Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 15
Текст из файла (страница 15)
а. х. и л. ф. х. используется стандартная сетка (рис. 4.10). По осиабсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, т. е. наносятсяотметки, соответствующие lgw, а около отметок пишется само значение частоты w врад/сек. Для этой цели может использоваться специальная полулогарифмическая бумага.Однако удобнее использовать обычную миллиметровую бумагу, но масштаб по осиабсцисс наносить при помощи какой-либо шкалы счетной логарифмической линейки.По оси ординат откладывается модуль в децибелах (дб).
Для этой цели на нейнаносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дб, чтосоответствует значению модуля А (w) = 1, так как логарифм единицы равен нулю.Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте.Следует учесть, что точка w = 0 лежит на оси частот слева в бесконечности, так как lg0 =— ∞ . Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весьход л. а. х.
Как будет показано ниже,1 для этой цели необходимо провести ось ординатлевее самой малой сопрягающей частоты л. а. х.Для построения л. ф. х. используется та же ось абсцисс (ось частот). По оси ординатоткладывается фаза в градусах в линейном масштабе. Для практических расчетов, как этобудет ясно ниже, удобно совместить точку нуля децибел с точкой, гдефаза равна —180°. Отрицательный сдвиг по фазе откладывается по оси ординатвверх, а положительный — вниз..Иногда по оси абсцисс указывается не сама частота, а ее десятичный логарифм (рис.4.11). Единица приращения логарифма соответствует одной декаде, т.
е. удесятерениючастоты. Применяется также деление шкалы на октавы. Одна октава соответствуетудвоению частоты. Так как lg 2 = 0,303, то одна октава соответствует 0,303 декады.Использование на оси абсцисс декад и октав значительно менее удобно, так как при этомоцифровка шкалы получается в единицах частоты, а в единицах логарифма частоты, что всильной степени снижает преимущества применения логарифмических частотныххарактеристик.Главным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристикявляется возможность построения их во многих случаях практически без вычислительнойработы. Это особенно проявляется в тех случаях, когда частотная передаточная функцияможет быть представлена в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая л.
а.х. может быть найдена суммированием ординат л. а. х., соответствующих отдельнымсомножителям. Часто не требуется даже такого суммирования и результирующая л. а. х.может быть приближенно построена в виде так называемой асимптотической л. а. х.,представляющей собой совокупность отрезков прямых линий с наклонами, кратнымивеличине 20 дб/дек. Это будет показано ниже при рассмотрении конкретных звеньев.Для иллюстрации простоты построения л.
а. х. рассмотрим несколько важныхпримеров.1. Пусть модуль частотной передаточной функции равен постоянному числу А (w) =k0; тогдаL( w) = 20 LgA( w) = 20 lg k 0 .Л. а. х. представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс (прямая 1 на рис.4.10).2. Рассмотрим случай, когда А (w) = k/w. ТогдаL(w)=20lg (k1/w)=20lg k1-20lg w.Нетрудно видеть, что это — прямая линия, проходящая через точку с координатамиw = 1 сек-1 и L(w) = 20 lg k1 (и имеющая отрицательный наклон 20 дб/дек, так как каждоеудесятерение частоты вызовет увеличение lgw на одну единицу, т. е. уменьшение L(w) на20 дб (прямая 2 на рис.
4.10). Наклон 20 дб/дек приблизительно равен наклону 6 дб/окт(точнее, 6,06 дб/окт, так как lg 2= 0,303).Точку пересечения прямой с осью нуля децибел (осью частот) можно найти,положив L(w) = 0 или, соответственно, А(w) = 1. Отсюда получаем так называемуючастоту среза л. а. х., равную в данном случае wср = k1. Очевидно, что размерностькоэффициента k1 должна быть [сек-1].3. Аналогичным образом можно показать, что в случае А(w) =k2/w2 л. а. х.представляет собой прямую с отрицательным наклоном 40 дб/дек (прямая 3 на рис. 4.10).Вообще для А(w) =kn/wn л.
а. х. представляет собой прямую с отрицательным наклономn20 д6/дек или n6 дб/окт. Эта прямая может быть построена по одной какой-либо точке,например по точке w = 1 сек-1 и L(w) = 20lg kn или по частоте среза wср = n k n . Очевидно,что размерность коэффициента kn должна быть [сек-1].4.
Рассмотрим случай, когда А(w)=k3w. ТогдаL( w) = 20 lg k 3 w = 20 lg k 3 + 20 lg w.Нетрудно видеть, что это — прямая линия, проходящая через точку w = 1 сек-1 и L(w) =20lg k3 и имеющая положительный наклон 20 дб/дек. Эта прямая может бытьпостроена также по частоте среза wср = 1/k3 полученной приравниванием А(w) = 1 (прямая4 на рис. 4.10)..Аналогичным образом можно показать, что в случае, когда А (w) =kmwm , л. а. х.представляет собой прямую линию с положительным наклоном m20 дб/дек = m6 дб/окт.Эта прямая также может быть построена по одной какой-либо точке, например по точке1w= 1 сек-1 и L(w) = 20 lg km или по частоте среза wср =m kmИногда при расчете автоматических систем употребляются логарифмическиеамплитудно-фазовые характеристики (л. а. ф.
х.). В соответствии с выражением (4.18)они строятся в координатах «модуль в децибелах — фаза» (рис. 4.12) или «модуль вдецибелах — запас по фазе». Под запасом по фазе понимается величинаµ = 180 D + ψЭта величина также показана на рис. 4.12. Обычно пределы изменения фазыпринимаются от 0 до — 180°, что соответствует изменению запаса по фазе от 180° до 0. Втом случае, если часть кривой не умещается на используемой сетке вследствие большихфазовых сдвигов ( | ψ | > 180°), строится «зеркальное» изображение л.
а. ф. х., чтопоказано на рис. 4.12 пунктиром.На л. а. ф. х. для ориентировки могут наноситься точки, соответствующиеопределенным частотам. В этом случае около этих точек указывается частота в рад/сек.§ 4.5. Позиционные звеньяХарактеристики позиционных звеньев сведены в табл. 4.2 и 4.3, помещенные на стр.78 — 81.1. Безынерционное звено. Это звено не только в статике, но и в динамикеописывается алгебраическим уравнениемx 2 = kx1 (4.21)Передаточная функция звена равна постоянной величине:W ( p) = W ( jw) = k (4.22)Примером такого звена являются механический редуктор (без учетаявления скручивания и люфта), безынерционный (широкополосный) усилитель,делитель напряжения U т. п.
Многие датчики сигналов, как, например,потенциометрические датчики, индукционные датчики, вращающиеся трансформаторы ит. п., также могут рассматриваться как безынерционные звенья.Переходная функция такого звена представляет собой ступенчатую функцию (табл.4.2), т. е.
при x1 (t ) = 1(t) x 2 (t ) = h(t ) = k1(t ) . Функция веса представляет собойимпульсную функцию, площадь которой равна k, т. е. при x(t ) = δ (t) x 2 (t ) = w(t ) = kδ (t ) .А. ф. х. вырождается в точку, расположенную на вещественной оси на расстоянии kот начала координат (табл. 4.3). Модуль частотной передаточной функции А(w) =k спостоянен на всех частотах, а фазовые сдвиги равны нулю (ψ = 0).Безынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. Вдействительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0до ∞ .
Обычно к такому виду звена сводится одно из реальных звеньев, рассматриваемыхниже, например апериодическое или колебательное, если можно пренебречь влияниемдинамических (переходных) процессов в этом звене.2. Апериодическое звено первого порядка. Звено описывается дифференциальнымуравнениемdxT 2 + x 2 = kx1 (4.23)dtПередаточная функция звенаk(4.24)W ( p) =Tp + 1Примеры апериодических звеньев первого порядка изображены на рис. 4.13.В качестве первого примера (рис. 4.13, а) рассматривается двигатель любого типа(электрический,гидравлический,пневматический и т.
д.), ( механическиехарактеристики которого (зависимость вращающего момента от скорости) могут бытьпредставлены в виде параллельных прямых (рис. 4.14). Входной величиной х1 здесьявляется управляющее воздействие в двигателе, например подводимое напряжение вэлектрическом двигателе, расход жидкости в гидравлическом двигателе и т. п. Выходнойвеличиной является скорость вращения Ω .
Дифференциальное уравнение движенияпри равенстве нулю момента нагрузки может бытьпредставлено в видеM0dΩj= k M x1 −= k M x1 − k1Ω ,dtΩ0где J— приведенный к валу двигателя суммарный момент инерции, kм коэффициентпропорциональности между управляющим воздействием и вращающим моментом, к1 =M0/ Ω 0 наклон механической характеристики, равный отношению пускового момента кскорости холостого хода при некотором значении управляющего воздействия. Этоуравнение приводится к видуdΩT+ Ω = kx1dtkгде k = M — коэффициент передачи звена, Т =J Ω 0/M0 =J/k1 постоянная времениk1двигателя.
Оно полностью совпадает с (4.23)..В качестве второго примера (рис. 4.13, б) приведен электрический генераторпостоянного тока, входной величиной которого является напряжение, подводимое кобмотке возбуждения u1, а выходной — напряжение якоря u2.Апериодическими звеньями первого порядка являются также резервуар с газом (рис.4.13, в), у которого входная величина представляет собой давление P1 перед впускнымотверстием, а выходная — давление Р2 в резервуаре, и нагревательная печь (рис.
4.13, г),у которой входная величина — количество поступающего в единицу времени тепла (?, авыходная — температура в печи 1°..Электрические RС- и LR-цепи в соответствии со схемами, изображенными на рис.4.13, д, также представляют собой апериодические звенья первого порядка.Во всех приведенных примерах дифференциальное уравнение движения совпадает с(4.23).Переходная функция представляет собой экспоненту (табл.
4.2). Множитель 1 (t)указывает, что экспонента рассматривается, начиная с момента t = 0, т. е. дляположительного времени. Во многих случаях этот множитель опускается, но указанноеобстоятельство необходимо иметь в виду.Отрезок, отсекаемый на асимптоте касательной, проведенной к кривой в любойточке, равен постоянной времени Т. Чем больше постоянная времени звена, тем дольшедлится переходный процесс, т. е.
медленнее устанавливается значение х2 = kх1 на выходезвена. Строго говоря, экспонента приближается к этому значению асимптотически, т. е. вбесконечности. Практически переходный процесс считается закончившимся черезпромежуток времени tп = ЗТ. Иногда принимают tп = (4 -- 5) Т.Постоянная времени характеризует «инерционность», или «инерционноезапаздывание», апериодического звена. Выходное значение х2= kx1 в апериодическомзвене устанавливается только спустя некоторое время (1T) после подачи входноговоздействия.Функция веса w(t) может быть найдена дифференцированием переходной функции h(t), и она также приводится в табл.
4.2.Частотные характеристики приведены в табл. 4.3. Амплитудно-фазоваяхарактеристика для положительных частот имеет вид полуокружности с диаметром,равным коэффициенту передачи kс. Величина постоянной времени звена определяетраспределение отметок частоты w вдоль кривой. На а. ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
