Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Навысоких частотах фазовый сдвиг постепенно уменьшается, стремясь в пределе к нулю приw → ∞ . Здесь также видно, что это звено ведет себя подобно идеальному только вобласти низких частот.Л. а. х. строится по выражениюL( w) = 20 lgkw(4.55)1 + w 2T 2Асимптотическая л. а. х. может быть представлена в виде двух прямых. Одна из нихимеет положительный наклон 20 дб/дек (при w < 1/T), а вторая—параллельна оси частот(при w>1/T).§ 4.8. Неустойчивые и неминимально-фазовые звеньяРассмотренные выше звенья позиционного типа относятся к устойчивым звеньям,или к звеньям с самовыравниванием. Под самовыравниванием понимается способностьзвена самопроизвольно приходить к новому установившемуся значению приограниченном изменении входной величины или возмущающего воздействия.
Терминсамовыравнивание обычно применяется для звеньев, представляющих собой объектырегулирования.Существуют звенья, у которых ограниченное изменение входной величины иливозмущающего воздействия не вызывает прихода звена к новому установившемусясостоянию, а выходная величина имеет тенденцию неограниченного возрастания вовремени. К таким звеньям относятся, например, звенья интегрирующего типа.
Они былирассмотрены выше.Существуют звенья, у которых этот процесс выражен еще заметнее. Это объясняетсяналичием положительных вещественных корней или комплексных корней сположительной вещественной частью в характеристическом уравнении (знаменателепередаточной функции, приравненном нулю), в результате чего звено будет относиться ккатегории неустойчивых звеньев. Вопрос устойчивости будет изложен подробно в главе 6.Рассмотрим в качестве примера звено, описываемое дифференциальным уравнениемdxT 2 − x 2 = kx1 (4-56)dtкоторому соответствует передаточная функцияk(4-57)W ( p) =− 1 + TpПереходная функция такого звена представляет собой показательную функцию сположительным показателем степени:tTh(t ) = k (e − 1) ⋅ 1(t ) (4-58)Эта функция изображена на рис.
4.25.Таким звеном может быть, например, двигатель любого типа (рис. 4.13, а), если егомеханическая характеристика, т. е. зависимость вращающего момента от скоростивращения M = f (Ω) , имеет положительный наклон. На рис. 4.26 изображеныразновидности механических характеристик двигателя.
В случае, соответствующемкривой 1, двигатель представляет собой устойчивое апериодическое звено первогопорядка, уравнения движения которого были рассмотрены в § 4.5. Это звено имеетположительное самовыравнивание..В случае, соответствующем кривой 2, когда вращающий момент не зависит отскорости вращения, уравнение движения двигателя, записанное для угловой скорости,приобретает видdΩJ= k M x1 ,dtгде J — суммарный приведенный момент инерции на валу двигателя, kм —коэффициент пропорциональности между управляющим воздействием х1 и вращающиммоментом. Здесь скорость двигателя связана с управляющим воздействием передаточнойфункцией, соответствующей интегрирующему звенуkkW ( p) = M =Jp pЭто звено не имеет самовыравнивания. В случае, соответствующем кривой 3,дифференциальное уравнение движения будетdΩJ= k M x1 + k1Ω,dtгде k1 — наклон механической характеристики в точке, линеаризация.Это уравнение приводится к следующему:dΩT− Ω = kx1dtгде производитсягде Т = J/k1 — постоянная времени двигателя.
Оно совпадает с выражением (4.56).Звено имеет отрицательное самовыравнивание.Признаком отрицательного самовыравнивания является отрицательный знак передсамой выходной величиной в левой части дифференциального уравнения (см., например,формулу (4.56)) или появление отрицательного знака у свободного члена знаменателяпередаточной функции (см., например, формулу (4.57)).Существенной особенностью неустойчивых звеньев является наличие больших посравнению с устойчивыми звеньями фазовых сдвигов. Так, для рассматриваемогоапериодического звена с отрицательным самовыравниванием (неустойчивого) частотнаяпередаточная функция на основании (4.57) будет равнаkW ( jw) =(4.59)− 1 + TjwМодуль ее не отличается от модуля частотной передаточной функции устойчивогоапериодического звена (табл.
4.3):kА( w) =1 + w 2T 2Поэтому а. ч. х. и л. а. х. этих двух звеньев (устойчивого и неустойчивого) совпадаюти по одной амплитудной характеристике нельзя определить. к какому звену онаотносится.Фазовый сдвиг, соответствующий неустойчивому апериодическому звену,wTψ = −arctg= −180 + arctgwT−1имеет большие абсолютные значения по сравнению с фазовым сдвигом устойчивогоапериодического звена первого порядка (табл. 4.3): ψ = − arctgwT . В связи с этимнеустойчивые звенья относятся к группе так называемых неминимально-фазовых звеньев,поскольку минимальные по абсолютному значению фазовые сдвиги при одинаковыхамплитудных характеристиках будут у устойчивых звеньев.
К неминимально-фазовымзвеньям относятся также устойчивые звенья, имеющие в числителе передаточнойфункции (в правой части дифференциального уравнения) вещественные положительныекорни или комплексные корни с положительной вещественной частью.
Например, звено спередаточной функцией1 − T1 pW ( p) =1 + T2 wотносится к группе неминимально-фазовых звеньев. Действительно, по сравнению созвеном, имеющим передаточную функцию1 + T1 pW ( з) =1 + T2 wоно будет иметь большие по абсолютной величине фазовые сдвиги, так как− arctgwT1 − arctgwT2 > arctgwT1 − arctgwT2при одинаковом виде амплитудной частотной характеристики.Напомним, что к минимально-фазовым звеньям относятся такие, у которых корничислителя и знаменателя передаточной функции находятся в левой полуплоскости (см.
§4.3).К неустойчивым звеньям, кроме рассмотренного выше звена, относятся такжеследующие звенья с соответствующими передаточными функциями:квазиконсервативное звено —kkW ( p) ==(4.60)2 2(−1 + Tp )(1 + Tp )−1+ T pквазиколебательное звено —kW ( p) = 2 2(4.61)T p + ξTp − 1колебательное звено с отрицательным затуханием —kW ( p) = 2 2(4.62)T p − ξTp + 1квазиколебательное звено с отрицательным затуханием —kW ( p) = 2 2(4.63)T p − ξTp − 1неустойчивое интегрирующее звеноW ( p) =k(4.64)p(−1 + Tp )и ряд других звеньев.Наличиевавтоматическойсистеменеустойчивыхзвеньеввызываетнекоторые особенности расчета, которые будут рассмотрены ниже (см.
главу 6).§ 4.9. Звенья с модулированным сигналомДо сих пор рассматривались звенья, в которых сигнал был немодулированным. Вавтоматических системах часто используются звенья (чувствительные элементы,усилители, серводвигатели и т. п.), у которых сигнал представляет собой переменноенапряжение (или ток) некоторой частоты со0, называемой несущей. В этом случае законизменения сигнала во времени характеризуется изменением амплитуды илидействующего значения этого напряжения, т. е. огибающей. На рис. 4.27 для иллюстрацииприведены формы немодулированного и модулированного сигналов. Изменению знакасигнала соответствует изменение фазы несущей частоты w0 на 180°.При расчете автоматических систем с модулированным сигналом могут возникатьдве задачи:1) нахождение такого звена, которое по своему воздействию на огибающуюмодулированного сигнала было бы эквивалентным какому-либо обычному звену,используемому ,в системах с немодулированным сигналом, например апериодическомупервого порядка, дифференцирующему, интегрирующему ж т.
п.;2) определение воздействия звена с заданной передаточной функцией на огибающуюмодулированного сигнала, т. е. нахождение передаточной функции по огибающей.Рассмотрим первую задачу. Ниже без строгих доказательств показывается путь,позволяющий сформулировать требования к частотной передаточной функции звена,чтобы его воздействие на огибающую сигнала было определенным и заранее заданным.Для уяснения этого пути обратимся к какому-либо-простейшему звену «снемодулированным сигналом, например к апериодическому звену первого порядка.
Дляопределенности в качестве такого звена возьмем .RC-цепь (рис. 4.13, д). Передаточнаяфункция этого звена1W ( p) =1 + Tpгде T=RC.Представим себе, что динамические свойства рассматриваемого звена изучаются припомощи экспериментального снятия его амплитудной частотной характеристики. Дляэтой цели на вход RС-цепи нужно подавать напряжение от источника с переменнойчастотой, например от звукового генератора, и измерять отношение амплитуд выходногои входного напряжений. Характеристика снимается только для положительных частот, азатем дополняется симметричной ветвью в области отрицательных частот (рис. 4.28). Поотношению к амплитудной частотной характеристике можно применить следующийформальный прием.
Входное напряжение при снятиичастотной характеристики представляет собой гармоническую функцию с угловойчастотой со и амплитудой U1mах:u1 = U 1 max sin wt(4.65)Используя понятие отрицательной частоты, можно представить эту функцию в видеалгебраической суммы сигнала, положительной частоты и сигнала отрицательнойчастоты:Uu1 = 1 max [sin wt − sin( − w)t ] (4.66)2.Эти сигналы называются боковыми частотами. Название произошло по следующейпричине. Если на вход звена поступает постоянный по величине сигнал,то его можно представить как сигналнулевой частоты. В этом случае коэффициент передачи звена равен ординатепересечения амплитудной характеристикой оси ординат.
В рассматриваемой. RC-цепиэтот коэффициент равен единице, т. е. k=1.Если теперь на вход звена подать сигнал, представляющий собой гармоническуюфункцию, то реакцию звена на такой сигнал можно получить, рассматривая реакцию звенана две частоты, расположенные симметрично относительно исходной нулевой частоты.Эти две частоты и являются боковыми по отношению к исходной частоте.При наличии амплитудной частотной характеристики (рис. 4.28) постоянная временизвена может быть определена по эффекту подавления боковых частот по сравнению сисходной нулевой частотой. Из выражения для амплитудной частотной характеристикиапериодического звена первого порядка (см.
табл. 4.3) в общем случае, когда k ≠ 1 ,A( w) =k1 + w 2T 2следует, что на нулевой частоте коэффициент передачи звена по амплитуде равен k,а при w= 1/T этот коэффициент равен1kkA( ) === 0.707kT1+12На основании этого соотношения по амплитудной характеристике можно легконайти постоянную времени. Для этой цели на высоте 0,707k проводится горизонтальнаялиния до пересечения с амплитудной характеристикой.Абсциссы точек пересечения будут равны 1/T в области положительных частот и-1/T в области отрицательных частот.Расстояние между точками пересечения часто называют полосой пропускания звена2∆wп = (4.25):TПостоянная времени может быть вычислена по полосе пропускания:2T=(4.67)∆wпОбратимся теперь к звену с модулированным сигналом.
Предположим, чтодинамические свойства некоторого звена изучаются при помощи частотныххарактеристик (рис. 4.29). Постоянному сигналу на входе такого звена соответствуетнапряжениеu1 = U 1 max cos w0 tгде w0 — несущая угловая частота.(4.68).Допустим теперь, что сигнал (огибающая) изменяется по гармоническому закону сугловой частотой Ω . Это значит, что по гармоническому закону должна изменятьсяамплитуда в выражении (4.68), и модулированный сигнал может быть представлен в видеu1 = U (t ) cos w0 t = U 1 max sin Ωt cos w0 t (4.69)где U (t ) = U 1 max sin Ωt — гармонический закон изменения огибающей (сигнала).Это выражение может быть преобразовано к видуUu1 = 1 max [sin( w0 + Ω)t − sin( w0 − Ω)t ] (4.70)2Таким образом, модулированный сигнал (4.69) может быть заменен двумягармоническими сигналами с частотами, равными сумме и разности несущей частоты ичастоты огибающей: w1 = w0 + Ω и w2 = w0 − Ω .
Эти гармонические сигналы являютсябоковыми частотами.Выясним теперь, какой должна быть амплитудная частотная характеристика звена,чтобы по отношению к модулированному сигналу звено представляло собой, например,апериодическое звено первого порядка. Очевидно, что характеристика должна быть такойже самой, как характеристика апериодического звена с немодулированным сигналом, ноона должна быть симметричной относительно несущей частоты w0 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
