывыходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входнаявеличина и все остальные члены — в правой части.

Кроме того, принято, чтобы самавыходная величина входила в уравнение с коэффициентом единица. Чтобы привестилинеаризованное уравнение (3.5) к такому виду, введем обозначения:00⎛ ∂Fk 2 = −⎜⎜⎝ ∂x 200⎛ ∂F ⎞⎟⎟ ,k1 = 1 ÷ ⎜⎜⎝ ∂x3 ⎠00⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂F ⎞⎟⎟ ÷ ⎜⎜⎟⎟ ,T22 = −⎜⎜⎝ ∂x3 ⎠ ⎝ ∂x3 ⎠⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂F ⎞⎟⎟ ,⎟⎟ ÷ ⎜⎜k1 = −⎜⎜⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x3 ⎠⎛ ∂Fk1 = −⎜⎜⎝ ∂x 2⎞ ⎛ ∂F ⎞⎟⎟ ,⎟⎟ ÷ ⎜⎜⎠ ⎝ ∂x3 ⎠⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂F ⎞⎟⎟ ÷ ⎜⎜⎟⎟ ,T1 = −⎜⎜⎝ ∂x 3 ⎠ ⎝ ∂x3 ⎠0000⎞ ⎛ ∂F ⎞⎟⎟ ,⎟⎟ ÷ ⎜⎜⎠ ⎝ ∂x3 ⎠000(3.8)⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂F ⎞⎟⎟ ÷ ⎜⎜⎟⎟ ,T = −⎜⎜f 1 (t ) = ϕ ( f , f ) − ϕ ( f 0 ,0).⎝ ∂x3 ⎠ ⎝ ∂x3 ⎠Тогда уравнение (3.5) примет видT33 ∆x3 + T22 ∆x3 + T1 ∆x 3 + ∆x3 = k1 ∆x1 + k 2 ∆x 2 + k 3 ∆x 2 + k 4 f1 (t ) .

(3.9)В случае, если нелинейная функция F не содержит величины х3, а содержиттолько ее производные, т. е. если330⎛ ∂F ⎞⎜⎜⎟⎟ = 0 ,∂x⎝ 3⎠0в формулах(3.8)необходимо0⎛ ∂F ⎞⎛ ∂F ⎞⎟⎟ на ⎜⎜⎟⎟ . Взаменить ⎜⎜∂x∂x⎝ 3⎠⎝ 3⎠результатеполучится уравнениеT22 ∆x3 + T1 ∆x3 + ∆x 3 = k1 ∆x1 + k 2 ∆x 2 + k 3 ∆x 2 + k 4 f1 (t ) (3.10)где0000⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂F ⎞⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂F ⎞⎟⎟ ÷ ⎜⎜⎟⎟ , T22 = −⎜⎜⎟⎟ ÷ ⎜⎜⎟⎟ ....T1 = −⎜⎜⎝ ∂x3 ⎠ ⎝ ∂x 3 ⎠⎝ ∂x3 ⎠ ⎝ ∂x 3 ⎠Уравнения (3.9) и (3.10) удобнее записывать в символической форме, введяdалгебраизированный оператор дифференцирования p = . Тогдаdtуравнение (3.9) примет вид(T33 p 3 + T22 p 2 + T1 p + 1)∆x3 = k1 ∆x1 + (k 2 + k 3 p)∆x 2 + k 4 f 1 (t ) , (3.11)а уравнение (3.10) (3.12)(T22 p 2 + T1 p + 1)∆x3 = k1 ∆x1 + (k 2 + k 3 p )∆x 2 + k 4 f1 (t ) .Эти записи надо рассматривать только как сокращенную форму более полныхзаписей (3.9) и (3.10).Стандартные формы записи уравнений звеньев автоматических систем (3.9) и (3.10)или их сокращенные виды (3.11) и (3.12) можно использовать как для размерныхотклонений реальных величин на входе и выходе звена, так и для любых безразмерныхотносительных отклонений, специально иногда вводимых для упрощения вида уравненийи удобства их исследования.

При записи уравнений в стандартной форме коэффициентыk1, k2, k3, k4 называются коэффициентами передачи, а Т1, Т2, Т3 — постоянными времениданного звена..В случае звеньев, у которых выходная и входная величины имеют одинаковуюразмерность, для коэффициентов передачи используются также следующие термины:1) коэффициент усиления — для звена, представляющего собой усилитель илиимеющего в своем составе усилитель;2) передаточное число — для редукторов, делителей напряжения, масштабирующихустройств и т. д.Термин «коэффициент передачи» можно пояснить следующим образом. Если податьна вход звена только постоянное значение ∆x10 (рис.

Характеристики

Список файлов книги