Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 12
Текст из файла (страница 12)
3.3, б) и найти установившеесязначение выходной величины ∆x30 (рис. 3.3, в), то из (3.9) получим ∆x30 = k1 ∆x10 . Такимобразом, коэффициент k1 показывает отношение выходной величины звена к входной вустановившемся режиме.Следовательно, коэффициент передачи определяет собой наклон (с учетоммасштабов по осям) линейной статической характеристики звена (рис.
3.3, а). Заметим,что нелинейную характеристику звена часто называют характеристикой с переменным повходной величине коэффициентом передачи. Из (3.9) очевидно, чторазмерность выходной ввеличин ∆х3.размерность k1 =размерность входной величины∆х1В размерность коэффициента передачи может входить также время t. Так, изуравнения (3.9) следует, чторазмерность ∆х3 × размерность tразмерность k 3 =размерность ∆х 2а из уравнения (3.10) следует, что для такого звенаразмерность ∆х3размерность k 3 =размерность ∆х1 × размерность tПостоянные времени T1 T2 и Т3, как следует из уравнений (3.9) и (3.10),имеютразмерность времени.Вторая форма записи. Считая условно оператор дифференцированияdалгебраической величиной, решим уравнение (3.11) относительноp=dtвыходной величины:(k 2 + k 3 p )∆x 2 (t )k1 ∆x1 (t )k 4 f 1 (t )∆x 3 =+.
(3.13)+2 23 32 23 31 + T1 p + T2 p + T3 p1 + T1 p + T2 p + T3 p1 + T1 p + T22 p 2 + T33 p 3Выраженияk1,3.14W1 ( p) =1 + T1 p + T22 p 2 + T33 p 3W2 ( p ) =k 2 + k3 p,1 + T1 p + T22 p 2 + T33 p 33.15k4.3.161 + T1 p + T22 p 2 + T33 p 3называются в теории регулирования передаточными функциями. Уравнение (3.13)можно представить в виде∆x3 = W1 ( p)∆x1 (t ) + W2 ( p)∆x 2 (t ) + W f ( p)∆f1 (t ). (3.17)W3 ( p) =Выражения (3.13) и (3.17) представляют собой символическую записьдифференциального уравнения (3.9).Передаточные функции, формулы для которых устанавливаются выражениями (3.14)— (3.16), вводятся для сокращения записи дифференциальных уравнений и такжепредставляют собой символическую запись дифференциальных уравнений.Более строго передаточная функция определяется через изображения Лапласа илиКарсона — Хевисайда (см.
главу 7). Если ввести изображения, например по Лапласу,входных и выходных величин звена:∆X 1 ( s ) = L[∆x1 (t )], ∆X 2 ( s ) = L[∆x 2 (t )],∆X 3 ( s ) = L[∆x3 (t )], F1 ( s ) = L[ f 1 (t )],где s = с + jw — комплексная величина, то передаточную функцию (3.14) можнострого определить как отношение изображений выходной и входной величин звена:∆X 3 ( s )k1W1 ( s ) ==, (3.18)∆X 1 ( s ) 1 + T1 s + T22 s 2 + T33 s 3при нулевых начальных условиях и равных нулю остальных воздействиях на звено;∆X 2 ( s ) = 0 , F1 ( s ) = 0 .
Аналогичным образом можно определить передаточные функции(3.15) и (3.16). Поэтому вместо дифференциального уравнения (3.17), куда входятфункции, времени ∆x1 (t ) , ∆x 2 (t ) , ∆x3 (t ) , можно написать при нулевых начальныхусловиях уравнение для изображений в виде, совпадающем по форме с (3.17):∆X 3 ( s ) = W1 ( s )∆X 1 ( s ) + W2 ( s )∆X 2 ( s ) + W f ( s )∆F1 ( s ). (3.19)или в развернутом виде:(k 2 + k 3 s )∆X 2 (t )k 1 ∆X 1 ( s )k 4 F1 ( s )∆X 3 ( s ) =++. (3.20)2 23 32 23 31 + T1 s + T2 s + T3 s1 + T1 s + T2 s + T3 s1 + T1 s + T22 s 2 + T33 s 3В двух последних выражениях фигурируют не функции времени, а их изображения:∆X 1 ( s ), ∆X 2 ( s ), ∆X 3 ( s ), и ∆F1 ( s ), где s = с + jw — комплексная величина.В изображениях Лапласа и Карсона — Хевисайда комплексная величина частообозначается той же буквой р, что и оператор дифференцирования, причем р = с + jw.
Вэтом случае уравнение (3.19) будет иметь вид∆X 3 ( p) = W1 ( p)∆X 1 ( p) + W2 ( p)∆X 2 ( p) + W f ( p )∆F1 ( p).(3.21)Здесь, как и в уравнении (3.19), фигурируют изображения функций ∆X 1 ( p ), ∆X 2 ( p ),∆X 3 ( p), и ∆F1 ( p ) .dдляВ дальнейшем будет употребляться символ дифференцирования p =dtсимволической записи дифференциальных уравнений, куда входят функции времениx1 (t ) , x 2 (t ) и т. д., и комплексная величина р = с + jw для записи уравнений сизображениями функций времени по Лапласу или Карсону — Хевисайду ∆X 1 ( p ),∆X 2 ( p ) и т. д. Запись передаточных функций звена, в том и в другом случае сливается водну: W1 ( p ), W2 ( p ) и т.
д. Однако в передаточных функциях буква р будет означатьdсимвол дифференцирования p =или комплексную величину р = с + jw в зависимостиdtот того, рассматриваются ли функции времени или их изображения.Понятие передаточной функции весьма удобно при анализе так называемыхструктурных схем. Так, например, звено, изображенное на рис. 3.1, после линеаризации,которая была проделана в предыдущем параграфе, можно представить в виде структурнойсхемы, показанной на рис. 3.4. Передаточные функции звеньев или отдельных участковсхемы позволяют легко получить общее уравнение всей системы в виде (3.13) или (3.20), ав дальнейшем в случае необходимости перейти к исходному дифференциальномууравнению вида (3.9).
Подобным же образом могут быть получены передаточныефункции и структурные схемы и для других дифференциальных уравнений звеньев,например для рассмотренного выше уравнения (3.10). Подробнее этот вопрос изложен в §5.4.ГЛАВА 4ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ§ 4.1. Общие понятияКак уже было сказано, для расчета различных систем автоматическогорегулирования они обычно разбиваются на динамические звенья. Под динамическимзвеном понимают устройство любого физического вида и конструктивного оформления,но описываемое определенным дифференциальным уравнением.В соответствии с этим классификация звеньев производится именно по видудифференциального уравнения. Одним и тем же уравнением могут описываться весьмаразнообразные устройства (механические, гидравлические, электрические и т.
д.). Длятеории автоматического регулирования это будет один и тот же тип звена. Конкретные жеэлементы автоматических систем, их теория, конструкция и расчеты излагаются всоответствующих учебниках и руководствах..Обозначим входную величину звена через х1 а выходную через х2 (рис. 4.1).Возмущение, действующее на звено, в соответствии с изложенным выше обозначим f(t).Статическая характеристика любого звена может быть изображена прямой линией(рис. 4.2), так как пока будут рассматриваться линейные или, точнее, линеаризованныесистемы.В звеньях позиционного, или статического, типа линейной зависимостью х2 = kx1связаны выходная и входная величины в установившемся режиме (рис.
4.2, а).Коэффициент пропорциональности k между выходной и входной величинамипредставляет собой коэффициент передачи звена.dx 2В звеньях интегрирующего типа линейной зависимостью = kx1 связаныdtпроизводная выходной величины и входная величина в установившемся режиме (рис.4.2,6). В этом случае для установившегося режима будет справедливым равенствоx 2 = k ∫ x1 dt , откуда и произошло название этого типа звеньев. Коэффициентпропорциональности k в этом случае также является коэффициентом передачи звена.
Есливходная и выходная величины звена имеют одинаковую размерность, то коэффициентупередачи соответствует размерность [сек-1].dxВ звеньях дифференцирующего типа линейной зависимостью x 2 = k 1 связаны вdtустановившемся режиме выходная величина и производная входной (рис. 4.2, в), откуда ипроизошло название этого типа звеньев. Коэффициент пропорциональности k; являетсякоэффициентом передачи звена. Если входная и выходная величины имеют одинаковуюразмерность, то коэффициенту передачи соответствует размерность [сек].Классификация звеньев, как уже отмечалось, производится по видудифференциального уравнения или, что тоже, по виду передаточной функции звена.Предположим, что звено, изображенное на рис.
4.1, описываетсядифференциальным уравнением, представленным в стандартной форме:d 2 x2dxdxT22+ T1 2 + x 2 = k1 x1 + k 2 1 + k 3 f (t )2dtdtdt.При нулевых начальных условиях, т. е. в том случае, если для t <0 входная ивыходная величины, а также их производные тождественно равны нулю, и при отсутствиивнешнего возмущения (f(t)=0) может быть найдена передаточная функция звена какотношение изображений по Лапласу (или Карсону) выходной и входной величин:k1 (1 + T3 p )X ( p)k1 + k 2 p=(4.1)=W ( p) = 22 2X 1 ( p) 1 + T1 p + T2 p1 + T1 p + T22 p 2где k1 — коэффициент передачи звена, T3 =k2/k1 - постоянная времени.При известной передаточной функции выходная величина (точнее ее изображение поЛапласу или по Карсону) может находиться из выраженияX 2 ( p ) = W ( p ) X 1 ( p ).Аналогичным образом может быть найдена передаточная функция звена повозмущению, если положить при нулевых начальных условиях входное воздействиеравным нулю (х= 0).
Тогда искомая передаточная функция будет равна отношениюизображений выходной величины и внешнего возмущения:k3X ( p)=WF ( p) = 2(4.2)F ( p ) 1 + T1 p + T22 p 2В дальнейшем изложении для характеристики звена будет использоваться восновном передаточная функция, так как именно она дает связь между входной ивыходной величинами, что необходимо знать при использовании того или иного звена вавтоматической системе.В соответствии с этим в табл. 4.1 приведены передаточные функции десятиразновидностей так называемых типовых динамических звеньев.
Под типовым звеномпонимается такое звено, которое описывается дифференциальным уравнением не вышевторого порядка. Характеристики типовых звеньев рассматриваются более подробнониже.В табл. 4.1 не приводятся сведения о большой группе так называемыхкорректирующих звеньев, используемых для улучшения динамических качествавтоматических систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
