Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Эти звенья будут рассмотрены в главе 10.§ 4.2. Временные характеристикиДинамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции ифункции веса.Переходная функция, или переходная характеристика, h (t) представляет собойпереходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его входскачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице (рис. 4.3). Такоевходное воздействие называется ступенчатой единичной функцией и обозначаетсяx1(t)=1(t), что соответствует х1 = 0 при t<0 и x1=1 при t >0.
Предполагается, что единицаимеет ту же размерность, что и физическая величина на входе звена.Если входное воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функциюх1=N1(t), выходная величина будет равна х2 = N1 (t).Более строго переходную функцию можно определить как отношение выходнойвеличины звена х2 (t) к высоте ступенчатого скачка х1 (t) = N1 (t) на его входе, т. е.
h (t)=N-1x2(t) . При этом размерность h(t) соответствует размерности передаточной функциизвена.Ступенчатая функция представляет собой распространенный вид входноговоздействия в автоматических системах. К такому виду сводятся мгновенное изменениенагрузки электрического генератора, мгновенное возрастание нагрузки на валу двигателя,мгновенный поворот входного валика следящей системы и т. п.Умножение какой-либо функции времени х (t) на ступенчатую единичную функцию1 (t) означает, что функция времени х (t) будет существовать только при t>= 0, при t < 0она обращается в нуль. Это иллюстрируется рис.
4.4..Функции веса w(t) представляет собой реакцию звена на единичную импульснуюфункцию, поданную на его вход рис. 4.5). Единичная импульсная функция, или дельтафункция, представляет собой производную от ступенчатой единичной функции:δ (t ) = 1' (t ) . Дельта-функция тождественно равна нулю повсюду, кроме точки t= 0, где онастремится к бесконечности.Основное свойство дельта-функции заключается в том, что+∞∫ δ (t )dt = 1(4.3)−∞т. е. она имеет единичную площадь.Из последнего выражения следует, что размерность единичной дельта-функцииравна [сек-1].Дельта-функция может быть представлена как предел некоторого выражения,например:δ (t ) = lim σ e −σt 1(t )Нетрудно установить связь между переходной функцией и функцией веса.Рассмотрим входное воздействие звена в виде конечного по высоте и ширине импульса сплощадью N ε = 1, прикладываемого при t = 0 (рис.
4.6). Такой импульс может бытьзаменен двумя ступенчатыми функциями N1 (t) и — N1 (t - ε ), прикладываемыми ковходу звена со сдвигом во времени ε . Тогда выходная величина звена будет равнаx 2 (t ) = N [h(t ) − h(t − ε )] (4.4)Будем теперь увеличивать высоту импульса N, одновременно уменьшая его ширинуε , но так, чтобы все время площадь импульса равнялась единице,т. е. N ε = 1. Помножив и поделив правую часть равенства (4.4) на ε и перейдя кпределу, получим. функцию весаNε [h(t ) − h(t − ε )] dh(t )w(t ) = lim=(4.5)εdtТаким образом, функция веса может быть получена дифференцированием повремени переходной функции..В случае, если на вход звена поступает неединичная импульсная функция х1 = G δ (t),на выходе звена получится х2 = G ω (t).Более строго функцию веса можно определить как отношение выходной величинызвена х2(t) к площади поданного на его вход импульса х1 = G δ (t), т.
е. w(t) =G-1х2 (t). Приэтом размерность w(t) соответствует размерности передаточной функции звена, деленнойна время.Импульсная функция также представляет собой распространенный вид входноговоздействия в автоматических системах. К такому виду можно свести например,кратковременный удар нагрузки на валу двигателя, кратковременный ток короткогозамыкания генератора, отключаемый плавкими предохранителями, и т.
п. Вдействительности реальные импульсные воздействия на автоматическую систему всегдабудут конечными по величине и продолжительности. Однако в случае, если ихпродолжительность весьма мала по сравнению с временем переходного процесса звенаили автоматической системы, то с большой степенью точности реальный импульс можетбыть заменен дельта-функцией с некоторым масштабирующим коэффициентом, чтопозволяет оценить переходный процесс по виду функции веса.Функция веса звена связана с его передаточной функцией преобразованием Лапласа,а именно: передаточная функция есть изображение функции веса и связана с нейинтегральным преобразованием∞W ( p ) = ∫ w(t )e − pt dt (4.6)0В свою очередь переходная функция звена связана с его передаточной функциейпреобразованием Карсона, т. е. имеет место интегральное преобразование∞W ( p ) = p ∫ h(t )e − pt dt (4.7)0Для входного воздействия произвольного типа, прикладываемого в момент t= 0,переходный процесс на выходе звена при нулевых начальных условиях может бытьопределен на основании интеграла Дюамеля — Карсона по переходной функции:∞x 2 (t ) = x1 (0)h(t ) + ∫ x1 (τ )h(t − τ )dτ ,0или по функции веса:∞x 2 (t ) = ∫ x1 (τ ) w(t − τ )dτ ,0(4.8)еде τ — вспомогательное время интегрирования, изменяющееся в пределах от нулядо рассматриваемого текущего момента времени t.Более подробно методика нахождения переходного процесса при произвольномвходном воздействии будет рассмотрена в главе 7.§ 4.3.
Частотная передаточная функция и частотные характеристикиВажнейшей характеристикой динамического звена является его частотнаяпередаточная функция. Для получения ее рассмотрим динамическое звено (рис. 4.1) вслучае, когда возмущение f(t) = 0, а на входе имеется гармоническое воздействие х1=X1Mсоs wt, где Х1M — амплитуда, а w — угловая частота этого воздействия.На выходе линейного звена в установившемся режиме будет также гармоническаяфункция той же частоты, но в общем случае сдвинутая по фазе относительно входнойвеличины на уголψ . Таким образом, для выходной величины можно записатьx 2 = X 2 M cos( wt + ψ ).Воспользуемся формулой Эйлера и представим входную и выходную величины ввиде суммы экспоненциальных функций:X⎫x1 = 1M [e jwt + e − jwt ] = x1 '+ x1 " ,⎪⎪2⎬ (4.10)X 2 M j ( wt +ψ )− j ( wt +ψ )+ex2 =[e] = x 2 '+ x 2 ".⎪⎪2⎭В линейной системе на основании принципа суперпозиции можно рассмотретьотдельно прохождение составляющих x1 ' и x1 " .
Кроме того, можно легко показать, чтодостаточно рассмотреть прохождение только составляющей x1 ' , которая в выходнойвеличине дает составляющую x 2 ' . Соотношение между составляющими x1 " и x 2 "получается таким же, как между x1 ' и x 2 ' .
Поэтому в дальнейшем рассмотрениивоспользуемся символической записью соs wt = e jwt . Тогда⎫⎪x1 = X 1M e jwt ,⎬ (4.11)x 2 = X 2 M e j ( wt +ψ ) .⎪⎭Символичность этой сокращенной записизаключаетсявотбрасываниисоставляющих с множителем e jwt .Для нахождения соотношения между входной и выходной гармоническимивеличинами звена воспользуемся его дифференциальным уравнением в видеd 2 x2dxdx+ T1 2 + x 2 = k1 x1 + k 2 1T222dtdtdtИз выражений 4.11 определим производные:dx1= jwX 1M e jwt ,dtdx 2= jwX 2 M e j ( wt +ψ ) ,dtd 2 x2= ( jw) 2 X 2 M e j ( wt +ψ ) .2dtПодставив значения входной и выходной величин и их производных в исходноедифференциальное уравнение, получим:2T22 ( jw) X 2 M e j ( wt +ψ ) + T1 jwX 2 M e j ( wt +ψ ) + X 2 M e j ( wt +ψ ) = k1 X 1M e jwt + k 2 jwX 1M e jwt ,откуда после сокращения на общий множитель e jwt найдем:X 2 M jψk1 + k 2 jwe == W ( jw) (4.12)X 1M1 + T1 jw + T22 ( jw) 2Это выражение называется частотной передаточной функцией звена» Такимобразом, частотная передаточная функция W(jw) представляет собой комплексное число,модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к амплитуде входной,а аргумент — сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной:Xmod W ( jw) = W ( jw) = 2 M ,X 1M (4.13)arg W ( jw) = ϕ .В более общей формулировке для входного сигнала любого вида частотнуюпередаточную функцию можно представить как отношение изображений Фурье(частотных изображений) выходной и входной величин:X (iw)W ( jw) = 2= W ( p ) p = jw (4.14)X 1 ( jw)что непосредственно вытекает из формулы (4.1) при переходе от изображенияЛапласа к изображению Фурье; следовательно, частотная передаточная функция легкополучается из обычной передаточной функции подстановкой р = jw.Частотная передаточная функция звена есть изображение Фурье его функции веса, т.е.
имеет место интегральное преобразование∞W ( jw) = ∫ w(t )e − jwt dt. (4.15)0Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:W ( jw) = A( w)e jψ = U ( w) + jV ( w), (4.16)где А (w) — модуль частотной передаточной функции, ψ ( w) — аргумент или фаза, U(w) и V (w) — вещественная и мнимая составляющие частотной; передаточной функции.Модуль частотной передаточной функции находится как отношение модулейчислителя и знаменателя.
Для рассмотренного выше примера (4.12), аргумент или фазачастотной передаточной функции находится как разность аргументов числителя изнаменателя. Для (4.12) имеем:k wT1 wψ ( w) = arctg 2 − arctg.k11 − T22 w 2Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной передаточной функциинеобходимо освободиться от мнимости в знаменателе путем умножения числителя изнаменателя на комплексную величину, сопряженную знаменателю, и затем произвестиразделение на вещественную и мнимую части. Для (4.12)k (1 − T22 w 2 ) + k 2T1 w 2,U ( w) = 1(1 − T22 w 2 ) + T12 w 2k 2 w(1 − T22 w 2 ) − k1T1 w.V ( w) =(1 − T22 w 2 ) + T12 w 2Для наглядного представления частотных свойств звена используются такназываемые частотные характеристики.Амплитудно-фазовая частотная характеристика (а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
