Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 16
Текст из файла (страница 16)
х. показаны три характерныеотметки (w = 0, w = 1/T и w = ∞ } . А. ф. х. для положительных частот может бытьдополнена зеркальной полуокружностью для отрицательных частот (показана пунктиром).В результате полная а. ф. х. представляет собой окружность.Из амплитудной характеристики видно, что колебания малых частот (w < 1/T)пропускаются» данным звеном с отношением амплитуд выходной и входной величин,близким к статическому коэффициенту передачи звена k. Колебания больших частот(w>1/T) проходят с сильным ослаблением амплитуды, т. е. «плохо пропускаются»или практически совсем «не пропускаются» звеном. Чем меньше постоянная времени Т, т.е. чем меньше инерционность звена, тем более вытянута амплитудная характеристикаА(w) вдоль оси частот, или, как говорят, тем шире полоса пропускания частот ∆wп уданного звена:112∆wп = − (− ) =(4.25)TTTЛогарифмические частотные характеристики приведены в табл.
4.3. Л. а. х.строится по выражениюk(4.26)L( w) = 20 lg W ( jw) = 20 lg1 + w 2T 2Наиболее просто, практически без вычислительной работы, строится так называемаяасимптотическая л. а. х. Ее построение показано на рис. 4.15. На стандартной сеткепроводится вертикальная прямая через точку с частотой, называемой сопрягающейчастотой w = 1/T. Для частот меньших, чем сопрягающая,т. е. при w<1/T , можнопренебречь вторым слагаемымпод корнем в выражении (4.26). Тогда левее сопрягающей частоты (рис. 4.15) можнозаменить (4.26)приближенным выражением L(w)=20lg k (при w<1/T), которомусоответствует прямая линия, параллельная оси частот(прямая ab) и являющаяся первойасимптотой.Для частот больших, чем сопрягающая (w >1/T) , в выражении (4.26) можнопренебречь под корнем единицей по сравнению с w2 T2 .
Тогда вместо (4.26) будем иметьриближенное значениеk(при w>1/T) ,L( w) ≈ 20 lgwTкоторому соответствует, согласно § 4.4, прямая с отрицательным наклоном20 дб/дек (прямая ab), являющаяся второй асимптотой.Ломаная линия аbс и называется асимптотической л. а. х. Действительнаял. а.
х. (показана на рис. 4.15 пунктиром) будет несколько отличатьсяот асимптотической, причем наибольшее отклонение будет в точке b. Оно равноприблизительно 3 дб, так какk1A( ) = 20 lg= 20 lg k − 3.03дбT2что в линейном масштабе соответствует отклонению в 2 раз. На всем остальномпротяжении влево и вправо от сопрягающей частоты действительная л. а. х. будетотличаться от асимптотической менее чем на 3 дб.
Поэтому во многих практическихрасчетах достаточно ограничиться построением асимптотической л. а. х.На том же рис. 4.15 показана логарифмическая фазовая характеристика.Характерными ее особенностями являются сдвиг по фазе ψ = -45° при сопрягающейчастоте (так как arctg wT = arctg 1 = 45°) и симметрия л. ф. х. относительно сопрягающейчастоты..3.
Апериодическое звено второго порядка. Дифференциальное уравнение звенаимеет видd 2 x2dx2T2+ T1 2 + x 2 = kx1 (4.27)2dtdtПри этом корни характеристического уравнения T22 p 2 + T1 p + 1 = 0 должны бытьвещественными, что будет выполняться при условии Т1 >2Т2, В операторной записиуравнение (4.27) приобретает вид(T22 p 2 + T1 p + 1) x 2 = kx1 (4.28)Левая часть последнего выражения разлагается на множители:(T3 p + 1)(T4 p + 1) x 2 = kx1 (4.29)гдеT3, 4 =T1T2± 1 − T2224Передаточная функция звенаk(4.30)(T3 p + 1)(T4 p + 1)Апериодическое звено второго порядка эквивалентно двум апериодическим звеньямпервого порядка, включенным последовательно друг за другом, с общим коэффициентомпередачи Л и постоянными времени Т3 и Т4.Примеры апериодических звеньев второго порядка приведены на рис.
4.16.Рассмотрим подробно случай двигателя постоянного тока (рис. 4.16, а). При отсутствиимомента нагрузки на валу и при учете переходных процессов в цепи якоря динамикадвигателя описывается двумя уравнениями, определяющими равновесие э. д. с. в цепиякоря:diL + Ri + C E Ω = udtи равновесие моментов на валу двигателя:dΩСM i + J=0dtгде u — напряжение, прикладываемое к якорю, СЕ и СM — коэффициентыпропорциональности между обратной э. д. с. и скоростью вращения и: и междувращающим моментом и током якоря i, J— приведенный момент инерции, L и R —индуктивность и сопротивление цепи якоря.Переходя в обоих уравнениях к операторной форме записи и решая их совместно,получим передаточную функцию двигателя постоянного тока при управлениинапряжением якоря как отношение изображений скорости двигателя и напряженияякоря:W ( p) =W ( p) =11, (4.31)С E 1 + TM p + TM TЯ p 2JRL- электромеханическая постоянная времени двигателя, TЯ =—CE CMRэлектромагнитная постоянная времени якорной цени, Ω 0 и М0 — скорость холостогохода и пусковой момент двигателя.TMДля того чтобы корни знаменателя выражения были вещественными и передаточнуюфункцию можно было бы представить в форме (4.30), необходимо выполнение условия4TЯ < ТM.Переходная функция и функция веса звена приведены в табл.
4.2.Частотные характеристики приведены в табл. 4.3. Построение асимптотической л. а.х. производится аналогично тому, как это было сделано для апериодического звенапервого порядка. Вначале проводятся вспомогательные вертикальные линии черезсопрягающие частоты w = 1/T3 и w = 1/T4.Для определенности построения принято, что Т3 > T4.Л. а. х. строится по выражениюk. (4.32)L( w) = 20 lg W ( jw) = 20 lg2 21 + w T3 1 + w 2T42Левее первой сопрягающей частоты (w</T3) это выражение заменяетсяприближеннымL( w) = 20 lg k ,которому соответствует прямая с нулевым наклоном (первая асимптота л. а.
х.). Длячастот 1/T3 <w<1/T4 выражение (4.32) заменяется приближеннымkL( w) = 20 lg,wT3которому соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дб/дек (втораяасимптота). Для частот w>1/T4 выражение (4.32) заменяется приближеннымkL( w) = 20 lg 2w T4T3которому соответствует прямая с отрицательным наклоном 40 дб/дек (третьяасимптота).
Действительная л. а. х. показана в табл. 4.3 пунктиром. Она отличается отасимптотической в точках излома на 3 дб.4. Колебательное звено. Звено описывается тем же дифференциальным уравнением(4.27), что и апериодическое звено второго порядка. Однако корни характеристическогоуравнения T22 p 2 + T1 p + 1 = 0 должны быть комплексными, что будет выполняться приT1<2T2Левая часть дифференциального уравнения обычно представляется в виде(T22 p 2 + ξTp + 1) x 2 = kx1 (4.33)илиp 2 ξp( 2 ++ 1) x2 = kx1qqгде q = 1/T — угловая частота свободных колебаний (при отсутствии затухания),ξ — параметр затухания, лежащий в пределах 0< ξ <1. Передаточная функцияколебательного звенаkkW ( p) = ( 2 2) x2 = 2(4.35)T p + ξTp + 1pξp++1qq2Примеры колебательных звеньев приведены на рис.
4.17. К ним относятсяколебательные RLC-цепи (рис. 4.17, а), управляемые двигатели постоянного тока привыполнений условия 4TЯ > ТM (рис. 4.17, б), упругие механические передачи, напримердля передачи вращательного движения (рис. 4.17, в), с упругостью С, моментом инерции Jи коэффициентом скоростного трения S, гироскопические элементы (рис.
4.17, г) и др.Рассмотрим для иллюстрации гироскопический элемент (рис. 4.17, г). В качествевходной величины примем момент М, прикладываемый к оси α , а в качестве выходной— угол поворота этой же оси α .Уравнение равновесия моментов на осиd 2adadβA 2 +F−H=MdtdtdtБудем считать, что на оси β (оси прецессии) не действуют никакие внешниемоменты.
Тогда для этой оси уравнение равновесия моментов запишется так:d 2βdβB 2 +H=0dtdtВ этих формулах А и В — моменты инерции по осям α и β , H — кинетическиймомент гироскопа, равный его полярному моменту инерции J, умноженному на угловуюскорость вращения Ω , и F — коэффициент скоростного сопротивления на оси α .Переходя к операторным выражениям и решая оба уравнения совместно, получаем:B⎞⎛ AB 2 FB⎜ 2 p + 2 p + 1⎟α = 2 MHH⎠⎝HЭто уравнение можно переписать следующим образом:p 2 ξpB( 2 ++ 1)α = 2 M ,qqHH2где q =— квадрат угловойчастоты нутационных колебаний,аAB1F Bξ=—параметр затухания, определяемый действием сил скоростного трения на2B Aоси α .
Это уравнение совпадает с выражением (4.34). Для решения дифференциальногоуравнения (4.33) или (4.34) необходимо найти корни характеристического уравненияp 2 ξp2 2T p + ξTp + 1 = 2 ++1 = 0qqРешение дает1ξp1, 2 = −γ ± jλ = − ± j1 − ξ 2 = −ξq ± jq 1 − ζ 2 (4.36)TT2Вещественная часть корня γ представляет собойпереходного процесса, а λ — частоту затухающих колебаний.коэффициентзатухания.Временные характеристики звена приведены в табл. 4.2, а частотные характеристики— в табл. 4.3.Амплитудная частотная характеристика может иметь резонансный пик.Исследование модуля частотной передаточной функции на максимум показывает, что пикбудет существовать при ξ < 0,707. Высота пика будет тем больше, чем меньше параметрзатухания:kA( wM ) =. (4.37)2ξ 1 − ξ 2Максимуму а.
ч. х. соответствует частотаwM = q 1 − 2ξ 2 (4.38)Л. а. х. строится по выражениюkL( w) = 20 lg2(4.39)⎛ w ⎞w⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ + 4ξ 2 2q ⎠q⎝Однако построение л. а. х те может быть сделано так просто, как это было дляпредыдущих звеньев. Для построения используются так называемые нормированные л. а.х. Постоянный множитель под знаком логарифма в выражении (4.39) может быть выделенв отдельное слагаемое:1(4.40)L( w) = 20 lg k + 20 lg2 22⎛ w ⎞w⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ + 4ξ 2 2q ⎠q⎝22Построение первого слагаемого (4.40) не представляет никакого труда. Второеwслагаемое может быть построено в функции относительной частоты — для различныхqзначений параметра затухания ξ в виде универсальных (нормированных) кривых (рис.4.18).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
